अध्याय 13 केंद्रक

उत्तर

नायट्रोजनचे अणुवस्तुमान $({ }_{7} \mathrm{~N} ^{14}), m=14.00307 \mathrm{u}$

नायट्रोजन केंद्रक ${ }_{7} \mathrm{~N} ^{14}$ मध्ये 7 प्रोटॉन आणि 7 न्यूट्रॉन असतात.

म्हणून, या केंद्रकाचा वस्तुमान दोष, $\Delta m=7 m_{H}+7 m_{n}-m$

जिथे,

प्रोटॉनचे वस्तुमान, $m_{H}=1.007825 \mathrm{u}$

न्यूट्रॉनचे वस्तुमान, $m_{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m=7 \times 1.007825+7 \times 1.008665-14.00307$ $=7.054775+7.06055-14.00307$

$=0.11236 \mathrm{u}$

परंतु $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=0.11236 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

म्हणून, केंद्रकाची बंधन ऊर्जा खालीलप्रमाणे दिली जाते:

$E_{b}=\Delta m c ^{2}$

जिथे,

$c=$ प्रकाशाचा वेग

$\therefore E_{b}=0.11236 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=104.66334 \mathrm{MeV}$

म्हणून, नायट्रोजन केंद्रकाची बंधन ऊर्जा $104.66334 \mathrm{MeV}$ आहे.

उत्तर

${ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe}, m _{1}=55.934939 \mathrm{u}$ चे अणुवस्तुमान

${ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe}$ केंद्रकात 26 प्रोटॉन आणि $(56-26)=30$ न्यूट्रॉन असतात

म्हणून, केंद्रकाचा वस्तुमान दोष, $\Delta m=26 \times m _{H}+30 \times m _{n}-m _{1}$

जिथे,

प्रोटॉनचे वस्तुमान, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

न्यूट्रॉनचे वस्तुमान, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m=26 \times 1.007825+30 \times 1.008665-55.934939$

$=26.20345+30.25995-55.934939$

$=0.528461 \mathrm{u}$

परंतु $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=0.528461 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

या केंद्रकाची बंधन ऊर्जा खालीलप्रमाणे दिली जाते:

$E _{b 1}=\Delta m c ^{2}$

जिथे,

$c=$ प्रकाशाचा वेग

$\therefore E _{b 1}=0.528461 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=492.26 \mathrm{MeV}$

प्रति न्यूक्लिऑन सरासरी बंधन ऊर्जा $=\frac{492.26}{56}=8.79 \mathrm{MeV}$

${ } ^{\frac{209}{83} \mathrm{Bi}}, m _{2}=208.980388 \mathrm{u}$ चे अणुवस्तुमान

${ } _{83} ^{2099} \mathrm{Bi}$ केंद्रकात 83 प्रोटॉन आणि $(209-83) 126$ न्यूट्रॉन असतात.

म्हणून, या केंद्रकाचा वस्तुमान दोष खालीलप्रमाणे दिला जातो:

$\Delta m ^{\prime}=83 \times m _{H}+126 \times m _{n}-m _{2}$

जिथे,

प्रोटॉनचे वस्तुमान, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

न्यूट्रॉनचे वस्तुमान, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=83 \times 1.007825+126 \times 1.008665-208.980388$

$=83.649475+127.091790-208.980388$ $=1.760877 \mathrm{u}$

परंतु $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=1.760877 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

म्हणून, या केंद्रकाची बंधन ऊर्जा खालीलप्रमाणे दिली जाते:

$E _{b 2}=\Delta m ^{\prime} c ^{2}$

$=1.760877 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=1640.26 \mathrm{MeV}$

प्रति न्यूक्लिऑन सरासरी बंधन ऊर्जा $=\frac{1640.26}{209}=7.848 \mathrm{MeV}$

उत्तर

तांब्याच्या नाण्याचे वस्तुमान, $m ^{\prime}=3 \mathrm{~g}$

${ } _{29} \mathrm{Cu} ^{63}$ अणूचे अणुवस्तुमान, $m=62.92960 \mathrm{u}$

नाण्यातील एकूण ${ } _{29} \mathrm{Cu} ^{63}$ अणूंची संख्या, $N=\frac{N _{\mathrm{A}} \times m ^{\prime}}{\text { Mass number }}$

जिथे,

$\mathrm{N} _{\mathrm{A}}=$ अवोगॅड्रो संख्या $=6.023 \times 10 ^{23}$ अणू $/ \mathrm{g}$

