अध्याय 8 विद्युतचुंबकीय तरंग

उत्तर

प्रत्येक वर्तुळाकार प्लेटची त्रिज्या, $r=12 \mathrm{~cm}=12 \times 10^{-2} \mathrm{~m}$

प्लेट्समधील अंतर, $d=5 \mathrm{~cm}=5 \times 10^{-2} \mathrm{~m}$

चार्जिंग प्रवाह, $I=0.15 \mathrm{~A}$

मुक्त अवकाशाची पराविद्युतता, $\varepsilon_{0}=8.85 \times 10^{-12} C^{2} N^{-1} m^{-2}$

(a) दोन प्लेट्समधील धारकता खालील संबंधाने दिली जाते,

$A=$ प्रत्येक प्लेटचे क्षेत्रफळ $=\pi r^{2}$

$C=\frac{\varepsilon_{0} \pi r^{2}}{d}$

$=\frac{8.85 \times 10^{-12} \times 3.14 \times\left(12 \times 10^{-2}\right)^{2}}{5 \times 10^{-2}}$

$C=8.0032 \times 10^{-12} F=8 p F$

प्रत्येक प्लेटवरील चार्ज, $q=C V$

येथे,

$\mathrm{V}=$ प्लेट्समधील विभवांतर

वेळेच्या संदर्भात $(t)$ दोन्ही बाजूंचे अवकलन केल्यास:

$\frac{d q}{d t}=C \frac{d V}{d t}$

परंतु, $\frac{d q}{d t}=$ प्रवाह $(I)$

$\therefore \frac{d V}{d t}=\frac{I}{C}$

$\Rightarrow \frac{0.15}{80.032 \times 10^{-12}}=1.87 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{s}$

म्हणून, प्लेट्समधील विभवांतरातील बदल $1.87 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{s}$ आहे.

(b) प्लेट्समधील विस्थापन प्रवाह हा वहन प्रवाहासारखाच असतो. म्हणून, विस्थापन प्रवाह, id हा $0.15 \mathrm{~A}$ आहे.

(c) होय

संधारित्राच्या प्रत्येक प्लेटवर किर्चहॉफचा पहिला नियम वैध आहे कारण विस्थापन प्रवाह हा वहन प्रवाहाइतका असतो.

उत्तर प्रत्येक वर्तुळाकार प्लेटची त्रिज्या, $R=6.0 \mathrm{~cm}=0.06 \mathrm{~m}$

समांतर प्लेट संधारित्राची धारकता, $C=100 \mathrm{pF}=100 \times 10^{-12} \mathrm{~F}$

पुरवठा व्होल्टेज, $V=230 \mathrm{~V}$

कोनीय वारंवारता, $\omega=300 \mathrm{rad}_{s^{-1}}$

(a) वहन प्रवाहाचे rms मूल्य, $I_{r m s}=\frac{V_{r m s}}{X_{c}}$

येथे,

$X_{C}=$ धारकीय प्ररोध

$=\frac{1}{\omega C}$

$\therefore I=V_{r m s} \times \omega C$

$=230 \times 300 \times 100 \times 10^{-12}$

$=6.9 \times 10^{-6} \mathrm{~A}$

$=6.9 \mu \mathrm{A}$

म्हणून, वहन प्रवाहाचे rms मूल्य $6.9 \mu \mathrm{A}$ आहे.

(b) होय, वहन प्रवाह हा विस्थापन प्रवाहाइतका असतो.

(c) चुंबकीय क्षेत्र खालीलप्रमाणे दिले जाते:

$B=\frac{\mu_{o} r}{2 \pi R^{2}} I_{o}$

येथे,

$\mu_{0}=$ मुक्त अवकाशाची पारगम्यता $=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{NA}^{-2}$

$I 0=$ प्रवाहाचे कमाल मूल्य $=\sqrt{2} l$ $r=$ अक्षापासून प्लेट्समधील अंतर $=3.0 \mathrm{~cm}=0.03 \mathrm{~m}$

$B=\frac{\mu_{0} I_{0} r}{2 \pi R^{2}}=\frac{\mu_{0} I_{r m s} \sqrt{2} r}{2 \pi R^{2}}$

$\therefore B=\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.03 \times \sqrt{2} \times 6.9 \times 10^{-6}}{2 \pi \times(0.06)^{2}}$

$=1.63 \times 10^{-11} \mathrm{~T}$ म्हणून, त्या बिंदूवरील चुंबकीय क्षेत्र $1.63 \times 10^{-11} \mathrm{~T}$ आहे.

उत्तर

विद्युतचुंबकीय तरंग निर्वातात z-दिशेने प्रवास करते. विद्युत क्षेत्र $(E)$ आणि चुंबकीय क्षेत्र $(H)$ $x-y$ समतलात असतात. ते परस्पर लंब असतात.

तरंगाची वारंवारता, $v=30 \mathrm{MHz}=30 \times 10^{6} \mathrm{~s}^{-1}$

निर्वातातील प्रकाशाचा वेग, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

तरंगाची तरंगलांबी खालीलप्रमाणे दिली जाते:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{30 \times 10^{6}}=10 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

उत्तर

दोलनाद्वारे निर्माण होणाऱ्या विद्युतचुंबकीय तरंगाची वारंवारता ही प्रभारित कण त्याच्या सरासरी स्थितीपासून दोलन करत असलेल्या वारंवारतेइतकीच असते म्हणजेच $10^{9} \mathrm{~Hz}$.

