अध्याय 2 स्थिरवैद्युत विभव आणि क्षमता

उत्तर

दोन आवेश आहेत,

$q_{1}=5 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

$q_{2}=-3 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

दोन आवेशांमधील अंतर, $d=16 \mathrm{~cm}=0.16 \mathrm{~m}$

दोन आवेशांना जोडणाऱ्या रेषेवर एक बिंदू $\mathrm{P}$ विचारात घ्या, जसे दिलेल्या आकृतीत दाखवले आहे.

$r=$ बिंदू $\mathrm{P}$ चा आवेश $q_{1}$ पासूनचा अंतर बिंदू $\mathrm{P}$ वरील वीज विभव $(V)$ शून्य ठरवू.

बिंदू $\mathrm{P}$ वरील विभव हा आवेश $q_{1}$ आणि $q_{2}$ यांमुळे निर्माण झालेला विभव यांची बेरीज आहे.

$\therefore V=\frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)}$

जिथे,

$\in_{0}=$ मुक्त जागेची परमविरलता

$V=0$ साठी, समीकरण (i) खालीलप्रमाणे सोपे होते

$$ \begin{aligned} & \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)} \\ & \frac{q_{1}}{r}=\frac{-q_{2}}{d-r} \\ & \frac{5 \times 10^{-8}}{r}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(0.16-r)} \\ & \frac{0.16}{r}-1=\frac{3}{5} \\ & \frac{0.16}{r}=\frac{8}{5} \\ & \therefore r=0.1 \mathrm{~m}=10 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

त्यामुळे, विभव धन आवेशापासून $10 \mathrm{~cm}$ अंतरावर आवेशांमधील भागात शून्य आहे.

गृहीत धरा की बिंदू $\mathrm{P}$ हा दोन आवेशांच्या व्यवस्थेबाहेर ऋण आवेशापासून $s$ अंतरावर आहे, जिथे विभव शून्य आहे, जसे खालील आकृतीत दाखवले आहे.

या रचनेसाठी, विभव खालीलप्रमाणे दिला जातो,

$$ \begin{equation*} V=\frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0} s}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} \tag{ii} \end{equation*} $$

$V=0$ साठी, समीकरण (ii) खालीलप्रमाणे सोपे होते

$$ \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} s}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} $$

$\frac{q_{1}}{s}=\frac{-q_{2}}{s-d}$

$\frac{5 \times 10^{-8}}{s}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(s-0.16)}$

$1-\frac{0.16}{s}=\frac{3}{5}$

$\frac{0.16}{s}=\frac{2}{5}$

$\therefore s=0.4 \mathrm{~m}=40 \mathrm{~cm}$

त्यामुळे, विभव धन आवेशापासून $40 \mathrm{~cm}$ अंतरावर आवेशांच्या व्यवस्थेबाहेर शून्य आहे.

उत्तर

दिलेल्या आकृतीत षटकोनाच्या शिरोबिंदूंवर सहा समान आवेश, $q$, दाखवले आहेत.

जिथे,

आवेश, $q=5 \mu \mathrm{C}=5 \times 10^{-6} \mathrm{C}$

षटकोनाची बाजू, $l=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FA}=10 \mathrm{~cm}$

प्रत्येक शिरोबिंदू ते केंद्र अंतर $\mathrm{O}, d=10 \mathrm{~cm}$

बिंदू $\mathrm{O}$ वरील वीज विभव,

$$ V=\frac{6 \times q}{4 \pi \epsilon_{0} d} $$

जिथे,

$$ \in_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & \therefore V=\frac{6 \times 9 \times 10^{9} \times 5 \times 10^{-6}}{0.1} \\ & \quad=2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V} \end{aligned} $$

त्यामुळे, षटकोनाच्या केंद्रबिंदूवरील विभव $2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V}$ आहे.

उत्तर

परिस्थिती दिलेल्या आकृतीत दाखवली आहे.

समविभव पृष्ठ हे असे पृष्ठ आहे जिथे एकूण विभव सर्वत्र शून्य आहे. हे पृष्ठ रेषा $\mathrm{AB}$ ला लंब आहे. हे पृष्ठ रेषा $\mathrm{AB}$ च्या मध्यबिंदूवर स्थित आहे कारण आवेशांचे मान समान आहेत.

या पृष्ठावरील प्रत्येक बिंदूवर वीज क्षेत्राची दिशा पृष्ठाला लंब असून $\mathrm{AB}$ च्या दिशेने आहे.

उत्तर

गोलाकार चालकाची त्रिज्या, $r=12 \mathrm{~cm}=0.12 \mathrm{~m}$

चालकावर आवेश समान रित्या वितरित आहे, $q=1.6 \times 10^{-7} \mathrm{C}$

गोलाकार चालकाच्या आत वीज क्षेत्र शून्य असते. याचे कारण असे की जर चालकाच्या आत क्षेत्र असेल, तर आवेश हालचाल करून त्यास निष्प्रभ करतील.

