ଅଧ୍ୟାୟ 2 ସରଳରେଖାରେ ଗତି

2.1 ପରିଚୟ [13]#

ଗତି ବିଶ୍ୱରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବସ୍ତୁରେ ସାଧାରଣ ଅଟେ। ଆମେ ଚାଲୁ, ଦୌଡୁ ଏବଂ ସାଇକେଲ ଚଳାଉ। ଆମେ ଶୋଇଥିବା ସମୟରେ ମଧ୍ୟ ବାୟୁ ଆମ ଫୁସ୍ଫୁସ୍‌ ଭିତରକୁ ଓ ବାହାରକୁ ଯାଏ ଏବଂ ରକ୍ତ ଧମନୀ ଓ ଶିରାରେ ପ୍ରବାହିତ ହୁଏ। ଆମେ ଗଛରୁ ପତ୍ର ଖସି ପଡୁଥିବା ଏବଂ ବନ୍ଧରୁ ପାଣି ଗଡି ଯାଉଥିବା ଦେଖୁ। ମୋଟରଗାଡି ଓ ବିମାନ ଲୋକଙ୍କୁ ଗୋଟିଏ ସ୍ଥାନରୁ ଅନ୍ୟ ସ୍ଥାନକୁ ନେଇଯାଏ। ପୃଥିବୀ ପ୍ରତି 24 ଘଣ୍ଟାରେ ଥରେ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ କରେ ଏବଂ ବର୍ଷକୁ ଥରେ ସୂର୍ଯ୍ୟ ଚାରିପାଖରେ ପରିକ୍ରମା କରେ। ସୂର୍ଯ୍ୟ ନିଜେ ମିଲ୍କି ୱେ ରେ ଗତି କରୁଛି, ଯାହା ପୁଣି ନିଜର ସ୍ଥାନୀୟ ଗ୍ୟାଲାକ୍ସି ସମୂହ ଭିତରେ ଗତି କରୁଛି।

ଗତି ହେଉଛି ସମୟ ସହିତ ଏକ ବସ୍ତୁର ସ୍ଥାନରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ। ସ୍ଥାନ କିପରି ସମୟ ସହିତ ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହୁଏ? ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ଗତିକୁ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା ଶିଖିବା। ଏଥିପାଇଁ, ଆମେ ବେଗ ଓ ତ୍ୱରଣର ଧାରଣା ବିକଶିତ କରୁ। ଆମେ ନିଜକୁ ଏକ ସରଳରେଖା ବାଟେ ବସ୍ତୁର ଗତି ଅଧ୍ୟୟନ ପାଇଁ ସୀମିତ ରଖିବା, ଯାହାକୁ ସରଳରେଖୀୟ ଗତି ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ। ସମତ୍ୱରଣ ସହିତ ସରଳରେଖୀୟ ଗତି ପାଇଁ, ସରଳ ସମୀକରଣଗୁଡିକର ଏକ ସେଟ୍ ପ୍ରାପ୍ତ ହୋଇପାରେ। ଶେଷରେ, ଗତିର ଆପେକ୍ଷିକ ପ୍ରକୃତି ବୁଝିବା ପାଇଁ, ଆମେ ଆପେକ୍ଷିକ ବେଗର ଧାରଣା ପରିଚୟ କରାଉ।

ଆମ ଆଲୋଚନାରେ, ଆମେ ଗତିରେ ଥିବା ବସ୍ତୁଗୁଡିକୁ ବିନ୍ଦୁ ବସ୍ତୁ ଭାବରେ ବିବେଚନା କରିବା। ଏହି ଆନୁମାନିକ ତଥ୍ୟ ଯାଏଁ ବୈଧ ଯେପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବସ୍ତୁର ଆକାର ଏକ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ସମୟ ଅବଧିରେ ଏହା ଯେତେ ଦୂର ଗତି କରେ ତାହାଠାରୁ ବହୁତ ଛୋଟ। ବାସ୍ତବ ଜୀବନର ଅନେକ ପରିସ୍ଥିତିରେ, ବସ୍ତୁଗୁଡିକର ଆକାରକୁ ଅବହେଳା କରାଯାଇପାରେ ଏବଂ ସେଗୁଡିକୁ ଅଧିକ ତ୍ରୁଟି ବିନା ବିନ୍ଦୁ ସଦୃଶ ବସ୍ତୁ ଭାବରେ ବିବେଚନା କରାଯାଇପାରେ। ଗତିବିଜ୍ଞାନରେ, ଆମେ ଗତିର କାରଣଗୁଡିକ ଭିତରକୁ ନ ଯାଇ ଗତି ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବାର ଉପାୟ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟ ଏବଂ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଅଧ୍ୟାୟରେ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗତି କାହାଣୀ କରେ ତାହା ଅଧ୍ୟାୟ 4ର ବିଷୟବସ୍ତୁ ଗଠନ କରେ।

