ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣର ଉତ୍ପତ୍ତି

ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ କ’ଣ?#

ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ହେଉଛି ଏକ ଗାଣିତିକ ରୂପାନ୍ତରଣ ଯାହା ବିଶେଷ ଆପେକ୍ଷିକତା ତତ୍ତ୍ୱରେ ସ୍ଥାନ ଓ ସମୟ କିପରି ସମ୍ବନ୍ଧିତ, ତାହା ବର୍ଣ୍ଣନା କରେ। ଏହା ୧୯୦୪ ମସିହାରେ ଡଚ ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନୀ ହେନ୍ଡ୍ରିକ୍ ଲରେଣ୍ଟଜଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ବିକଶିତ ହୋଇଥିଲା ଏବଂ ତାଙ୍କ ନାମାନୁସାରେ ଏହାର ନାମକରଣ କରାଯାଇଛି।

ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ଆପେକ୍ଷିକତାର ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଉପରେ ପ୍ରତିଷ୍ଠିତ, ଯାହା କହେ ଯେ ସମସ୍ତ ସମାନ ଗତିରେ ଥିବା ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକଙ୍କ ପାଇଁ ଭୌତିକ ନିୟମଗୁଡ଼ିକ ସମାନ। ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି କୌଣସି ପରମ ଆଧାର ଫ୍ରେମ୍ ନାହିଁ ଏବଂ ସମସ୍ତ ଗତି ଆପେକ୍ଷିକ।

ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ଏକ ଘଟଣାର (ଯେପରିକି ଏକ କଣିକାର ସ୍ଥିତି ଓ ସମୟ) ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକ ଗୋଟିଏ ଆଧାର ଫ୍ରେମ୍ ରୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ଆଧାର ଫ୍ରେମ୍ କୁ କିପରି ରୂପାନ୍ତରିତ ହୁଏ, ତାହା ବର୍ଣ୍ଣନା କରେ। ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି:

$$x’ = \gamma (x - vt)$$

$$y’ = y$$

$$z’ = z$$

$$t’ = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right)$$

ଯେଉଁଠାରେ:

• $x, y, z, t$ ହେଉଛି ପ୍ରଥମ ଆଧାର ଫ୍ରେମ୍ ରେ ଘଟଣାର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ
• $x’, y’, z’, t’$ ହେଉଛି ଦ୍ୱିତୀୟ ଆଧାର ଫ୍ରେମ୍ ରେ ଘଟଣାର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ
• $v$ ହେଉଛି ଦୁଇଟି ଆଧାର ଫ୍ରେମ୍ ମଧ୍ୟରେ ଆପେକ୍ଷିକ ବେଗ
• $c$ ହେଉଛି ଆଲୋକର ବେଗ

ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ଅନେକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ପରିଣାମ ରହିଛି, ଯେପରିକି:

• ସମୟ ପ୍ରସାରଣ: ଗତିଶୀଳ ଘଣ୍ଟା ଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥିର ଘଣ୍ଟା ତୁଳନାରେ ଧୀରେ ଚାଲେ।
• ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସଙ୍କୋଚନ: ଗତିଶୀଳ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥିର ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକ ତୁଳନାରେ ଛୋଟ ହୋଇଯାଆନ୍ତି।
• ସମକାଳିକତାର ଆପେକ୍ଷିକତା: ଗୋଟିଏ ଆଧାର ଫ୍ରେମ୍ ରେ ଏକ ସମୟରେ ଘଟୁଥିବା ଦୁଇଟି ଘଟଣା ଅନ୍ୟ ଏକ ଆଧାର ଫ୍ରେମ୍ ରେ ସମକାଳିକ ନ ହୋଇପାରେ।

ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ହେଉଛି ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନର ସବୁଠାରୁ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ, ଏବଂ ଏହା ସ୍ଥାନ ଓ ସମୟ ବିଷୟରେ ଆମର ବୁଝାମଣା ଉପରେ ଗଭୀର ପ୍ରଭାବ ପକାଇଛି।

ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣର ଗୁରୁତ୍ୱ#

ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ହେଉଛି ବିଶେଷ ଆପେକ୍ଷିକତା ତତ୍ତ୍ୱରେ ଏକ ମୌଳିକ ଧାରଣା, ଯାହା ୧୯ଶ ଶତାବ୍ଦୀର ଶେଷ ଭାଗରେ ଡଚ ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନୀ ହେନ୍ଡ୍ରିକ୍ ଲରେଣ୍ଟଜଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ବିକଶିତ ହୋଇଥିଲା। ଏହା ସ୍ଥାନ ଓ ସମୟ କିପରି ସମ୍ବନ୍ଧିତ ଏବଂ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକଙ୍କ ଆପେକ୍ଷିକ ଗତି ଦ୍ୱାରା ସେମାନେ କିପରି ପ୍ରଭାବିତ ହୁଅନ୍ତି, ତାହା ବର୍ଣ୍ଣନା କରେ। ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣର ଗୁରୁତ୍ୱ ବିଶ୍ୱ ଏବଂ ଭୌତିକ ନିୟମଗୁଡ଼ିକ ବିଷୟରେ ଆମର ବୁଝାମଣା ଉପରେ ଏହାର ଗଭୀର ପ୍ରଭାବରେ ନିହିତ।

ମୁଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ:#

• ସ୍ପେସ୍ଟାଇମ୍ ସନ୍ତତି: ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ସ୍ପେସ୍ଟାଇମ୍ କୁ ଏକ ଏକୀକୃତ ସତ୍ତା ଭାବରେ ଏକ ଧାରଣା ସ୍ଥାପନ କରେ, ଯେଉଁଠାରେ ସ୍ଥାନ ଓ ସମୟ ଅବିଚ୍ଛେଦ୍ୟ ଭାବରେ ଜଡ଼ିତ। ଏହା ଦର୍ଶାଏ ଯେ ସ୍ଥାନ ଓ ସମୟର ମାପ ଆପେକ୍ଷିକ ଏବଂ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକର ଗତି ଉପରେ ନିର୍ଭର କରେ।

• ସମୟ ପ୍ରସାରଣ: ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣର ସବୁଠାରୁ ଉଲ୍ଲେଖନୀୟ ପରିଣାମଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ହେଉଛି ସମୟ ପ୍ରସାରଣ। ଯେତେବେଳେ ଏକ ବସ୍ତୁ ଆଲୋକର ବେଗର ନିକଟବର୍ତ୍ତୀ ହୁଏ, ସେତେବେଳେ ସ୍ଥିର ଏକ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକ ତୁଳନାରେ ସେହି ବସ୍ତୁ ପାଇଁ ସମୟ ଧୀରେ ଚାଲିବା ପରି ଜଣାଯାଏ। ଏହି ପ୍ରଭାବ ସମୟ ପରିବ୍ରଜନ ଏବଂ ବାର୍ଦ୍ଧକ୍ୟ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଭଳି ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରଭାବ ରଖିଛି।

• ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସଙ୍କୋଚନ: ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣର ଅନ୍ୟ ଏକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଦିଗ ହେଉଛି ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସଙ୍କୋଚନ। ଗତିଶୀଳ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକ ସେମାନଙ୍କର ଗତିର ଦିଗରେ ସେମାନଙ୍କର ବିଶ୍ରାମ ସମୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୁଳନାରେ ଛୋଟ ଦେଖାଯାଆନ୍ତି। ଏହି ପ୍ରଭାବ ଆଲୋକର ବେଗର ନିକଟବର୍ତ୍ତୀ ବେଗରେ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ହୁଏ।

• ସମକାଳିକତାର ଆପେକ୍ଷିକତା: ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ପରମ ସମକାଳିକତାର ଧାରଣାକୁ ଚ୍ୟାଲେଞ୍ଜ କରେ। ଗୋଟିଏ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକଙ୍କୁ ଯେଉଁ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକ ଏକ ସମୟରେ ଘଟୁଥିବା ପରି ଜଣାଯାଏ, ସେଗୁଡ଼ିକ ଆପେକ୍ଷିକ ଗତିରେ ଥିବା ଅନ୍ୟ ଏକ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକଙ୍କୁ ସମକାଳିକ ନ ହୋଇପାରେ। ଏହି ଧାରଣା ଗଭୀର ଦାର୍ଶନିକ ଏବଂ ବୈଜ୍ଞାନିକ ପ୍ରଭାବ ରଖିଛି।

• ଅପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ ରାଶି: ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ସ୍ପେସ୍ଟାଇମ୍ ବ୍ୟବଧାନ ଏବଂ ଆଲୋକର ବେଗ ଭଳି କେତେକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ରାଶିକୁ ସଂରକ୍ଷଣ କରେ। ଏହି ଅପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳଗୁଡ଼ିକ ଭୌତିକ ନିୟମଗୁଡ଼ିକର ସୂତ୍ରୀକରଣରେ ଏକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଭୂମିକା ଗ୍ରହଣ କରେ ଏବଂ ନିଶ୍ଚିତ କରେ ଯେ ସେଗୁଡ଼ିକ ସମସ୍ତ ଆଧାର ଫ୍ରେମ୍ ରେ ସ୍ଥିର ରହିଥାଏ।

• ପ୍ରୟୋଗିକ ଯାଞ୍ଚ: ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣକୁ ବିସ୍ତୃତ ଭାବରେ ପରୀକ୍ଷା କରାଯାଇଛି ଏବଂ ପ୍ରସିଦ୍ଧ ମାଇକେଲସନ୍-ମୋର୍ଲେ ପରୀକ୍ଷଣ ଏବଂ ଉଚ୍ଚ ବେଗ କଣିକା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ପରୀକ୍ଷଣ ସମେତ ଅନେକ ପରୀକ୍ଷଣ ମାଧ୍ୟମରେ ଯାଞ୍ଚ କରାଯାଇଛି। ଏହାର ସତ୍ୟତା ଆଧୁନିକ ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନର ଏକ ମୂଳସ୍ତମ୍ଭ।

ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ଏବଂ ଗାଲିଲିଆନ୍ ରୂପାନ୍ତରଣ ମଧ୍ୟରେ ପାର୍ଥକ୍ୟ

ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ଏବଂ ଗାଲିଲିଆନ୍ ରୂପାନ୍ତରଣ ହେଉଛି ସ୍ଥାନ ଓ ସମୟ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବାର ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ଉପାୟ। ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ବିଶେଷ ଆପେକ୍ଷିକତା ତତ୍ତ୍ୱରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ, ଯେତେବେଳେ ଗାଲିଲିଆନ୍ ରୂପାନ୍ତରଣ ଶାସ୍ତ୍ରୀୟ ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ।

ମୁଖ୍ୟ ପାର୍ଥକ୍ୟଗୁଡ଼ିକ

ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ଏବଂ ଗାଲିଲିଆନ୍ ରୂପାନ୍ତରଣ ମଧ୍ୟରେ ମୁଖ୍ୟ ପାର୍ଥକ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି:

• ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ଆଲୋକର ବେଗକୁ ସଂରକ୍ଷଣ କରେ, ଯେତେବେଳେ ଗାଲିଲିଆନ୍ ରୂପାନ୍ତରଣ ତାହା କରେ ନାହିଁ। ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣରେ, ଆଲୋକର ବେଗ ସମସ୍ତ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକଙ୍କ ପାଇଁ ସମାନ, ସେମାନଙ୍କର ଗତି ନିର୍ବିଶେଷରେ। ଗାଲିଲିଆନ୍ ରୂପାନ୍ତରଣରେ, ଆଲୋକର ବେଗ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକଙ୍କ ପାଇଁ ଭିନ୍ନ, ସେମାନଙ୍କର ଗତି ଉପରେ ନିର୍ଭର କରି।
• ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ଏକ ଅରେଖୀୟ ରୂପାନ୍ତରଣ, ଯେତେବେଳେ ଗାଲିଲିଆନ୍ ରୂପାନ୍ତରଣ ଏକ ରେଖୀୟ ରୂପାନ୍ତରଣ। ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣରେ, ସ୍ଥାନ ଓ ସମୟ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧ ବର୍ଣ୍ଣନା କରୁଥିବା ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ଅରେଖୀୟ, ଯେତେବେଳେ ଗାଲିଲିଆନ୍ ରୂପାନ୍ତରଣରେ, ସ୍ଥାନ ଓ ସମୟ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧ ବର୍ଣ୍ଣନା କରୁଥିବା ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ରେଖୀୟ।
• ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ଗାଲିଲିଆନ୍ ରୂପାନ୍ତରଣ ତୁଳନାରେ ଅଧିକ ସଠିକ୍। ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ସ୍ଥାନ ଓ ସମୟ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧର ଏକ ଅଧିକ ସଠିକ୍ ବର୍ଣ୍ଣନା ପ୍ରଦାନ କରେ ଯେପରିକି ଗାଲିଲିଆନ୍ ରୂପାନ୍ତରଣ କରେ।

ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ଉପରେ ସମାଧାନ କରାଯାଇଥିବା ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକ#

ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ହେଉଛି ଏକ ଗାଣିତିକ ରୂପାନ୍ତରଣ ଯାହା ବିଶେଷ ଆପେକ୍ଷିକତା ତତ୍ତ୍ୱରେ ସ୍ଥାନ ଓ ସମୟ କିପରି ସମ୍ବନ୍ଧିତ, ତାହା ବର୍ଣ୍ଣନା କରେ। ଏହାର ନାମକରଣ ୧୮୯୨ ମସିହାରେ ପ୍ରଥମେ ଏହାକୁ ବିକଶିତ କରିଥିବା ଡଚ ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନୀ ହେନ୍ଡ୍ରିକ୍ ଲରେଣ୍ଟଜଙ୍କ ନାମାନୁସାରେ କରାଯାଇଛି।

ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣର ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନରେ ଅନେକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରୟୋଗ ରହିଛି, ଯେପରିକି:

• ଆଲୋକର ବେଗର ନିକଟବର୍ତ୍ତୀ ବେଗରେ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକର ଗତି ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା
• ସମୟ ପ୍ରସାରଣ ଏବଂ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସଙ୍କୋଚନ ପ୍ରଭାବଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରିବା
• ଆଲୋକ ଏବଂ ଧ୍ୱନି ତରଙ୍ଗ ପାଇଁ ଡପ୍ଲର୍ ପ୍ରଭାବ ଗଣନା କରିବା

ଉଦାହରଣ 1: ସମୟ ପ୍ରସାରଣ#

ଏକ ମହାକାଶଯାନ ପୃଥିବୀ ସହିତ ତୁଳନାରେ 0.6c (ଯେଉଁଠାରେ c ହେଉଛି ଆଲୋକର ବେଗ) ବେଗରେ ଗତି କରୁଛି। ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ଜଣେ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକ ମହାକାଶଯାନଟି 1 ଆଲୋକ-ବର୍ଷ ଦୂରତା ଯାତ୍ରା କରିବାରେ କେତେ ସମୟ ନେଉଛି ତାହା ମାପନ କରନ୍ତି। ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକ କେତେ ସମୟ ମାପନ କରନ୍ତି?

ସମାଧାନ:

ସମୟ ପ୍ରସାରଣ ପାଇଁ ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ହେଉଛି:

$$ \Delta t = \gamma \Delta t’ $$

ଯେଉଁଠାରେ:

• $\Delta t$ ହେଉଛି ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ମାପିତ ସମୟ ପାର୍ଥକ୍ୟ
• $\Delta t’$ ହେଉଛି ମହାକାଶଯାନରେ ଥିବା ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ମାପିତ ସମୟ ପାର୍ଥକ୍ୟ
• $\gamma$ ହେଉଛି ଲରେଣ୍ଟଜ ଫ୍ୟାକ୍ଟର, ଯାହା ଦିଆଯାଇଛି:

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$

ଯେଉଁଠାରେ:

