ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍

ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍#

ଏକ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ହେଉଛି ଏକ ପ୍ରଣାଳୀ ଯାହା, ଯେତେବେଳେ ଏହାର ସନ୍ତୁଳନ ସ୍ଥିତିରୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତରିତ ହୁଏ, ସ୍ଥାନାନ୍ତରର ସମାନୁପାତିକ ଏକ ପୁନଃସ୍ଥାପନ ବଳ ଅନୁଭବ କରେ। ଏହି ବଳ ପ୍ରଣାଳୀକୁ ଏହାର ସନ୍ତୁଳନ ସ୍ଥିତି ଚାରିପାଖରେ ଏକ ସ୍ଥିର ଆବୃତ୍ତି ସହିତ ଦୋଳନ କରିବାକୁ ପ୍ରେରଣା ଦିଏ।

ସରଳ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଗତି#

ସରଳ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଗତି (SHM) ହେଉଛି ଏକ ଆବର୍ତ୍ତକ ଗତିର ଏକ ବିଶେଷ କେସ ଯେଉଁଠାରେ ପୁନଃସ୍ଥାପନ ବଳ ସନ୍ତୁଳନ ସ୍ଥିତିରୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତର ସହିତ ସିଧାସଳଖ ସମାନୁପାତିକ। ଏକ ସରଳ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ପାଇଁ ଗତିର ସମୀକରଣ ହେଉଛି:

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

ଯେଉଁଠାରେ:

• $m$ ହେଉଛି ଅସିଲେଟରର ବସ୍ତୁତ୍ଵ
• $k$ ହେଉଛି ସ୍ପ୍ରିଙ୍ଗ୍ ନିୟତାଙ୍କ
• $x$ ହେଉଛି ସନ୍ତୁଳନ ସ୍ଥିତିରୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତର

ଏହି ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ହେଉଛି:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

ଯେଉଁଠାରେ:

• $A$ ହେଉଛି ଗତିର ଆୟାମ
• $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ ହେଉଛି କୋଣୀୟ ଆବୃତ୍ତି
• $\phi$ ହେଉଛି ଦଶା ନିୟତାଙ୍କ

ସରଳ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଗତିର ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକ#

• ଦୋଳନର ଅବଧି, $T$, ହେଉଛି ଅସିଲେଟରଦ୍ୱାରା ଗୋଟିଏ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଚକ୍ର ସମ୍ପନ୍ନ କରିବାକୁ ଲାଗିଥିବା ସମୟ। ଏହା ଦିଆଯାଇଛି:

$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

• ଦୋଳନର ଆବୃତ୍ତି, $f$, ହେଉଛି ପ୍ରତି ସେକେଣ୍ଡରେ ଚକ୍ର ସଂଖ୍ୟା। ଏହା ଦିଆଯାଇଛି:

$$f = \frac{\omega}{2\pi}$$

• ଦୋଳନର ଆୟାମ, $A$, ହେଉଛି ସନ୍ତୁଳନ ସ୍ଥିତିରୁ ସର୍ବାଧିକ ସ୍ଥାନାନ୍ତର।

• ଦଶା ନିୟତାଙ୍କ, $\phi$, ଅସିଲେଟରର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ସ୍ଥିତି ନିର୍ଧାରଣ କରେ।

ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକ#

ଏକ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ହେଉଛି ଏକ ପ୍ରଣାଳୀ ଯାହା ଏକ ସନ୍ତୁଳନ ବିନ୍ଦୁ ଚାରିପାଖରେ ଏପରି ଏକ ଆବୃତ୍ତି ସହିତ ଦୋଳନ କରେ ଯାହା ପ୍ରଣାଳୀର କଠିନତାର ବର୍ଗମୂଳ ସହିତ ସମାନୁପାତିକ। ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ଅନେକ ଭୌତିକ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଦେଖାଯାଏ, ଯେପରିକି ସ୍ପ୍ରିଙ୍ଗ୍, ପେଣ୍ଡୁଲମ୍, ଏବଂ ବିଦ୍ୟୁତ୍ ପରିପଥ।

ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକ#

• ବସ୍ତୁତ୍ଵ-ସ୍ପ୍ରିଙ୍ଗ୍ ପ୍ରଣାଳୀ: ଏକ ବସ୍ତୁତ୍ଵ-ସ୍ପ୍ରିଙ୍ଗ୍ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଏକ ସ୍ପ୍ରିଙ୍ଗ୍ ସହିତ ସଂଲଗ୍ନ ଏକ ବସ୍ତୁତ୍ଵ ରହିଥାଏ। ଯେତେବେଳେ ବସ୍ତୁତ୍ଵକୁ ଏହାର ସନ୍ତୁଳନ ସ୍ଥିତିରୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତରିତ କରାଯାଏ, ସ୍ପ୍ରିଙ୍ଗ୍ ଏକ ପୁନଃସ୍ଥାପନ ବଳ ପ୍ରୟୋଗ କରେ ଯାହା ବସ୍ତୁତ୍ଵକୁ ଦୋଳନ କରିବାକୁ ପ୍ରେରଣା ଦିଏ। ଦୋଳନର ଆବୃତ୍ତି ଦିଆଯାଇଛି:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

ଯେଉଁଠାରେ $k$ ହେଉଛି ସ୍ପ୍ରିଙ୍ଗ୍ ନିୟତାଙ୍କ ଏବଂ $m$ ହେଉଛି ବସ୍ତୁତ୍ଵ।

• ପେଣ୍ଡୁଲମ୍: ଏକ ପେଣ୍ଡୁଲମ୍ ରହିଥାଏ ଏକ ପିଭଟ୍ ବିନ୍ଦୁରୁ ନିର୍ଲମ୍ବିତ ଏକ ବସ୍ତୁତ୍ଵ। ଯେତେବେଳେ ପେଣ୍ଡୁଲମ୍କୁ ଏହାର ସନ୍ତୁଳନ ସ୍ଥିତିରୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତରିତ କରାଯାଏ, ମାଧ୍ୟାକର୍ଷଣ ବଳ ଏକ ପୁନଃସ୍ଥାପନ ବଳ ପ୍ରୟୋଗ କରେ ଯାହା ପେଣ୍ଡୁଲମ୍କୁ ଦୋଳନ କରିବାକୁ ପ୍ରେରଣା ଦିଏ। ଦୋଳନର ଆବୃତ୍ତି ଦିଆଯାଇଛି:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$$

ଯେଉଁଠାରେ $g$ ହେଉଛି ମାଧ୍ୟାକର୍ଷଣ ଜନିତ ତ୍ୱରଣ ଏବଂ $L$ ହେଉଛି ପେଣ୍ଡୁଲମ୍ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ।

• ବିଦ୍ୟୁତ୍ ପରିପଥ: ଏକ ବିଦ୍ୟୁତ୍ ପରିପଥକୁ ଏକ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ଭାବରେ ମଡେଲ୍ କରାଯାଇପାରେ ଯଦି ଏଥିରେ ଏକ କ୍ୟାପାସିଟର୍ ଏବଂ ଏକ ଇଣ୍ଡକ୍ଟର୍ ରହିଥାଏ। ଯେତେବେଳେ କ୍ୟାପାସିଟର୍ ଚାର୍ଜ ହୁଏ ଏବଂ ଇଣ୍ଡକ୍ଟର୍ ଡିସ୍ଚାର୍ଜ ହୁଏ, କ୍ୟାପାସିଟରରେ ସଂଚିତ ଶକ୍ତି ଇଣ୍ଡକ୍ଟରକୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତରିତ ହୁଏ, ଏବଂ ବିପରୀତ କ୍ରମ। ଏହା ପରିପଥରେ ପ୍ରବାହକୁ ଦୋଳନ କରିବାକୁ ପ୍ରେରଣା ଦିଏ। ଦୋଳନର ଆବୃତ୍ତି ଦିଆଯାଇଛି:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC}}$$