उत्तर

निर्वातातील विद्युतचुंबकीय तरंगाच्या चुंबकीय क्षेत्राचे आयाम,

$B 0=510 \mathrm{nT}=510 \times 10^{-9} \mathrm{~T}$

निर्वातातील प्रकाशाचा वेग, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

विद्युतचुंबकीय तरंगाच्या विद्युत क्षेत्राचे आयाम खालील संबंधाने दिले जाते,

$c=\frac{E_{0}}{B_{0}}$

$E_{0}=c B_{0}$

$=3 \times 10^{8} \times 510 \times 10^{-9}=153 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

म्हणून, तरंगाचा विद्युत क्षेत्र भाग $153 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$ आहे.

उत्तर

विद्युत क्षेत्र आयाम, $E_{0}=120 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

स्रोताची वारंवारता, $v=50.0 \mathrm{MHz}=50 \times 10^{6} \mathrm{~Hz}$

प्रकाशाचा वेग, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

(a) चुंबकीय क्षेत्र सामर्थ्याचे परिमाण खालीलप्रमाणे दिले जाते:

$B_{0}=\frac{E_{0}}{c}$

$=\frac{120}{3 \times 10^{8}}$

$=4 \times 10^{-7} \mathrm{~T}=400 \mathrm{nT}$

स्रोताची कोनीय वारंवारता खालीलप्रमाणे दिली जाते:

$\omega=2 n v=2 \pi \times 50 \times 10^{6}$

$=3.14 \times 10^{8} \mathrm{rad} / \mathrm{s}$

प्रसार स्थिरांक खालीलप्रमाणे दिला जातो: $k=\frac{2 \pi \nu}{c}=\frac{\omega}{c}$

$=\frac{3.14 \times 10^{8}}{3 \times 10^{8}}=1.05 \mathrm{rad} / \mathrm{m}$

तरंगाची तरंगलांबी खालीलप्रमाणे दिली जाते:

$\lambda=\frac{c}{v}$

$=\frac{3 \times 10^{8}}{50 \times 10^{6}}=6.0 \mathrm{~m}$

(b) समजा तरंग धन $x$ दिशेने प्रसारित होत आहे. तर, विद्युत क्षेत्र सदिश धन $y$ दिशेने असेल आणि चुंबकीय क्षेत्र सदिश धन $z$ दिशेने असेल. हे कारण तिन्ही सदिश परस्पर लंब असतात.

विद्युत क्षेत्र सदिशाचे समीकरण खालीलप्रमाणे दिले जाते:

$E=E_{0} \operatorname{Sin}(k x-\omega t) \hat{j}$

$\vec{E}=120 \operatorname{Sin}\left(1.05 x-3.14 \times 10^{8} t\right) \hat{j} N / C$

आणि, चुंबकीय क्षेत्र सदिश खालीलप्रमाणे दिला जातो:

$B=B_{0} \operatorname{Sin}(k x-\omega t) \hat{k}$

$\vec{B}=\left(4 \times 10^{-7}\right) \operatorname{Sin}\left(1.05 x-3.14 \times 10^{8} t\right) \hat{k}$ टेस्ला

उत्तर

फोटॉनची ऊर्जा खालीलप्रमाणे दिली जाते: $E=h v=\frac{h c}{\lambda}$

येथे,

$h=$ प्लँकचा स्थिरांक $=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$c=$ प्रकाशाचा वेग $=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

$\lambda=$ प्रारणाची तरंगलांबी

$\therefore E=\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{\lambda}=\frac{19.8 \times 10^{-26}}{\lambda}$

$=\frac{19.8 \times 10^{-26}}{\lambda \times 1.6 \times 10^{-19}}=\frac{12.375 \times 10^{-7}}{\lambda} \mathrm{eV}$

दिलेली सारणी विविध $\lambda$ साठी विद्युतचुंबकीय वर्णपटाच्या विविध भागांची फोटॉन ऊर्जा सूचीबद्ध करते.

वर्णपटाच्या विविध भागांसाठी फोटॉन ऊर्जा स्रोताच्या संबंधित ऊर्जा पातळींचे अंतर दर्शवते.

उत्तर

विद्युतचुंबकीय तरंगाची वारंवारता, $v=$ $$ 2 \times 10^{10} \mathrm{~Hz} $$

विद्युत क्षेत्र आयाम, $$ E_0=48 \mathrm{Vm}^{-1} $$

प्रकाशाचा वेग, $c=$ $$ 3 \times 10^8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $$

(a) तरंगाची तरंगलांबी खालीलप्रमाणे दिली जाते: $$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \ & = \ & \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^{10}}=0.015 \mathrm{~m} \end{aligned} $$ (b) चुंबकीय क्षेत्र सामर्थ्य खालीलप्रमाणे दिले जाते: $$ \begin{aligned} & B_0=\frac{E_0}{c} \ & = \ & \frac{48}{3 \times 10^8}=1.6 \times 10^{-7} \mathrm{~T} \end{aligned} $$ (c) विद्युत क्षेत्राची ऊर्जा घनता खालीलप्रमाणे दिली जाते: $$ U_E=\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 $$

आणि चुंबकीय क्षेत्राची ऊर्जा घनता खालीलप्रमाणे दिली जाते: $$ U_B=\frac{1}{2 \mu_0} B^2 $$

येथे, $\epsilon_0$ $=$ मुक्त अवकाशाची पराविद्युतता

$\mu_0$ $=$ मुक्त अवकाशाची पारगम्यता $$ \mathrm{E}=\mathrm{CB} $$

येथे, $$ c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \quad \quad (….2)$$

समीकरण (2) ला समीकरण (1) मध्ये ठेवल्यास, आपल्याला मिळते $$ E=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} B $$

दोन्ही बाजूंचा वर्ग केल्यास, आपल्याला मिळते $$ \begin{aligned} & E^2=\frac{1}{\epsilon_0 \mu_0} B^2 \ & \epsilon_0 E^2=\frac{B^2}{\mu_0} \ & \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2=\frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} \ & => \ & U_E=U_B \end{aligned} $$