प्रकरण 7 पर्यायी विद्युतधारा

उत्तर

रोधकाचा रोध, $R=100 \Omega$

पुरवठ्याचा विद्युतदाब, $V=220 \mathrm{~V}$

वारंवारता, $v=50 \mathrm{~Hz}$

(अ) परिपथातील विद्युतधारेचे rms मूल्य खालीलप्रमाणे दिले आहे:

$$ \begin{aligned} I & =\frac{V}{R} \\ & =\frac{220}{100}=2.20 \mathrm{~A} \end{aligned} $$

(ब) एका पूर्ण चक्रातील निव्वळ उर्जावापर खालीलप्रमाणे दिला आहे:

$$ P=V I $$

$=220 \times 2.2=484 \mathrm{~W}$

उत्तर

(अ) ac पुरवठ्याचा शिखर विद्युतदाब, $V_{0}=300 \mathrm{~V}$

Rms विद्युतदाब खालीलप्रमाणे दिला आहे:

$$ \begin{aligned} V & =\frac{V_{0}}{\sqrt{2}} \\ & =\frac{300}{\sqrt{2}}=212.1 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

(ब) विद्युतधारेचे rms मूल्य खालीलप्रमाणे दिले आहे:

$I=10 \mathrm{~A}$

आता, शिखर विद्युतधारा खालीलप्रमाणे दिली आहे:

$$ \begin{aligned} I_{0} & =\sqrt{2} I \\ & =10 \sqrt{2}=14.1 \mathrm{~A} \end{aligned} $$

उत्तर

प्रेरित्राचे प्रेरितत्व, $L=44 \mathrm{mH}=44 \times 10^{-3} \mathrm{H}$

पुरवठ्याचा विद्युतदाब, $V=220 \mathrm{~V}$

वारंवारता, $v=50 \mathrm{~Hz}$

कोनीय वारंवारता, $\omega=2 \pi v$

प्रेरण प्ररोध, $X_{\mathrm{L}}=\omega L=2 \pi \nu L=2 \pi \times 50 \times 44 \times 10^{-3} \Omega$

विद्युतधारेचे rms मूल्य खालीलप्रमाणे दिले आहे:

$$ \begin{aligned} I & =\frac{v}{X_{\mathrm{L}}} \\ & =\frac{220}{2 \pi \times 50 \times 44 \times 10^{-3}}=15.92 \mathrm{~A} \end{aligned} $$

म्हणून, परिपथातील विद्युतधारेचे rms मूल्य $15.92 \mathrm{~A}$ आहे.

उत्तर

संधारित्राची धारकता, $C=60 \mu \mathrm{F}=60 \times 10^{-6} \mathrm{~F}$

पुरवठ्याचा विद्युतदाब, $V=110 \mathrm{~V}$

वारंवारता, $v=60 \mathrm{~Hz}$

कोनीय वारंवारता, $\omega=2 \pi v$

धारक प्ररोध $X_{\mathrm{c}}=\frac{1}{\omega C}$

$=\frac{1}{2 \pi v C}$

$=\frac{1}{2 \times 3.14 \times 60 \times 60 \times 10^{-6}} \Omega^{-1}$

विद्युतधारेचे rms मूल्य खालीलप्रमाणे दिले आहे:

$$ \begin{aligned} I & =\frac{v}{X_{\mathrm{c}}} \\ & =110 \times 2 \times 3.14 \times 60 \times 10^{-6} \times 60=2.49 \mathrm{~A} \end{aligned} $$

म्हणून, विद्युतधारेचे rms मूल्य $2.49 \mathrm{~A}$ आहे.

उत्तर

प्रेरण परिपथामध्ये,

विद्युतधारेचे rms मूल्य, $I=15.92 \mathrm{~A}$

विद्युतदाबाचे rms मूल्य, $V=220 \mathrm{~V}$

म्हणून, निव्वळ शोषली जाणारी शक्ती खालील संबंधाने मिळवता येते,

$P=V I \cos \Phi$

येथे,

$\Phi=$ $V$ आणि $I$ मधील प्रावस्थांतर

शुद्ध प्रेरण परिपथासाठी, पर्यायी विद्युतदाब आणि विद्युतधारा यांच्यातील प्रावस्थांतर $90^{\circ}$ आहे म्हणजेच, $\Phi=90^{\circ}$.

म्हणून, $P=0$ म्हणजेच, निव्वळ शक्ती शून्य आहे.

धारक परिपथामध्ये,

विद्युतधारेचे rms मूल्य, $I=2.49$ A

विद्युतदाबाचे rms मूल्य, $V=110 \mathrm{~V}$

म्हणून, निव्वळ शोषली जाणारी शक्ती खालीलप्रमाणे मिळवता येते:

$P=V I \operatorname{Cos} \Phi$

शुद्ध धारक परिपथासाठी, पर्यायी विद्युतदाब आणि विद्युतधारा यांच्यातील प्रावस्थांतर $90^{\circ}$ आहे म्हणजेच, $\Phi=90^{\circ}$.

म्हणून, $P=0$ म्हणजेच, निव्वळ शक्ती शून्य आहे.

