प्रकरण ११ किरणोत्सर्ग आणि द्रव्याचे दुहेरी स्वरूप

उत्तर

इलेक्ट्रॉन्सचा विभव, $V=30 \mathrm{kV}=3 \times 10^{4} \mathrm{~V}$

म्हणून, इलेक्ट्रॉन्सची ऊर्जा, $E=3 \times 10^{4} \mathrm{eV}$

येथे,

$e=$ इलेक्ट्रॉनवरील प्रभार $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

(अ) $\mathrm{X}$-किरणांद्वारे निर्माण होणारी कमाल वारंवारता $=v$

इलेक्ट्रॉन्सची ऊर्जा या संबंधाने दिली आहे:

$E=h v$

येथे,

$h=$ प्लँकचा स्थिरांक $=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$\therefore v=\frac{E}{h}$

$$ =\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^{4}}{6.626 \times 10^{-34}}=7.24 \times 10^{18} \mathrm{~Hz} $$

म्हणून, निर्माण होणाऱ्या X-किरणांची कमाल वारंवारता $7.24 \times 10^{18} \mathrm{~Hz}$ आहे.

(ब) X-किरणांद्वारे निर्माण होणारी किमान तरंगलांबी याप्रमाणे दिली आहे:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{7.24 \times 10^{18}}=4.14 \times 10^{-11} \mathrm{~m}=0.0414 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

म्हणून, निर्माण होणाऱ्या X-किरणांची किमान तरंगलांबी $0.0414 \mathrm{~nm}$ आहे.

उत्तर

सीझियम धातूचे कार्यफल, $\phi_{0}=2.14 \mathrm{eV}$

प्रकाशाची वारंवारता, $v=6.0 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

(अ) कमाल गतिज ऊर्जा प्रकाशविद्युत परिणामानुसार याप्रमाणे दिली आहे:

$$ K=h v-\phi_{0} $$

येथे,

$$ \begin{aligned} & h=\text { Planck’s constant }=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & \therefore K=\frac{6.626 \times 10^{34} \times 6 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{-19}}-2.14 \\ & \quad=2.485-2.140=0.345 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

म्हणून, उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन्सची कमाल गतिज ऊर्जा $0.345 \mathrm{eV}$ आहे.

(ब) निरोधी विभव $V_{0}$ साठी, आपण गतिज ऊर्जेचे समीकरण असे लिहू शकतो:

$$ \begin{aligned} & K=e V_{0} \\ & \therefore V_{0}=\frac{K}{e} \\ & \quad=\frac{0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}=0.345 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

म्हणून, या पदार्थाचा निरोधी विभव $0.345 \mathrm{~V}$ आहे.

(क) उत्सर्जित प्रकाशविद्युत इलेक्ट्रॉन्सची कमाल गती $=v$

म्हणून, गतिज ऊर्जेचा संबंध असे लिहिता येईल:

$$ K=\frac{1}{2} m v^{2} $$

येथे,

$$ \begin{aligned} m & =\text { Mass of an electron }=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \\ v^{2} & =\frac{2 K}{m} \\ & =\frac{2 \times 0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}=0.1104 \times 10^{12} \\ \therefore v & =3.323 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=332.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

म्हणून, उत्सर्जित प्रकाशविद्युत इलेक्ट्रॉन्सची कमाल गती $332.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$ आहे.

उत्तर

प्रकाशविद्युत निरोधी विभव, $V_{0}=1.5 \mathrm{~V}$

उत्सर्जित प्रकाशविद्युत इलेक्ट्रॉन्सची कमाल गतिज ऊर्जा याप्रमाणे दिली आहे:

$$ K_{e}=e V_{0} $$

येथे,

$e=$ इलेक्ट्रॉनवरील प्रभार $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$$ \begin{aligned} \therefore K_{e} & =1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 \\ & =2.4 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

म्हणून, दिलेल्या प्रयोगात उत्सर्जित प्रकाशविद्युत इलेक्ट्रॉन्सची कमाल गतिज ऊर्जा $2.4 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$ आहे.

