प्रकरण १२ अणू

उत्तर

(अ) थॉमसनच्या मॉडेल आणि रुदरफोर्डच्या मॉडेलमध्ये घेतलेल्या अणूंचे आकार समान क्रमाचे आहेत.

(ब) थॉमसनच्या मॉडेलच्या मूळ अवस्थेत, इलेक्ट्रॉन स्थिर समतोलात असतात. तथापि, रुदरफोर्डच्या मॉडेलमध्ये, इलेक्ट्रॉन नेहमीच एक निव्वळ बल अनुभवतात.

(क) रुदरफोर्डच्या मॉडेलवर आधारित एक शास्त्रीय अणू कोसळण्यास नियत आहे.

(ड) थॉमसनच्या मॉडेलमध्ये अणूचे वस्तुमान वितरण जवळजवळ सतत असते, परंतु रुदरफोर्डच्या मॉडेलमध्ये अत्यंत असमान वस्तुमान वितरण असते.

(इ) अणूचा धनभारित भाग दोन्ही मॉडेलमध्ये बहुतांश वस्तुमान धारण करतो.

उत्तर

अल्फा-कण विकिरण प्रयोगात, जर सोन्याच्या पत्र्याऐवजी घन हायड्रोजनची पातळ पत्री वापरली गेली, तर विकिरण कोन पुरेसा मोठा होणार नाही. याचे कारण असे की हायड्रोजनचे वस्तुमान $\left(1.67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)$ आपाती $\alpha$-कणांच्या वस्तुमानापेक्षा कमी आहे (६.६४ $\left.\times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)$. अशाप्रकारे, विकिरण करणाऱ्या कणाचे वस्तुमान लक्ष्य केंद्रक (हायड्रोजन) पेक्षा जास्त आहे. परिणामी, जर $\alpha$-कण विकिरण प्रयोगात घन हायड्रोजन वापरले गेले तर $\alpha$-कण मागे उसळणार नाहीत.

उत्तर

अणूमधील दोन ऊर्जा पातळ्यांमधील अंतर,

$E=2.3 \mathrm{eV}$

$=2.3 \times 1.6 \times 10^{-19}$

$=3.68 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

अणू वरच्या पातळीवरून खालच्या पातळीवर संक्रमण करतो तेव्हा उत्सर्जित होणाऱ्या विकिरणाची वारंवारता $v$ मानू.

ऊर्जेसाठी आपल्याकडे संबंध आहे:

$$ E=h v $$

येथे,

$$ \begin{aligned} & h= \\ & \begin{aligned} \therefore v & =\frac{E}{h} \\ & =\frac{3.68 \times 10^{-19}}{6.62 \times 10^{-32}}=5.55 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} \end{aligned} $$

म्हणून, विकिरणाची वारंवारता $5.6 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ आहे.

उत्तर

हायड्रोजन अणूची मूळ अवस्थेतील ऊर्जा, $E=-13.6 \mathrm{eV}$

ही हायड्रोजन अणूची एकूण ऊर्जा आहे. गतिज ऊर्जा ही एकूण ऊर्जेच्या ऋणात्मक बरोबरीची असते.

गतिज ऊर्जा $=-E=-(-13.6)=13.6 \mathrm{eV}$

स्थितिज ऊर्जा ही गतिज ऊर्जेच्या दुप्पट ऋणात्मक बरोबरीची असते.

स्थितिज ऊर्जा $=-2 \times(13.6)=-27.2 \mathrm{eV}$

उत्तर

मूळ पातळीसाठी, $n_{1}=1$

या पातळीची ऊर्जा $E_{1}$ मानू. हे ज्ञात आहे की $E_{1}$ हे $n_{1}$ शी संबंधित आहे:

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{-13.6}{n_{1}^{2}} \mathrm{eV} \\ & =\frac{-13.6}{1^{2}}=-13.6 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

अणू उच्च पातळीवर उत्तेजित होतो, $n_{2}=4$.