चालकाच्या थोड्या बाहेर वीज क्षेत्र $E$ खालील संबंधाने दिले जाते,

$$ E=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} $$

जिथे,

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{C}^{-2}$

$\therefore E=\frac{1.6 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^{-9}}{(0.12)^{2}}$

$=10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$

त्यामुळे, गोलाकार चालकाच्या थोड्या बाहेर वीज क्षेत्र $10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$ आहे.

गोलाकार चालकाच्या केंद्रापासून $18 \mathrm{~m}$ अंतरावरील बिंदूवर वीज क्षेत्र $=E_{1}$ बिंदूचे केंद्रापासून अंतर, $d=18 \mathrm{~cm}=0.18 \mathrm{~m}$

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{q}{4 \pi \in_{0} d^{2}} \\ & =\frac{9 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-7}}{\left(18 \times 10^{-2}\right)^{2}} \\ & =4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C} \end{aligned} $$

त्यामुळे, गोलाकार चालकाच्या केंद्रापासून $18 \mathrm{~cm}$ अंतरावरील बिंदूवर वीज क्षेत्र

$4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

संधारित्राच्या समांतर पट्टांमधील क्षमता, $\mathrm{C}=8 \mathrm{pF}$ सुरुवातीला समांतर पट्टांमधील अंतर $d$ होते आणि त्यामध्ये हवा भरली होती. हवेचा परावैद्युत स्थिरांक, $k=1$

क्षमता, $C$, खालील सूत्राने दिली जाते,

$$ \begin{align*} C & =\frac{k \in_{0} A}{d} \\ & =\frac{\in_{0} A}{d} \tag{i} \end{align*} $$

जिथे,

$A=$ प्रत्येक पट्टाचे क्षेत्रफळ

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

जर पट्टांमधील अंतर अर्ध्याने कमी केले, तर नवीन अंतर, $d=\frac{d}{2}$

पट्टांमध्ये भरलेल्या पदार्थाचा परावैद्युत स्थिरांक, $k^{\prime}=6$

त्यामुळे, संधारित्राची क्षमता होते

$$ \begin{equation*} C^{\prime}=\frac{k^{\prime} \in_{0} A}{d^{\prime}}=\frac{6 \in_{0} A}{\frac{d}{2}} \tag{ii} \end{equation*} $$

समीकरण (i) आणि (ii) यांचे गुणोत्तर घेतल्यास आपल्याला मिळते

$$ \begin{aligned} C^{\prime} & =2 \times 6 C \\ & =12 C \\ & =12 \times 8=96 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

त्यामुळे, पट्टांमधील क्षमता $96 \mathrm{pF}$ आहे.

उत्तर

तिन्ही संधारित्रांपैकी प्रत्येकाची क्षमता, $C=9 \mathrm{pF}$

संधारित्रांच्या संयोजनाची समतुल्य क्षमता $\left(C^{\prime}\right)$ खालील संबंधाने दिली जाते,

$$ \begin{aligned} \frac{1}{C^{\prime}} & =\frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & =\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \end{aligned} $$

$\therefore C^{\prime}=3 \mu \mathrm{F}$

त्यामुळे, संयोजनाची एकूण क्षमता $3 \mu \mathrm{F}$ आहे.

पुरवठा व्होल्टेज, $V=100 \mathrm{~V}$

प्रत्येक संधारित्रावरील विभवात्मक फरक $\left(V^{\prime}\right)$ हा पुरवठा व्होल्टेजाच्या एक-तृतीयांश इतका असतो.

$$ \therefore V^{\prime}=\frac{V}{3}=\frac{120}{3}=40 \mathrm{~V} $$

त्यामुळे, प्रत्येक संधारित्रावरील विभवात्मक फरक $40 \mathrm{~V}$ आहे.

उत्तर

दिलेल्या संधारित्रांच्या क्षमता आहेत

$$ \begin{aligned} & C_{1}=2 \mathrm{pF} \\ & C_{2}=3 \mathrm{pF} \\ & C_{3}=4 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

संधारित्रांच्या समांतर संयोजनासाठी, समतुल्य संधारित्र $C^{\prime}$ बीजगणितीय बेरीजेने दिले जाते,

$$ C^{\prime}=2+3+4=9 \mathrm{pF} $$

त्यामुळे, संयोजनाची एकूण क्षमता $9 \mathrm{pF}$ आहे.