उत्तर

एकवर्णी प्रकाशाची तरंगलांबी, $\lambda=632.8 \mathrm{~nm}=632.8 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

लेसरद्वारे उत्सर्जित शक्ती, $P=9.42 \mathrm{~mW}=9.42 \times 10^{-3} \mathrm{~W}$

प्लँकचा स्थिरांक, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

प्रकाशाचा वेग, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

हायड्रोजन अणूचे वस्तुमान, $m=1.66 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$

(अ) प्रत्येक फोटॉनची ऊर्जा याप्रमाणे दिली आहे:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{h c}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{632.8 \times 10^{-9}}=3.141 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

प्रत्येक फोटॉनचा संवेग याप्रमाणे दिला आहे:

$$ \begin{aligned} P & =\frac{h}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34}}{632.8}=1.047 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

(ब) प्रति सेकंद लक्ष्यावर पोहोचणाऱ्या फोटॉन्सची संख्या $=n$

असे गृहीत धरा की किरणाचे एकसमान छेदक क्षेत्रफळ आहे जे लक्ष्याच्या क्षेत्रफळापेक्षा कमी आहे.

म्हणून, शक्तीचे समीकरण असे लिहिता येईल:

$$ \begin{aligned} P & =n E \\ \therefore n & =\frac{P}{E} \\ & =\frac{9.42 \times 10^{-3}}{3.141 \times 10^{-19}} \approx 3 \times 10^{16} \text { photon } / \mathrm{s} \end{aligned} $$

(क) हायड्रोजन अणूचा संवेग हा फोटॉनच्या संवेगाइतकाच आहे, $p=1.047 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

संवेग याप्रमाणे दिला आहे:

$p=m v$

येथे,

$v=$ हायड्रोजन अणूचा वेग

$$ \begin{aligned} \therefore v & =\frac{p}{m} \\ & =\frac{1.047 \times 10^{-27}}{1.66 \times 10^{-27}}=0.621 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

उत्तर

आपाती प्रकाशाच्या निरोधी विभव $(V)$ आणि वारंवारता $(v)$ यांच्या आलेखाचा उतार याप्रमाणे दिला आहे:

$\frac{V}{v}=4.12 \times 10^{-15} \mathrm{Vs}$

$V$ हे वारंवारतेशी या समीकरणाने संबंधित आहे:

$h v=e V$

येथे,

$e=$ इलेक्ट्रॉनवरील प्रभार $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$h=$ प्लँकचा स्थिरांक

$\therefore h=e \times \frac{V}{v}$

$=1.6 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15}=6.592 \times 10^{-34} \mathrm{JS}$

म्हणून, प्लँकच्या स्थिरांकाचे मूल्य $6.592 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$ आहे.

उत्तर

धातूची उंबरठा वारंवारता, $v_{0}=3.3 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

धातूवर पडणाऱ्या प्रकाशाची वारंवारता, $v=8.2 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

इलेक्ट्रॉनवरील प्रभार, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

प्लँकचा स्थिरांक, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

धातूपासून होणाऱ्या प्रकाशविद्युत उत्सर्जनासाठीचा निरोधी विभव $=V_{0}$

निरोधी ऊर्जेचे समीकरण याप्रमाणे दिले आहे:

$$ \begin{aligned} e V_{0} & =h\left(v-v_{0}\right) \\ V_{0} & =\frac{h\left(v-v_{0}\right)}{e} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times\left(8.2 \times 10^{14}-3.3 \times 10^{14}\right)}{1.6 \times 10^{-19}}=2.0292 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

म्हणून, प्रकाशविद्युत उत्सर्जनासाठीचा निरोधी विभव $2.0292 \mathrm{~V}$ आहे.

उत्तर

धातूचे कार्यफल, $\phi_{0}=4.2 \mathrm{eV}$

इलेक्ट्रॉनवरील प्रभार, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

प्लँकचा स्थिरांक, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

आपाती किरणोत्सर्गाची तरंगलांबी, $\lambda=330 \mathrm{~nm}=330 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

प्रकाशाचा वेग, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

आपाती फोटॉनची ऊर्जा याप्रमाणे दिली आहे:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{h c}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{330 \times 10^{-9}}=6.0 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & =\frac{6.0 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}=3.76 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

हे लक्षात येते की आपाती किरणोत्सर्गाची ऊर्जा धातूच्या कार्यफलापेक्षा कमी आहे. म्हणून, प्रकाशविद्युत उत्सर्जन होणार नाही.