उत्तर

धारकता, $C=30 \mu \mathrm{F}=30 \times 10^{-6} \mathrm{~F}$

प्रेरितत्व, $L=27 \mathrm{mH}=27 \times 10^{-3} \mathrm{H}$

कोनीय वारंवारता खालीलप्रमाणे दिली आहे:

$$ \begin{aligned} \omega_{r} & =\frac{1}{\sqrt{L C}} \\ & =\frac{1}{\sqrt{27 \times 10^{-3} \times 30 \times 10^{-6}}}=\frac{1}{9 \times 10^{-4}}=1.11 \times 10^{3} \mathrm{rad} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

म्हणून, परिपथाच्या मुक्त दोलनांची कोनीय वारंवारता $1.11 \times 10^{3} \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ आहे.

उत्तर

अनुनादावस्थेत, पुरवठ्याची वारंवारता दिलेल्या LCR परिपथाच्या नैसर्गिक वारंवारतेएवढी असते.

रोध, $R=20 \Omega$

प्रेरितत्व, $L=1.5 \mathrm{H}$

धारकता, $C=35 \mu \mathrm{F}=30 \times 10^{-6} \mathrm{~F}$

$L C R$ परिपथाला दिलेला AC पुरवठा विद्युतदाब, $V=200 \mathrm{~V}$

परिपथाची प्रतिबाधा खालील संबंधाने दिली जाते,

$Z=\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}$

अनुनादावस्थेत, $\omega L=\frac{1}{\omega C}$

$\therefore Z=R=20 \Omega$

परिपथातील विद्युतधारा खालीलप्रमाणे काढता येते:

$$ \begin{aligned} I & =\frac{V}{Z} \\ & =\frac{200}{20}=10 \mathrm{~A} \end{aligned} $$

म्हणून, एका पूर्ण चक्रात परिपथाला हस्तांतरित होणारी सरासरी शक्ती $=V I$

$=200 \times 10=2000 \mathrm{~W}$.

उत्तर

प्रेरित्राचे प्रेरितत्व, $L=5.0 \mathrm{H}$ संधारित्राची धारकता, $C=80 \mu \mathrm{H}=80 \times 10^{-6} \mathrm{~F}$ रोधकाचा रोध, $R=40 \Omega$ परिवर्ती विद्युतदाब स्रोताचा विद्युतदाब, $V=230 \mathrm{~V}$ (अ) अनुनाद कोनीय वारंवारता खालीलप्रमाणे दिली आहे: $$ \begin{aligned} \omega_R & =\frac{1}{\sqrt{L C}} \ & =\frac{1}{\sqrt{5 \times 80 \times 10^{-6}}}=\frac{10^3}{20}=50 \mathrm{rad} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

म्हणून, स्रोताची वारंवारता $50 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ असताना परिपथ अनुनादावस्थेत येईल.

(ब) परिपथाची प्रतिबाधा खालील संबंधाने दिली जाते, $$ Z=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2} $$

अनुनादावस्थेत, $$ \begin{aligned} & \omega L=\frac{1}{\omega C} \ & \therefore Z=R=40 \Omega \end{aligned} $$

अनुनाद वारंवारतेवर विद्युतधारेचे मोठेपणा खालीलप्रमाणे दिले आहे: $I_0=\frac{V_0}{Z}$ येथे, $$ \begin{aligned} V_0 & =\text { Peak voltage } \ & =\sqrt{2} \mathrm{~V} \ \therefore I_0 & =\frac{\sqrt{2} \mathrm{~V}}{Z} \ & =\frac{\sqrt{2} \times 230}{40}=8.13 \mathrm{~A} \end{aligned} $$

म्हणून, अनुनादावस्थेत, परिपथाची प्रतिबाधा $40 \Omega$ आहे आणि विद्युतधारेचे मोठेपणा $8.13 \mathrm{~A}$ आहे.

(क) प्रेरित्रावरील rms विभवपात, $$ \left(V_L\right)_{\text {rms }}=I \times \omega_R L $$

येथे, $I=$ rms विद्युतधारा $$ \begin{aligned} & =\frac{I_0}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2} V}{\sqrt{2} Z}=\frac{230}{40} \mathrm{~A} \ & \therefore\left(V_L\right)_{\text {rms }}=\frac{230}{40} \times 50 \times 5=1437.5 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

संधारित्रावरील विभवपात, $$ \begin{aligned} \left(V_c\right)_{\mathrm{ms}} & =I \times \frac{1}{\omega_R C} \ & =\frac{230}{40} \times \frac{1}{50 \times 80 \times 10^{-6}}=1437.5 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

रोधकावरील विभवपात, $$ \begin{aligned} & \left(V_R\right)_{\mathrm{rms}}=I R \ & =\frac{230}{40} \times 40=230 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

LC संयोगावरील विभवपात, $$ V_{L C}=I\left(\omega_R L-\frac{1}{\omega_R C}\right) $$

अनुनादावस्थेत, $\omega_R L=\frac{1}{\omega_R C}$ $$ \therefore V_{L C}=0 $$

म्हणून, अनुनाद वारंवारतेवर $L C$ संयोगावरील विभवपात शून्य आहे हे सिद्ध झाले.