2.2 କ୍ଷଣିକ ବେଗ ଓ ଗତି [14-15]#

ହାରାହାରି ବେଗ ଆମକୁ କହେ ଯେ ଏକ ବସ୍ତୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଧିଷ୍ଟ ସମୟ ଅନ୍ତରାଳରେ କେତେ ଦ୍ରୁତ ଗତି କରୁଛି କିନ୍ତୁ ଏହି ଅନ୍ତରାଳ ମଧ୍ୟରେ ବିଭିନ୍ନ ସମୟରେ ଏହା କେତେ ଦ୍ରୁତ ଗତି କରୁଛି ତାହା କହେ ନାହିଁ। ଏଥିପାଇଁ, ଆମେ କ୍ଷଣିକ ବେଗ କିମ୍ବା ସରଳ ଭାବରେ ଏକ କ୍ଷଣ tରେ ବେଗ vକୁ ସଂଜ୍ଞା ଦେଉ। ଏକ କ୍ଷଣରେ ବେଗକୁ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଏ ଯେପରି ସମୟ ଅନ୍ତରାଳ ${\Delta t}$ ଅନନ୍ତ ଛୋଟ ହୋଇଯାଏ ସେହି ଅନୁସାରେ ହାରାହାରି ବେଗର ସୀମା। ଅନ୍ୟ ଶବ୍ଦରେ,

$ v =\lim \limits_{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\hspace{22mm}(2.1a) $

$ =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \hspace{33mm} (2.1b)$

ଯେଉଁଠାରେ ଚିହ୍ନ lim ∆t→0 ଏହାର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ରାଶିର ∆t→0 ହେବା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମା ନେବାର କାର୍ଯ୍ୟକୁ ସୂଚିତ କରେ। କ୍ୟାଲକୁଲସର ଭାଷାରେ, ସମୀକରଣ (2.1a)ର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ରାଶି ହେଉଛି t ସହିତ xର ଅବକଳ ଗୁଣାଙ୍କ ଏବଂ ଏହାକୁ $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ (ପରିଶିଷ୍ଟ 2.1 ଦେଖନ୍ତୁ)। ଏହା ସେହି କ୍ଷଣରେ ସମୟ ସହିତ ସ୍ଥାନର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର।

ଆମେ ସମୀକରଣ (2.1a)କୁ ଏକ କ୍ଷଣରେ ବେଗର ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବା ଚିତ୍ରାତ୍ମକ କିମ୍ବା ସଂଖ୍ୟାତ୍ମକ ଭାବରେ। ଧରାଯାଉ ଆମେ ଚିତ୍ରାତ୍ମକ ଭାବରେ ସମୟ t = 4 s (ବିନ୍ଦୁ P)ରେ ବେଗର ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ ଚାହୁଁ ଚିତ୍ର 2.1 ରେ ପ୍ରଦର୍ଶିତ କାରର ଗତି ପାଇଁ। ଆମେ t = 4 s କେନ୍ଦ୍ରିତ କରି ∆t = 2 s ନେବା। ତା’ପରେ, ହାରାହାରି ବେଗର ସଂଜ୍ଞା ଅନୁଯାୟୀ, ରେଖା $P_1P_2$ (ଚିତ୍ର 2.1)ର ଢାଳ 3 sରୁ 5 s ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅନ୍ତରାଳ ପାଇଁ ହାରାହାରି ବେଗର ମୂଲ୍ୟ ଦେଇଥାଏ

ଚିତ୍ର 2.1 ସ୍ଥାନ-ସମୟ ଗ୍ରାଫରୁ ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ। t = 4 sରେ ବେଗ ହେଉଛି ସେହି କ୍ଷଣରେ ଗ୍ରାଫରେ ସ୍ପର୍ଶକର ଢାଳ।