उत्तर

आपाती फोटॉनची वारंवारता, $v=488 \mathrm{~nm}=488 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

इलेक्ट्रॉन्सची कमाल गती, $v=6.0 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

प्लँकचा स्थिरांक, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

इलेक्ट्रॉनचे वस्तुमान, $m=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

उंबरठा वारंवारता $v_{0}$ साठी, गतिज ऊर्जेचा संबंध असे लिहिला आहे:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v^{2}=h\left(v-v_{0}\right) \\ & v_{0}=v-\frac{m v^{2}}{2 h} \\ & \quad=7.21 \times 10^{14}-\frac{\left(9.1 \times 10^{-31}\right) \times\left(6 \times 10^{5}\right)^{2}}{2 \times\left(6.626 \times 10^{-34}\right)} \\ & \quad=7.21 \times 10^{14}-2.472 \times 10^{14} \\ & \quad=4.738 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

म्हणून, इलेक्ट्रॉन्सच्या प्रकाशोत्सर्गासाठीची उंबरठा वारंवारता $4.738 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ आहे.

उत्तर

आर्गॉन लेसरद्वारे निर्माण होणाऱ्या प्रकाशाची तरंगलांबी, $\lambda=488 \mathrm{~nm}$ $=488 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

प्रकाशविद्युत इलेक्ट्रॉन्सचा निरोधी विभव, $V_{0}=0.38 \mathrm{~V}$

$$ \begin{aligned} & 1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & \therefore V_{0}=\frac{0.38}{1.6 \times 10^{-19}} \mathrm{eV} \end{aligned} $$

प्लँकचा स्थिरांक, $h=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

इलेक्ट्रॉनवरील प्रभार, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

प्रकाशाचा वेग, $c=3 \times 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

आइन्स्टाइनच्या प्रकाशविद्युत परिणामापासून, उत्सर्जकाच्या पदार्थाचे कार्यफल $\Phi_{0}$ यांचा समावेश असलेला संबंध आपल्याला मिळतो:

$$ \begin{aligned} & e V_{0}=\frac{h c}{\lambda}-\phi_{0} \\ & \phi_{0}=\frac{h c}{\lambda}-e V_{0} \\ & \quad=\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{1.6 \times 10^{-19} \times 488 \times 10^{-9}}-\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 0.38}{1.6 \times 10^{-19}} \\ & \quad=2.54-0.38=2.16 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

म्हणून, ज्या पदार्थापासून उत्सर्जक बनवलेला आहे त्याचे कार्यफल $2.16 \mathrm{eV}$ आहे.

उत्तर

(अ) गोळीचे वस्तुमान, $m=0.040 \mathrm{~kg}$

गोळीचा वेग, $v=1.0 \mathrm{~km} / \mathrm{s}=1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

प्लँकचा स्थिरांक, $h=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

गोळीची डी-ब्रॉग्ली तरंगलांबी या संबंधाने दिली आहे:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.040 \times 1000}=1.65 \times 10^{-35} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

चेंडूचे वस्तुमान, $m=0.060 \mathrm{~kg}$

चेंडूचा वेग, $v=1.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

चेंडूची डी-ब्रॉग्ली तरंगलांबी या संबंधाने दिली आहे:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.060 \times 1}=1.1 \times 10^{-32} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

(क) धूळकणाचे वस्तुमान, $m=1 \times 10^{-9} \mathrm{~kg}$

धूळकणाचा वेग, $v=2.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

धूळकणाची डी-ब्रॉग्ली तरंगलांबी या संबंधाने दिली आहे:

$$ \lambda=\frac{h}{m v} $$

$=\frac{6.6 \times 10^{-34}}{2.2 \times 1 \times 10^{-9}}=3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~m}$

उत्तर

$(h v)$ ऊर्जा असलेल्या फोटॉनचा संवेग याप्रमाणे दिला आहे:

$$ \begin{align*} & p=\frac{h v}{c}=\frac{h}{\lambda} \\ & \lambda=\frac{h}{p} \tag{i} \end{align*} $$

येथे,

$\lambda=$ विद्युतचुंबकीय किरणोत्सर्गाची तरंगलांबी

$c=$ प्रकाशाचा वेग

$h=$ प्लँकचा स्थिरांक

फोटॉनची डी-ब्रॉग्ली तरंगलांबी याप्रमाणे दिली आहे:

$\lambda=\frac{h}{m v}$

पण $p=m v$

$\therefore \lambda=\frac{h}{p}$

येथे,

$m=$ फोटॉनचे वस्तुमान

$v=$ फोटॉनचा वेग

म्हणून, समीकरण (i) आणि (ii) वरून असा निष्कर्ष काढता येतो की विद्युतचुंबकीय किरणोत्सर्गाची तरंगलांबी ही फोटॉनच्या डी-ब्रॉग्ली तरंगलांबीएवढी असते.