• $v$ ହେଉଛି ଦୁଇଜଣ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକ ମଧ୍ୟରେ ଆପେକ୍ଷିକ ବେଗ

ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ, $v = 0.6c$, ତେଣୁ:

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.6^2}} = 1.25 $$

ତେଣୁ, ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକ ଏକ ସମୟ ପାର୍ଥକ୍ୟ ମାପନ କରନ୍ତି:

$$ \Delta t = \gamma \Delta t’ = 1.25 \times 1 \text{ light-year} = 1.25 \text{ light-years} $$

ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକ ମହାକାଶଯାନରେ ଥିବା ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକଙ୍କ ତୁଳନାରେ ଏକ ଦୀର୍ଘ ସମୟ ବ୍ୟବଧାନ ମାପନ କରନ୍ତି। ଏହାକୁ ସମୟ ପ୍ରସାରଣ କୁହାଯାଏ।

ଉଦାହରଣ 2: ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସଙ୍କୋଚନ#

ଏକ ଦଣ୍ଡ ପୃଥିବୀ ସହିତ ତୁଳନାରେ 0.6c ବେଗରେ ଗତି କରୁଛି। ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ଜଣେ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକ ଦଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମାପନ କରନ୍ତି। ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକ ଦଣ୍ଡକୁ କେତେ ଛୋଟ ମାପନ କରନ୍ତି?

ସମାଧାନ:

ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସଙ୍କୋଚନ ପାଇଁ ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ହେଉଛି:

$$ \Delta x = \frac{\Delta x’}{\gamma} $$

ଯେଉଁଠାରେ:

• $\Delta x$ ହେଉଛି ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ମାପିତ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପାର୍ଥକ୍ୟ
• $\Delta x’$ ହେଉଛି ଦଣ୍ଡରେ ଥିବା ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ମାପିତ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପାର୍ଥକ୍ୟ
• $\gamma$ ହେଉଛି ଲରେଣ୍ଟଜ ଫ୍ୟାକ୍ଟର

ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ, $v = 0.6c$, ତେଣୁ:

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.6^2}} = 1.25 $$

ତେଣୁ, ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକ ଏକ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପାର୍ଥକ୍ୟ ମାପନ କରନ୍ତି:

$$ \Delta x = \frac{\Delta x’}{\gamma} = \frac{1 \text{ meter}}{1.25} = 0.8 \text{ meters} $$

ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକ ଦଣ୍ଡକୁ ଏହାର ପ୍ରକୃତ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୁଳନାରେ ଛୋଟ ମାପନ କରନ୍ତି। ଏହାକୁ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସଙ୍କୋଚନ କୁହାଯାଏ।

ଉଦାହରଣ 3: ଡପ୍ଲର୍ ପ୍ରଭାବ#

ଏକ ମହାକାଶଯାନ ପୃଥିବୀ ସହିତ ତୁଳନାରେ 0.6c ବେଗରେ ଗତି କରୁଛି। ମହାକାଶଯାନରୁ ପୃଥିବୀ ଆଡକୁ ଏକ ଆଲୋକ ତରଙ୍ଗ ଉତ୍ସର୍ଜିତ ହୁଏ। ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ଜଣେ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ମାପିତ ଆଲୋକ ତରଙ୍ଗର ଆବୃତ୍ତି କ’ଣ?

ସମାଧାନ:

ଡପ୍ଲର୍ ପ୍ରଭାବ ପାଇଁ ଲରେଣ୍ଟଜ ରୂପାନ୍ତରଣ ହେଉଛି:

$$ f = \frac{f’}{\gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \cos\theta \right)} $$

ଯେଉଁଠାରେ:

• $f$ ହେଉଛି ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷକଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ମାପିତ ଆଲୋକ ତରଙ୍ଗର ଆବୃତ୍ତି
• $f’$ ହେଉଛି ମହାକାଶଯାନ ଦ୍ୱାରା ଉତ୍ସର୍ଜିତ ଆଲୋକ ତରଙ୍ଗର ଆବୃତ୍ତି
• $\gamma$ ହେଉଛି ଲରେଣ୍ଟଜ ଫ୍ୟାକ