ଯେଉଁଠାରେ $L$ ହେଉଛି ଇଣ୍ଡକ୍ଟରର ଇଣ୍ଡକ୍ଟାନ୍ସ ଏବଂ $C$ ହେଉଛି କ୍ୟାପାସିଟରର କ୍ୟାପାସିଟାନ୍ସ।

ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ପ୍ରୟୋଗଗୁଡ଼ିକ#

ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ବିଜ୍ଞାନ ଏବଂ ଇଞ୍ଜିନିୟରିଂରେ ଅନେକ ପ୍ରୟୋଗ ରହିଛି। କେତେକ ଉଦାହରଣ ହେଉଛି:

• ଯାନ୍ତ୍ରିକ ଇଞ୍ଜିନିୟରିଂ: ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ଯାନ୍ତ୍ରିକ ଉପକରଣରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ, ଯେପରିକି ସ୍ପ୍ରିଙ୍ଗ୍, ଶକ୍ ଆବ୍ଜର୍ବର୍, ଏବଂ ପେଣ୍ଡୁଲମ୍।
• ବିଦ୍ୟୁତ୍ ଇଞ୍ଜିନିୟରିଂ: ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ବିଦ୍ୟୁତ୍ ପରିପଥରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ, ଯେପରିକି ଫିଲ୍ଟର୍, ଅସିଲେଟର୍, ଏବଂ ଆଣ୍ଟେନା।
• ଶବ୍ଦ ବିଜ୍ଞାନ: ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ଶବ୍ଦ ତରଙ୍ଗର କମ୍ପନ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ।
• ଆଲୋକ ବିଜ୍ଞାନ: ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ଆଲୋକ ତରଙ୍ଗର କମ୍ପନ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ।

ଉପସଂହାର#

ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନ ଏବଂ ଇଞ୍ଜିନିୟରିଂରେ ଏକ ମୌଳିକ ଧାରଣା। ଏଗୁଡ଼ିକ ଅନେକ ଭୌତିକ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଦେଖାଯାଏ ଏବଂ ଏହାର ଏକ ବିସ୍ତୃତ ପ୍ରୟୋଗ ପରିସର ରହିଛି।

ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ପ୍ରକାରଗୁଡ଼ିକ#

ଏକ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ହେଉଛି ଏକ ପ୍ରଣାଳୀ ଯାହା ଏକ ସନ୍ତୁଳନ ସ୍ଥିତି ଚାରିପାଖରେ ଆବର୍ତ୍ତକ ଗତି କରେ। ପୁନଃସ୍ଥାପନ ବଳ ସନ୍ତୁଳନ ସ୍ଥିତିରୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତର ସହିତ ସିଧାସଳଖ ସମାନୁପାତିକ। ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ରହିଛି, ପ୍ରତ୍ୟେକର ନିଜସ୍ୱ ବିଶେଷତା ରହିଛି। ଏଠାରେ କେତେକ ସାଧାରଣ ପ୍ରକାରର ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ଦିଆଗଲା:

1. ବସ୍ତୁତ୍ଵ-ସ୍ପ୍ରିଙ୍ଗ୍ ପ୍ରଣାଳୀ:#

• ଏକ ବସ୍ତୁତ୍ଵ-ସ୍ପ୍ରିଙ୍ଗ୍ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଏକ ସ୍ପ୍ରିଙ୍ଗ୍ ସହିତ ସଂଲଗ୍ନ ଏକ ବସ୍ତୁତ୍ଵ ରହିଥାଏ। ଯେତେବେଳେ ବସ୍ତୁତ୍ଵକୁ ଏହାର ସନ୍ତୁଳନ ସ୍ଥିତିରୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତରିତ କରାଯାଏ, ସ୍ପ୍ରିଙ୍ଗ୍ ସ୍ଥାନାନ୍ତର ସହିତ ସମାନୁପାତିକ ଏକ ପୁନଃସ୍ଥାପନ ବଳ ପ୍ରୟୋଗ କରେ।
• ଏକ ବସ୍ତୁତ୍ଵ-ସ୍ପ୍ରିଙ୍ଗ୍ ପ୍ରଣାଳୀ ପାଇଁ ଗତିର ସମୀକରଣ ଦିଆଯାଇଛି: $$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$ ଯେଉଁଠାରେ $m$ ହେଉଛି ବସ୍ତୁତ୍ଵ, $k$ ହେଉଛି ସ୍ପ୍ରିଙ୍ଗ୍ ନିୟତାଙ୍କ, ଏବଂ $x$ ହେଉଛି ସନ୍ତୁଳନ ସ୍ଥିତିରୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତର।

2. ପେଣ୍ଡୁଲମ୍:#

• ଏକ ପେଣ୍ଡୁଲମ୍ ରହିଥାଏ ଏକ ସ୍ଥିର ବିନ୍ଦୁରୁ ଏକ ଦଉଡ଼ି ବା ଦଣ୍ଡ ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଲମ୍ବିତ ଏକ ବସ୍ତୁତ୍ଵ। ଯେତେବେଳେ ବସ୍ତୁତ୍ଵକୁ ଏହାର ସନ୍ତୁଳନ ସ୍ଥିତିରୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତରିତ କରାଯାଏ, ମାଧ୍ୟାକର୍ଷଣ ବଳ ସ୍ଥାନାନ୍ତର ସହିତ ସମାନୁପାତିକ ଏକ ପୁନଃସ୍ଥାପନ ବଳ ପ୍ରୟୋଗ କରେ।
• ଏକ ପେଣ୍ଡୁଲମ୍ ପାଇଁ ଗତିର ସମୀକରଣ ଦିଆଯାଇଛି: $$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L}\sin\theta$$ ଯେଉଁଠାରେ $\theta$ ହେଉଛି ଲମ୍ବରୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତରର କୋଣ, $g$ ହେଉଛି ମାଧ୍ୟାକର୍ଷଣ ଜନିତ ତ୍ୱରଣ, ଏବଂ $L$ ହେଉଛି ପେଣ୍ଡୁଲମ୍ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ।

3. LC ପରିପଥ:#

• ଏକ LC ପରିପଥରେ ଏକ ଇଣ୍ଡକ୍ଟର୍ ଏବଂ ଏକ କ୍ୟାପାସିଟର୍ ଶ୍ରେଣୀ ସଂଯୋଗରେ ସଂଯୁକ୍ତ ହୋଇଥାଏ। ଯେତେବେଳେ ପରିପଥରେ ପ୍ରବାହ ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହୁଏ, ଇଣ୍ଡକ୍ଟର୍ ଏକ ବିଦ୍ୟୁତ୍ ଚାଳକ ବଳ (EMF) ସୃଷ୍ଟି କରେ ଯାହା ପ୍ରବାହର ପରିବର୍ତ୍ତନକୁ ବିରୋଧ କରେ। କ୍ୟାପାସିଟର୍ ବିଦ୍ୟୁତ୍ ଶକ୍ତି ସଂଚୟ କରେ ଏବଂ ଏହାକୁ ପୁନର୍ବାର ପରିପଥକୁ ମୁକ୍ତ କରେ।
• ଏକ LC ପରିପଥ ପାଇଁ ଗତିର ସମୀକରଣ ଦିଆଯାଇଛି: $$L\frac{d^2i}{dt^2} + \frac{1}{C}i = 0$$ ଯେଉଁଠାରେ $L$ ହେଉଛି ଇଣ୍ଡକ୍ଟାନ୍ସ, $C$ ହେଉଛି କ୍ୟାପାସିଟାନ୍ସ, ଏବଂ $i$ ହେଉଛି ପରିପଥରେ ପ୍ରବାହ।

