नीट सोल्व्ड पेपर 2015 प्रश्न 13
प्रश्न: केप्लरचा तिसरा नियम सांगतो की सूर्याभोवती फिरणाऱ्या ग्रहाच्या परिभ्रमण कालावधीचा (T) वर्ग, सूर्य आणि ग्रह यांच्यातील सरासरी अंतर r च्या तिसऱ्या घाताच्या प्रमाणात असतो म्हणजेच $ T^{2}=Kr^{3}, $ येथे K हा स्थिरांक आहे. जर सूर्य आणि ग्रह यांचे वस्तुमान अनुक्रमे M आणि m असेल, तर न्यूटनच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या नियमानुसार त्यांच्यातील आकर्षण बल $ F=\frac{GMm}{r^{2}} $ , येथे G हा गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक आहे. तर G आणि K यांच्यातील संबंध खालीलप्रमाणे दर्शविला आहे
पर्याय:
A) $ GK=4{{\pi }^{2}} $
B) $ GMK=4{{\pi }^{2}} $
C) $ K=G $
D) $ K=\frac{l}{G} $
Show Answer
उत्तर:
योग्य उत्तर: B
उपाय:
ग्रह आणि सूर्य यांच्यातील गुरुत्वाकर्षण बल अभिकेंद्री बल पुरवते
म्हणजेच $ \frac{GMm}{r^{2}}=\frac{mv^{2}}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\frac{GM}{r}} $
ग्रहाचा कालावधी असेल $ T=\frac{2\pi r}{v} $
$ \Rightarrow T^{2}=\frac{4{{\pi }^{2}}r^{2}}{\frac{Gm}{r}}=\frac{4{{\pi }^{2}}r^{3}}{GM} $ ..(i)
तसेच केप्लरच्या तिसऱ्या नियमावरून $ T^{2}=Kr^{3} $ ..(ii)
समीकरण (i) आणि (ii) वरून, आपल्याला मिळते $ \frac{4{{\pi }^{2}}r^{3}}{GM}=Kr^{3}\Rightarrow GMK=4{{\pi }^{2}} $
BETA