पुरवठा व्होल्टेज, $V=100 \mathrm{~V}$

तीनही संधारित्रांमधून व्होल्टेज समान असते $=V=100 \mathrm{~V}$

क्षमता $C$ आणि विभवात्मक फरक $V$ असलेल्या संधारित्रावरील आवेश खालील संबंधाने दिला जातो,

$q=V C \ldots$ (i)

$\mathrm{C}=2 \mathrm{pF}$ साठी,

आवेश $=V C=100 \times 2=200 \mathrm{pC}=2 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=3 \mathrm{pF}$ साठी,

आवेश $=V C=100 \times 3=300 \mathrm{pC}=3 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=4 \mathrm{pF}$ साठी,

आवेश $=V C=100 \times 4=200 \mathrm{pC}=4 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

उत्तर

समांतर पट्ट संधारित्राच्या प्रत्येक पट्टाचे क्षेत्रफळ, $A=6 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$

पट्टांमधील अंतर, $d=3 \mathrm{~mm}=3 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

पुरवठा व्होल्टेज, $V=100 \mathrm{~V}$

समांतर पट्ट संधारित्राची क्षमता $C$ खालीलप्रमाणे दिली जाते,

$C=\frac{\in_{0} A}{d}$

जिथे,

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$=8.854 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{C}^{-2}$

$$ \begin{aligned} \therefore C & =\frac{8.854 \times 10^{-12} \times 6 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}} \\ & =17.71 \times 10^{-12} \mathrm{~F} \\ & =17.71 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

विभव $V$ हा आवेश $q$ आणि क्षमता $C$ यांच्याशी संबंधित आहे

$$ \begin{aligned} & V=\frac{q}{C} \\ & \therefore q=V C \\ & =100 \times 17.71 \times 10^{-12} \\ & =1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C} \end{aligned} $$

त्यामुळे, संधारित्राची क्षमता $17.71 \mathrm{pF}$ आहे आणि प्रत्येक पट्टावरील आवेश $1.771 \times$ $10^{-9} \mathrm{C}$ आहे.

उत्तर

मायकाच्या पट्टीचा परावैद्युत स्थिरांक, $k=6$

सुरुवातीची क्षमता, $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

नवीन क्षमता, $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

पुरवठा व्होल्टेज, $V=100 \mathrm{~V}$

नवीन आवेश, $q^{\prime}=C^{\prime} V=6 \times 1.771 \times 10^{-9}=1.06 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

पट्टांमधील विभव कायम $100 \mathrm{~V}$ राहतो.

परावैद्युत स्थिरांक, $k=6$

सुरुवातीची क्षमता, $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

नवीन क्षमता, $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

जर पुरवठा व्होल्टेज काढून टाकला, तर पट्टांवरील आवेशाच्या प्रमाणावर कोणताही परिणाम होणार नाही.

आवेश $=1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C}$

पट्टांमधील विभव खालीलप्रमाणे दिला जातो,

$$ \begin{aligned} \therefore V^{\prime} & =\frac{q}{C^{\prime}} \\ & =\frac{1.771 \times 10^{-9}}{106 \times 10^{-12}} \\ & =16.7 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

उत्तर

संधारित्राची क्षमता, $C=12 \mathrm{pF}=12 \times 10^{-12} \mathrm{~F}$

विभवात्मक फरक, $V=50 \mathrm{~V}$

संधारित्रात साठवलेली स्थिरवैद्युत ऊर्जा खालील संबंधाने दिली जाते,

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-12} \times(50)^{2} \\ & =1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

त्यामुळे, संधारित्रात साठवलेली स्थिरवैद्युत ऊर्जा $1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J}$ आहे.

उत्तर

संधारित्राची क्षमता, $C=600 \mathrm{pF}$

विभवात्मक फरक, $V=200 \mathrm{~V}$

संधारित्रात साठवलेली स्थिरवैद्युत ऊर्जा खालीलप्रमाणे दिली जाते,

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times\left(600 \times 10^{-12}\right) \times(200)^{2} \\ & =1.2 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

जर पुरवठा संधारित्रातून डिस्कनेक्ट केला आणि क्षमता $C=600$ $\mathrm{pF}$ असलेले दुसरे संधारित्र त्याला जोडले, तर संयोजनाची समतुल्य क्षमता $(C)$ खालीलप्रमाणे दिली जाते,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{C^{\prime}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & \quad=\frac{1}{600}+\frac{1}{600}=\frac{2}{600}=\frac{1}{300} \\ & \therefore C^{\prime}=300 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

नवीन स्थिरवैद्युत ऊर्जा खालीलप्रमाणे मोजता येते

$$ \begin{aligned} E^{\prime} & =\frac{1}{2} \times C^{\prime} \times V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 300 \times(200)^{2} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

स्थिरवैद्युत ऊर्जेतील नुकसान $=E-E^{\prime}$

$$ \begin{aligned} & =1.2 \times 10^{-5}-0.6 \times 10^{-5} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \\ & =6 \times 10^{-6} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

त्यामुळे, या प्रक्रियेत नष्ट झालेली स्थिरवैद्युत ऊर्जा $6 \times 10^{-6} \mathrm{~J}$ आहे.