या पातळीची ऊर्जा $E_{2}$ मानू.

$$ \begin{aligned} \therefore E_{2} & =\frac{-13.6}{n_{2}^{2}} \mathrm{eV} \\ & =\frac{-13.6}{4^{2}}=-\frac{13.6}{16} \mathrm{eV} \end{aligned} $$

फोटॉनद्वारे शोषलेली ऊर्जेची मात्रा खालीलप्रमाणे दिली आहे:

$$ \begin{aligned} E & =E_{2}-E_{1} \\ & =\frac{-13.6}{16}-\left(-\frac{13.6}{1}\right) \\ & =\frac{13.6 \times 15}{16} \mathrm{eV} \\ & =\frac{13.6 \times 15}{16} \times 1.6 \times 10^{-19}=2.04 \times 10^{-18} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

$\lambda$ तरंगलांबीच्या फोटॉनसाठी, ऊर्जेची अभिव्यक्ती खालीलप्रमाणे लिहिली आहे:

$$ E=\frac{h c}{\lambda} $$

येथे,

$$ \begin{aligned} & h=\text { Planck’s constant }=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & c=\text { Speed of light }=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\ & \therefore \lambda=\frac{h c}{E} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{2.04 \times 10^{-18}} \\ & =9.7 \times 10^{-8} \mathrm{~m}=97 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

आणि, फोटॉनची वारंवारता खालील संबंधाने दिली आहे,

$$ \begin{aligned} v & =\frac{c}{\lambda} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{9.7 \times 10^{-8}} \approx 3.1 \times 10^{15} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

म्हणून, फोटॉनची तरंगलांबी $97 \mathrm{~nm}$ आहे तर वारंवारता $3.1 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$ आहे.

उत्तर

हायड्रोजन अणूच्या मूळ अवस्थेतील पातळीवर इलेक्ट्रॉनचा कक्षीय वेग $v_{1}$ मानू, $n_{1}$ $=1$. इलेक्ट्रॉनच्या भारासाठी ($e$), $v_{1}$ खालील संबंधाने दिलेला आहे:

$$ v_{1}=\frac{e^{2}}{n_{1} 4 \pi \epsilon_{0}(h / 2 \pi)}=\frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h} $$

येथे,

$$ \begin{aligned} & e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} \\ & \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space }=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{C}^{2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & h=\text { Planck’s constant }=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & \begin{aligned} \therefore v_{1} & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =0.0218 \times 10^{8}=2.18 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} \end{aligned} $$

$n_{2}=2$ पातळीसाठी, आपण संबंधित कक्षीय वेगासाठी संबंध खालीलप्रमाणे लिहू शकतो:

$$ \begin{aligned} v_{2} & =\frac{e^{2}}{n_{2} 2 \epsilon_{0} h} \\ & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{2 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =1.09 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

आणि, $n_{3}=3$ पातळीसाठी, आपण संबंधित कक्षीय वेगासाठी संबंध खालीलप्रमाणे लिहू शकतो:

$$ \begin{aligned} v_{3} & =\frac{e^{2}}{n_{3} 2 \epsilon_{0} h} \\ & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{3 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =7.27 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

म्हणून, हायड्रोजन अणूमधील इलेक्ट्रॉनचा वेग $n=1, \mathrm{n}=2$, आणि $\mathrm{n}=3$ मध्ये अनुक्रमे $2.18 \times 10^{6}$ $\mathrm{m} / \mathrm{s}, 1.09 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, 7.27 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ आहे.

जेव्हा इलेक्ट्रॉन $n_{1}=1$ पातळीवर असतो तेव्हा त्याचा कक्षीय कालावधी $T_{1}$ मानू.