वस्तुमान संख्या $=63 \mathrm{~g}$ $\therefore N=\frac{6.023 \times 10 ^{23} \times 3}{63}=2.868 \times 10 ^{22}$ अणू

${ } _{29} \mathrm{Cu} ^{63}$ केंद्रकात 29 प्रोटॉन आणि $(63-29) 34$ न्यूट्रॉन असतात

$\therefore$ या केंद्रकाचा वस्तुमान दोष, $\Delta m ^{\prime}=29 \times m _{H}+34 \times m _{n}-m$

जिथे,

प्रोटॉनचे वस्तुमान, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

न्यूट्रॉनचे वस्तुमान, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=29 \times 1.007825+34 \times 1.008665-62.9296$

$=0.591935 \mathrm{u}$

नाण्यात असलेल्या सर्व अणूंचा वस्तुमान दोष, $\Delta m=0.591935 \times 2.868 \times 10 ^{22}$

$=1.69766958 \times 10 ^{22} \mathrm{u}$

परंतु $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=1.69766958 \times 10 ^{22} \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

म्हणून, नाण्यातील केंद्रकांची बंधन ऊर्जा खालीलप्रमाणे दिली जाते:

$E _{b}=\Delta m c ^{2}$

$=1.69766958 \times 10 ^{22} \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=1.581 \times 10 ^{25} \mathrm{MeV}$

परंतु $1 \mathrm{MeV}=1.6 \times 10 ^{-13} \mathrm{~J}$

$E _{b}=1.581 \times 10 ^{25} \times 1.6 \times 10 ^{-13}$

$=2.5296 \times 10 ^{12} \mathrm{~J}$

दिलेल्या नाण्यातील सर्व न्यूट्रॉन आणि प्रोटॉन वेगळे करण्यासाठी इतकी ऊर्जा आवश्यक आहे.

उत्तर

सोन्याच्या समस्थानिक ${ } _{79} \mathrm{Au} ^{197}=R _{\mathrm{Au}}$ ची केंद्रकीय त्रिज्या

चांदीच्या समस्थानिक ${ } _{47} \mathrm{Ag} ^{107}=R _{\mathrm{Ag}}$ ची केंद्रकीय त्रिज्या

सोन्याची वस्तुमान संख्या, $A _{\mathrm{Au}}=197$

चांदीची वस्तुमान संख्या, $A _{\mathrm{Ag}}=107$

दोन केंद्रकांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर त्यांच्या वस्तुमान संख्येशी खालीलप्रमाणे संबंधित आहे:

$$ \begin{aligned} \frac{R _{\mathrm{Au}}}{R _{\mathrm{Ag}}} & =(\frac{R _{\mathrm{Au}}}{R _{\mathrm{Ag}}}) ^{\frac{1}{3}} \ & =(\frac{197}{107}) ^{\frac{1}{3}}=1.2256 \end{aligned} $$

म्हणून, सोन्या आणि चांदीच्या समस्थानिकांच्या केंद्रकीय त्रिज्यांचे गुणोत्तर सुमारे 1.23 आहे.

उत्तर

${ } ^{226} \mathrm{Ra}$ च्या अल्फा कण क्षयामुळे हेलियम केंद्रक उत्सर्जित होतो. त्यामुळे त्याची वस्तुमान संख्या $(226-4) 222$ पर्यंत कमी होते आणि अणुक्रमांक $(88-2) 86$ पर्यंत कमी होतो. हे खालील केंद्रकीय अभिक्रियेत दाखवले आहे.

${ } _{88} ^{226} \mathrm{Ra} \longrightarrow{ } _{86} ^{222} \mathrm{Ra}+{ } _{2} ^{4} \mathrm{He}$

चे $Q$-मूल्य

उत्सर्जित $\alpha$-कण $=($ प्रारंभिक वस्तुमानाची बेरीज - अंतिम वस्तुमानाची बेरीज $) c ^{2}$

जिथे,

$c=$ प्रकाशाचा वेग

हे दिलेले आहे:

$m({ } _{88} ^{226} \mathrm{Ra})=226.02540 \mathrm{u}$

$m({ } _{86} ^{222} \mathrm{Rn})=222.01750 \mathrm{u}$

$m({ } _{2} ^{4} \mathrm{He})=4.002603 \mathrm{u}$

$Q$-मूल्य $=[226.02540-(222.01750+4.002603)] \mathrm{u} c ^{2}$

$=0.005297 \mathrm{u} c ^{2}$

परंतु $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore Q=0.005297 \times 931.5 \approx 4.94 \mathrm{MeV}$

$\alpha$-कणाची गतिज ऊर्जा $=(\frac{\text { Mass number after decay }}{\text { Mass number before decay }}) \times Q$

$=\frac{222}{226} \times 4.94=4.85 \mathrm{MeV}$

$({ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn})$ चा अल्फा कण क्षय खालील केंद्रकीय अभिक्रियेद्वारे दाखवला आहे.

${ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn} \longrightarrow{ } _{84} ^{216} \mathrm{Po}+{ } _{2} ^{4} \mathrm{He}$

हे दिलेले आहे:

$({ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn})=220.01137 \mathrm{u}$ चे वस्तुमान

$({ } ^{24}{ } ^{216} \mathrm{Po})=216.00189 \mathrm{u}$ चे वस्तुमान

$\therefore Q$-मूल्य $=[220.01137-(216.00189+4.00260)] \times 931.5$

$\approx 641 \mathrm{MeV}$

$\alpha$-कणाची गतिज ऊर्जा $=(\frac{220-4}{220}) \times 6.41$

$=6.29 \mathrm{MeV}$

उत्तर

${ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe}$ चे विखंडन खालीलप्रमाणे दिले जाऊ शकते:

$$ { } _{13} ^{56} \mathrm{Fe} \longrightarrow 2{ } _{13} ^{28} \mathrm{Al} $$

हे दिलेले आहे:

$m({ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe})=55.93494 \mathrm{u}$ चे अणुवस्तुमान

$m({ } _{13} ^{28} \mathrm{Al})=27.98191 \mathrm{u}$ चे अणुवस्तुमान

या केंद्रकीय अभिक्रियेचे $Q$-मूल्य खालीलप्रमाणे दिले जाते:

$$ \begin{aligned} Q & =\left[m({ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe})-2 m({ } _{13} ^{28} \mathrm{Al})\right] c ^{2} \ & =[55.93494-2 \times 27.98191] c ^{2} \ & =(-0.02888 c ^{2}) \mathrm{u} \end{aligned} $$

परंतु $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore Q=-0.02888 \times 931.5=-26.902 \mathrm{MeV}$

विखंडनाचे $Q$-मूल्य ऋण आहे. म्हणून, विखंडन ऊर्जादृष्ट्या शक्य नाही. ऊर्जादृष्ट्या शक्य असलेल्या विखंडन अभिक्रियेसाठी, $Q$-मूल्य धन असणे आवश्यक आहे.

उत्तर

${ } _{94} ^{239} \mathrm{Pu}, E _{a v}=180 \mathrm{MeV}$ च्या प्रति विखंडन सोडल्या जाणाऱ्या ऊर्जेची सरासरी

शुद्ध ${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}, m=1 \mathrm{~kg}=1000 \mathrm{~g}$ चे प्रमाण

$\mathrm{N} _{\mathrm{A}}=$ अवोगॅड्रो संख्या $=6.023 \times 10 ^{23}$

${ } _{94} ^{239} \mathrm{Pu}=239 \mathrm{~g}$ ची वस्तुमान संख्या

${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ च्या 1 मोलमध्ये $\mathrm{N} _{\mathrm{A}}$ अणू असतात.

$\therefore m$ g ${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ मध्ये $(\frac{\mathrm{N} _{\mathrm{A}}}{\text { Mass number }} \times m)$ अणू असतात

$=\frac{6.023 \times 10 ^{23}}{239} \times 1000=2.52 \times 10 ^{24}$ अणू

$\therefore$ $1 \mathrm{~kg}$ ${ } _{94} ^{239} \mathrm{Pu}$ च्या विखंडनादरम्यान सोडल्या जाणाऱ्या एकूण ऊर्जेची गणना खालीलप्रमाणे केली जाते:

$$ \begin{aligned} E & =E _{\alpha v} \times 2.52 \times 10 ^{24} \ & =180 \times 2.52 \times 10 ^{24}=4.536 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV} \end{aligned} $$

म्हणून, जर $1 \mathrm{~kg}$ शुद्ध ${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ मधील सर्व अणूंचे विखंडन झाले तर $4.536 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV}$ ऊर्जा सोडली जाते.

उत्तर

दिलेली संलयन अभिक्रिया आहे:

${ } _{1} ^{2} \mathrm{H}+{ } _{1} ^{2} \mathrm{H} \longrightarrow{ } _{2} ^{3} \mathrm{He}+\mathrm{n}+3.27 \mathrm{MeV}$

ड्युटेरियमचे प्रमाण, $m=2 \mathrm{~kg}$

1 मोल, म्हणजेच, $2 \mathrm{~g}$ ड्युटेरियममध्ये $6.023 \times 10 ^{23}$ अणू असतात.