4. ସରଳ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଗତି (SHM):#

• ସରଳ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଗତି ହେଉଛି ହାର୍ମୋନିକ୍ ଗତିର ଏକ ବିଶେଷ କେସ ଯେଉଁଠାରେ ପୁନଃସ୍ଥାପନ ବଳ ସନ୍ତୁଳନ ସ୍ଥିତିରୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତର ସହିତ ସିଧାସଳଖ ସମାନୁପାତିକ ଏବଂ ଗତି ଆବର୍ତ୍ତକ।
• SHM ପାଇଁ ଗତିର ସମୀକରଣ ଦିଆଯାଇଛି: $$x = A\cos(\omega t + \phi)$$ ଯେଉଁଠାରେ $A$ ହେଉଛି ଆୟାମ, $\omega$ ହେଉଛି କୋଣୀୟ ଆବୃତ୍ତି, $t$ ହେଉଛି ସମୟ, ଏବଂ $\phi$ ହେଉଛି ଦଶା କୋଣ।

5. ଅବସାଦିତ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍:#

• ଏକ ଅବସାଦିତ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ହେଉଛି ଏକ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ଯାହା ଦୋଳନ ବସ୍ତୁର ବେଗ ସହିତ ସମାନୁପାତିକ ଏକ ଅବସାଦନ ବଳ ଯୁକ୍ତ। ଅବସାଦନ ବଳ ଗତିର ବିରୋଧ କରେ ଏବଂ ଦୋଳନର ଆୟାମକୁ ସମୟ ସହିତ ହ୍ରାସ କରିବାକୁ ପ୍ରେରଣା ଦିଏ।
• ଏକ ଅବସାଦିତ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ପାଇଁ ଗତିର ସମୀକରଣ ଦିଆଯାଇଛି: $$m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0$$ ଯେଉଁଠାରେ $c$ ହେଉଛି ଅବସାଦନ ଗୁଣାଙ୍କ।

6. ଚାଳିତ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍:#

• ଏକ ଚାଳିତ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ହେଉଛି ଏକ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ଯାହା ଏକ ବାହ୍ୟ ବଳ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରଭାବିତ ହୁଏ ଯାହା ସମୟ ସହିତ ଆବର୍ତ୍ତକ ଭାବରେ ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହୁଏ। ବାହ୍ୟ ବଳ ଅସିଲେଟରକୁ ଏହାର ସ୍ୱାଭାବିକ ଆବୃତ୍ତିରେ ଅନୁନାଦ କରିବାକୁ ପ୍ରେରଣା ଦେଇପାରେ, ଯାହା ଫଳରେ ଦୋଳନର ଏକ ବଡ଼ ଆୟାମ ଦେଖାଯାଏ।
• ଏକ ଚାଳିତ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ପାଇଁ ଗତିର ସମୀକରଣ ଦିଆଯାଇଛି: $$m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\omega t)$$ ଯେଉଁଠାରେ $F_0$ ହେଉଛି ବାହ୍ୟ ବଳର ଆୟାମ ଏବଂ $\omega$ ହେଉଛି ବାହ୍ୟ ବଳର କୋଣୀୟ ଆବୃତ୍ତି।

ଏଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି କେତେକ ସାଧାରଣ ପ୍ରକାରର ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍। ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରକାରର ନିଜସ୍ୱ ଧର୍ମ ଏବଂ ବିଜ୍ଞାନ ଏବଂ ଇଞ୍ଜିନିୟରିଂର ବିଭିନ୍ନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ପ୍ରୟୋଗ ରହିଛି।

ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ତରଙ୍ଗ ଫଳନ#

ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ହେଉଛି ଏକ ମୌଳିକ କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ଯାନ୍ତ୍ରିକ ପ୍ରଣାଳୀ ଯାହା ସନ୍ତୁଳନରୁ ଏକ କଣିକାର ସ୍ଥାନାନ୍ତରର ବର୍ଗ ସହିତ ସମାନୁପାତିକ ଏକ ବିଭବରେ ଗତି ବର୍ଣ୍ଣନା କରେ। ଏହା କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ଯାନ୍ତ୍ରିକୀରେ ସବୁଠାରୁ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ମଡେଲ୍ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ଏବଂ ପରମାଣୁ ଏବଂ ଅଣୁ ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନ, କଠିନ ଅବସ୍ଥା ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନ, ଏବଂ କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ଆପ୍ଟିକ୍ସ୍ ଆଦି ବିଭିନ୍ନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ପ୍ରୟୋଗ ରହିଛି।

ସମୟ-ସ୍ୱାଧୀନ ଶ୍ରୋଡିଙ୍ଗର୍ ସମୀକରଣ#

ଏକ-ମାନ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ପାଇଁ ସମୟ-ସ୍ୱାଧୀନ ଶ୍ରୋଡିଙ୍ଗର୍ ସମୀକରଣ ଦିଆଯାଇଛି:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi(x) = E\psi(x)$$

ଯେଉଁଠାରେ:

• $\psi(x)$ ହେଉଛି କଣିକାର ତରଙ୍ଗ ଫଳନ
• $m$ ହେଉଛି କଣିକାର ବସ୍ତୁତ୍ଵ
• $\omega$ ହେଉଛି ଅସିଲେଟରର କୋଣୀୟ ଆବୃତ୍ତି
• $E$ ହେଉଛି କଣିକାର ଶକ୍ତି

ଶକ୍ତି ସ୍ତରଗୁଡ଼ିକ#

ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟରର ଶକ୍ତି ସ୍ତରଗୁଡ଼ିକ ପରିମାଣିତ ଏବଂ ଦିଆଯାଇଛି:

$$E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega$$

ଯେଉଁଠାରେ $n$ ହେଉଛି ଏକ ଅଣ-ନକାରାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ଅବସ୍ଥାର କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

ତରଙ୍ଗ ଫଳନଗୁଡ଼ିକ#

ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟରର ତରଙ୍ଗ ଫଳନଗୁଡ଼ିକ ଦିଆଯାଇଛି:

$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right)$$

ଯେଉଁଠାରେ $H_n(x)$ ହେଉଛି $n$-ତମ ହର୍ମାଇଟ୍ ବହୁପଦୀ।

ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକ#

ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ତରଙ୍ଗ ଫଳନଗୁଡ଼ିକର ଅନେକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଧର୍ମ ରହିଛି:

• ସେଗୁଡ଼ିକ ବାସ୍ତବ-ମୂଲ୍ୟବାନ୍ ଏବଂ ଯୁଗ୍ମ $n$ ପାଇଁ ଯୁଗ୍ମ ଏବଂ ଅଯୁଗ୍ମ $n$ ପାଇଁ ଅଯୁଗ୍ମ।
• ସେଗୁଡ଼ିକ ସାଧାରଣୀକୃତ, ଅର୍ଥାତ୍, $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi_n(x)|^2dx = 1$।
• ସେଗୁଡ଼ିକ ଆଧାର ଫଳନର ଏକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସେଟ୍ ଗଠନ କରେ, ଅର୍ଥାତ୍, ଯେକୌଣସି ତରଙ୍ଗ ଫଳନକୁ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ତରଙ୍ଗ ଫଳନର ଏକ ରେଖୀୟ ସଂଯୋଗ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ।

ସାରାଂଶରେ, ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍ ତରଙ୍ଗ ଫଳନ ହେଉଛି ଏକ-ମାନ ହାର୍ମୋନିକ୍ ଅସିଲେଟର୍