कक्षीय कालावधी हा कक्षीय वेगाशी खालीलप्रमाणे संबंधित आहे:

$T_{1}=\frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}}$

येथे,

$r_{1}=$ कक्षेची त्रिज्या

$=\frac{n_{1}^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$

$h=$ प्लँकचा स्थिरांक $=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$e=$ इलेक्ट्रॉनवरील भार $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$\epsilon_{0}=$ मोकळ्या जागेची पराविद्युतता $=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{C}^{2} \mathrm{~m}^{-2}$

$m=$ इलेक्ट्रॉनचे वस्तुमान $=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

$$ \begin{aligned} \therefore T_{1} & =\frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}} \\ & =\frac{2 \pi \times(1)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{2.18 \times 10^{6} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & =15.27 \times 10^{-17}=1.527 \times 10^{-16} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

$n_{2}=2$ पातळीसाठी, आपण कालावधी खालीलप्रमाणे लिहू शकतो:

$T_{2}=\frac{2 \pi r_{2}}{v_{2}}$

येथे,

$r_{2}=$ $n_{2}=2$ मधील इलेक्ट्रॉनची त्रिज्या

$$ \begin{aligned} & =\frac{\left(n_{2}\right)^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} \\ & \therefore T_{2}=\frac{2 \pi r_{2}}{v_{2}} \\ & \quad=\frac{2 \pi \times(2)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{1.09 \times 10^{6} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & \quad=1.22 \times 10^{-15} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

आणि, $n_{3}=3$ पातळीसाठी, आपण कालावधी खालीलप्रमाणे लिहू शकतो:

$$ T_{3}=\frac{2 \pi r_{3}}{v_{3}} $$

येथे,

$r_{3}=$ $n_{3}=3$ मधील इलेक्ट्रॉनची त्रिज्या

$$ =\frac{\left(n_{3}\right)^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} $$

$$ \begin{aligned} \therefore T_{3} & =\frac{2 \pi r_{3}}{v_{3}} \\ & =\frac{2 \pi \times(3)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{7.27 \times 10^{5} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & =4.12 \times 10^{-15} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

म्हणून, या प्रत्येक पातळ्यांमधील कक्षीय कालावधी अनुक्रमे $1.52 \times 10^{-16} \mathrm{~s}, 1.22 \times 10^{-15} \mathrm{~s}$, आणि ४.१२ $\times 10^{-15}$ सेकंद आहे.

उत्तर

हायड्रोजन अणूच्या सर्वात आतील कक्षेची त्रिज्या, $r_{1}=5.3 \times 10^{-11} \mathrm{~m}$.

$n=2$ वर असलेल्या कक्षेची त्रिज्या $r_{2}$ मानू. ही सर्वात आतील कक्षेच्या त्रिज्येशी खालीलप्रमाणे संबंधित आहे:

$$ \begin{aligned} r_{2} & =(n)^{2} r_{1} \\ & =4 \times 5.3 \times 10^{-11}=2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

$n=3$ साठी, आपण संबंधित इलेक्ट्रॉन त्रिज्या खालीलप्रमाणे लिहू शकतो:

$$ \begin{aligned} r_{3} & =(n)^{2} r_{1} \\ & =9 \times 5.3 \times 10^{-11}=4.77 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

म्हणून, $n=2$ आणि $n=3$ कक्षांसाठी इलेक्ट्रॉनच्या त्रिज्या अनुक्रमे $2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$ आणि $4.77 \times$ $10^{-10} \mathrm{~m}$ आहेत.

उत्तर

दिलेले आहे की खोलीच्या तापमानात वायुरूप हायड्रोजनवर बॉम्बार्दी करण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या इलेक्ट्रॉन किरणोत्सर्गाची ऊर्जा $12.5 \mathrm{eV}$ आहे. तसेच, खोलीच्या तापमानात त्याच्या मूळ अवस्थेत असलेल्या वायुरूप हायड्रोजनची ऊर्जा $-13.6 \mathrm{eV}$ आहे.

जेव्हा वायुरूप हायड्रोजनवर इलेक्ट्रॉन किरणोत्सर्गाने बॉम्बार्दी केली जाते, तेव्हा वायुरूप हायड्रोजनची ऊर्जा $-13.6+12.5 \mathrm{eV}$ म्हणजेच $-1.1 \mathrm{eV}$ होते.