$\therefore 2.0 \mathrm{~kg}$ ड्युटेरियममध्ये $=\frac{6.023 \times 10 ^{23}}{2} \times 2000=6.023 \times 10 ^{26}$ अणू असतात

दिलेल्या अभिक्रियेवरून असे अनुमान काढता येते की जेव्हा ड्युटेरियमचे दोन अणू संलयन पावतात, तेव्हा 3.27 $\mathrm{MeV}$ ऊर्जा सोडली जाते.

$\therefore$ संलयन अभिक्रियेत प्रति केंद्रक सोडल्या जाणाऱ्या एकूण ऊर्जा:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{3.27}{2} \times 6.023 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV} \ & =\frac{3.27}{2} \times 6.023 \times 10 ^{26} \times 1.6 \times 10 ^{-19} \times 10 ^{6} \ & =1.576 \times 10 ^{14} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

विद्युत दिव्याची शक्ती, $P=100 \mathrm{~W}=100 \mathrm{~J} / \mathrm{s}$

म्हणून, दिव्याद्वारे प्रति सेकंद वापरली जाणारी ऊर्जा $=100 \mathrm{~J}$

विद्युत दिवा किती काळ प्रकाशित राहील याची गणना खालीलप्रमाणे केली जाते:

$$ \begin{aligned} & \frac{1.576 \times 10 ^{14}}{100} \mathrm{~s} \ & \frac{1.576 \times 10 ^{14}}{100 \times 60 \times 60 \times 24 \times 365} \approx 4.9 \times 10 ^{4} \text { years } \end{aligned} $$

उत्तर

जेव्हा दोन ड्युटेरॉन्स हेड-ऑन टकरतात, तेव्हा त्यांच्या केंद्रांमधील अंतर, $d$ खालीलप्रमाणे दिले जाते:

$1 ^{\text {st }}$ ड्युटेरॉनची त्रिज्या + $2 ^{\text {nd }}$ ड्युटेरॉनची त्रिज्या

ड्युटेरॉन केंद्रकाची त्रिज्या $=2 \mathrm{fm}=2 \times 10 ^{-15} \mathrm{~m}$

$\therefore d=2 \times 10 ^{-15}+2 \times 10 ^{-15}=4 \times 10 ^{-15} \mathrm{~m}$

ड्युटेरॉन केंद्रकावरील प्रभार $=$ इलेक्ट्रॉनावरील प्रभार $=e=1.6 \times 10 ^{-19} \mathrm{C}$

दोन-ड्युटेरॉन प्रणालीची स्थितिज ऊर्जा:

$$ V=\frac{e ^{2}}{4 \pi \epsilon _{0} d} $$

जिथे,

$$ \epsilon _{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$$ \frac{1}{4 \pi \epsilon _{0}}=9 \times 10 ^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m} ^{2} \mathrm{C} ^{-2} $$

$\therefore V=\frac{9 \times 10 ^{9} \times(1.6 \times 10 ^{-19}) ^{2}}{4 \times 10 ^{-15}} \mathrm{~J}$

$$ =\frac{9 \times 10 ^{9} \times(1.6 \times 10 ^{-19}) ^{2}}{4 \times 10 ^{-15} \times(1.6 \times 10 ^{-19})} \mathrm{eV} $$

$$ =360 \mathrm{keV} $$

म्हणून, दोन-ड्युटेरॉन प्रणालीच्या संभाव्य अडथळ्याची उंची

$360 \mathrm{keV}$ आहे.

उत्तर

आपल्याकडे केंद्रकीय त्रिज्येसाठी पुढील अभिव्यक्ती आहे:

$R=R _{0} A ^{1} \beta ^{3}$

जिथे,

$R _{0}=$ स्थिरांक.

$A=$ केंद्रकाची वस्तुमान संख्या

केंद्रकीय द्रव्याची घनता, $\rho=\frac{\text { Mass of the nucleus }}{\text { Volume of the nucleus }}$

$m$ हे केंद्रकाचे सरासरी वस्तुमान मानू.

म्हणून, केंद्रकाचे वस्तुमान $=m A$

$\therefore \rho=\frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R ^{3}}=\frac{3 m A}{4 \pi(R _{0} A ^{\frac{1}{3}}) ^{3}}=\frac{3 m A}{4 \pi R _{0} ^{3} A}=\frac{3 m}{4 \pi R _{0} ^{3}}$

म्हणून, केंद्रकीय द्रव्याची घनता $A$ पेक्षा स्वतंत्र आहे. ती जवळजवळ स्थिर आहे.