कक्षीय ऊर्जा ही कक्षा पातळी ($n$) शी खालीलप्रमाणे संबंधित आहे:

$E=\frac{-13.6}{(n)^{2}} \mathrm{eV}$

$n=3, \quad E=\frac{-13.6}{9}=-1.5 \mathrm{eV}$ साठी

ही ऊर्जा वायुरूप हायड्रोजनच्या ऊर्जेच्या अंदाजे समान आहे. असा निष्कर्ष काढता येतो की इलेक्ट्रॉन $n=1$ वरून $n=3$ पातळीवर उडी मारले आहे.

त्याच्या विउत्तेजनादरम्यान, इलेक्ट्रॉन थेट $n=3$ वरून $n=1$ वर उडी मारू शकतात, ज्यामुळे हायड्रोजन स्पेक्ट्रमच्या लायमन मालिकेची एक रेषा तयार होते.

लायमन मालिकेसाठी तरंगसंख्या संबंध आपल्याकडे आहे:

$\frac{1}{\lambda}=R_{y}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)$

येथे,

$R_{\mathrm{y}}=$ रिडबर्ग स्थिरांक $=1.097 \times 10^{7} \mathrm{~m}^{-1}$

$\lambda=$ इलेक्ट्रॉनच्या संक्रमणाद्वारे उत्सर्जित होणाऱ्या विकिरणाची तरंगलांबी

$n=3$ साठी, आपण $\lambda$ खालीलप्रमाणे मिळवू शकतो:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(1-\frac{1}{9}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{8}{9} \\ \lambda & =\frac{9}{8 \times 1.097 \times 10^{7}}=102.55 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

जर इलेक्ट्रॉन $n=2$ वरून $n=1$ वर उडी मारत असेल, तर विकिरणाची तरंगलांबी खालीलप्रमाणे दिली आहे:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(1-\frac{1}{4}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{3}{4} \\ \lambda & =\frac{4}{1.097 \times 10^{7} \times 3}=121.54 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

जर संक्रमण $n=3$ वरून $n=2$ वर होत असेल, तर विकिरणाची तरंगलांबी खालीलप्रमाणे दिली आहे:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{5}{36} \\ \lambda & =\frac{36}{5 \times 1.097 \times 10^{7}}=656.33 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

हे विकिरण हायड्रोजन स्पेक्ट्रमच्या बामर मालिकेशी संबंधित आहे.

म्हणून, लायमन मालिकेत दोन तरंगलांबी म्हणजेच $102.5 \mathrm{~nm}$ आणि $121.5 \mathrm{~nm}$ उत्सर्जित होतात. आणि बामर मालिकेत, एक तरंगलांबी म्हणजेच $656.33 \mathrm{~nm}$ उत्सर्जित होते.

उत्तर

सूर्याभोवती पृथ्वीच्या कक्षेची त्रिज्या, $r=1.5 \times 10^{11} \mathrm{~m}$

पृथ्वीचा कक्षीय वेग, $v=3 \times 10^{4} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

पृथ्वीचे वस्तुमान, $m=6.0 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$

बोहरच्या मॉडेलनुसार, कोनीय संवेग परिमाणित असतो आणि तो खालीलप्रमाणे दिला जातो:

$$ m v r=\frac{n h}{2 \pi} $$

येथे,

$h=$ प्लँकचा स्थिरांक $=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$n=$ क्वांटम क्रमांक

$$ \begin{aligned} \therefore n & =\frac{m v r 2 \pi}{h} \\ & =\frac{2 \pi \times 6 \times 10^{24} \times 3 \times 10^{4} \times 1.5 \times 10^{11}}{6.62 \times 10^{-34}} \\ & =25.61 \times 10^{73}=2.6 \times 10^{74} \end{aligned} $$

म्हणून, पृथ्वीच्या भ्रमणाचे वैशिष्ट्य दर्शविणारा क्वांटा क्रमांक $2.6 \times 10^{74}$ आहे.