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଆମେ $\Delta t$ର ମୂଲ୍ୟକୁ $2 \mathrm{~s}$ରୁ 1 sକୁ ହ୍ରାସ କରୁ। ତା’ପରେ ରେଖା $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ ହୁଏ $\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$ ଏବଂ ଏହାର ଢାଳ $3.5 \mathrm{~s}$ରୁ $4.5 \mathrm{~s}$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅନ୍ତରାଳ ପାଇଁ ହାରାହାରି ବେଗର ମୂଲ୍ୟ ଦେଇଥାଏ। ସୀମା $\Delta t \rightarrow 0$ରେ, ରେଖା $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ ବିନ୍ଦୁ $\mathrm{P}$ରେ ସ୍ଥାନ-ସମୟ ବକ୍ରର ସ୍ପର୍ଶକ ହୋଇଯାଏ ଏବଂ $t$ $=4 \mathrm{~s}$ରେ ବେଗ ସେହି ବିନ୍ଦୁରେ ସ୍ପର୍ଶକର ଢାଳ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ। ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ଚିତ୍ରାତ୍ମକ ଭାବରେ ଦର୍ଶାଇବା କଷ୍ଟକର। କିନ୍ତୁ ଯଦି ଆମେ ବେଗର ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ ସଂଖ୍ୟାତ୍ମକ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରୁ, ତାହାହେଲେ ସୀମାଙ୍କ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ଅର୍ଥ ସ୍ପଷ୍ଟ ହୋଇଯାଏ। ଚିତ୍ର 2.1ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ଗ୍ରାଫ ପାଇଁ, $x=0.08 t^3$। ସାରଣୀ 2.1 $\Delta x / \Delta t$ର ମୂଲ୍ୟ ଦେଇଛି ଯାହା $\Delta t$ ସମାନ $2.0 \mathrm{~s}$, $1.0 \mathrm{~s}, 0.5 \mathrm{~s}, 0.1 \mathrm{~s}$ ଏବଂ $0.01 \mathrm{~s}$ ପାଇଁ ଗଣନା କରାଯାଇଛି ଯାହା $t=$ $4.0 \mathrm{~s}$ କେନ୍ଦ୍ରିତ। ଦ୍ୱିତୀୟ ଏବଂ ତୃତୀୟ ସ୍ତମ୍ଭ $t_1=\left(t-\frac{\Delta t}{2}\right)$ ଏବଂ $t_2=\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right)$ର ମୂଲ୍ୟ ଦେଇଛି ଏବଂ ଚତୁର୍ଥ ଏବଂ ପଞ୍ଚମ ସ୍ତମ୍ଭ $x$ର ସଂଗତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଇଛି, ଅର୍ଥାତ୍ $x\left(t_1\right)=0.08 t_1^3$ ଏବଂ $x\left(t_2\right)=0.08 t_2^3$। ଷଷ୍ଠ ସ୍ତମ୍ଭ ପାର୍ଥକ୍ୟ $\Delta x=X\left(t_2\right)-X\left(t_1\right)$କୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରେ ଏବଂ ଶେଷ ସ୍ତମ୍ଭ $\Delta x$ ଏବଂ $\Delta t$ର ଅନୁପାତ ଦେଇଥାଏ, ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରଥମ ସ୍ତମ୍ଭରେ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ $\Delta t$ର ମୂଲ୍ୟ ସହିତ ସଂଗତ ହାରାହାରି ବେଗ।

ସାରଣୀ 2.1 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ର ସୀମାଙ୍କ ମୂଲ୍ୟ $t=4 \mathrm{~s}$ରେ

${\Delta t}$ (s)	$t_1$ (s)	$t_2$ (s)	$t_1$ (m)	$x(t_2)$ (m)	${\Delta x}$ (m)	$\Delta x / \Delta t$ $(ms^{-1})$
2.0	3.0	5.0	2.16	10.0	7.84	3.92
1.0	3.5	4.5	3.43	7.29	3.86	3.86
0.5	3.75	4.25	4.21875	6.14125	1.9225	3.845
0.1	3.95	4.05	4.93039	5.31441	0.38402	3.8402
0.01	3.995	4.005	5.100824	5.139224	0.0384	3.8400

ଆମେ ସାରଣୀ 2.1ରୁ ଦେଖୁଛୁ ଯେ ଯେତେବେଳେ ଆମେ $\Delta t$ର ମୂଲ୍ୟକୁ $2.0 \mathrm{~s}$ରୁ $0.010 \mathrm{~s}$କୁ ହ୍ରାସ କରୁ, ହାରାହାରି ବେଗର ମୂଲ୍ୟ ସୀମାଙ୍କ ମୂଲ୍ୟ $3.84 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ଆଡକୁ ଅଗ୍ରସର ହୁଏ ଯାହା $t=4.0 \mathrm{~s}$ରେ ବେଗର ମୂଲ୍ୟ, ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{d x}{d t}$ର ମୂଲ୍ୟ $t=4.0 \mathrm{~s}$ରେ। ଏହି ପ୍ରକାରରେ, ଆମେ କାରର ଗତି ପାଇଁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷଣରେ ବେଗ ଗଣନା କରିପାରିବା।

କ୍ଷଣିକ ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ଚିତ୍ରାତ୍ମକ ପଦ୍ଧତି ସର୍ବଦା ଏକ ସୁବିଧାଜନକ ପଦ୍ଧତି ନୁହେଁ। ଏଥିପାଇଁ, ଆମକୁ ସ୍ଥାନ-ସମୟ ଗ୍ରାଫକୁ ସାବଧାନତାର ସହିତ ଅଙ୍କନ କରିବାକୁ ହେବ ଏବଂ $\Delta t$ ଛୋଟ ଓ ଛୋଟ ହେବା ଅନୁସାରେ ହାରାହାରି ବେଗର ମୂଲ୍ୟ ଗଣନା କରିବାକୁ ହେବ। ଯଦି ଆମ ପାଖରେ ବିଭିନ୍ନ କ୍ଷଣରେ ସ୍ଥାନର ତଥ୍ୟ କିମ୍ବା ସମୟର ଏକ ଫଳନ ଭାବରେ ସ୍ଥାନର ସଠିକ୍ ପ୍ରକାଶ ରହିଥାଏ, ତାହାହେଲେ ବିଭିନ୍ନ କ୍ଷଣରେ ବେଗର ମୂଲ୍ୟ ଗଣନା କରିବା ସହଜ। ତା’ପରେ, ଆମେ $\Delta x / \Delta t$କୁ $\Delta t$ର ମୂଲ୍ୟ ହ୍ରାସ କରିବା ପାଇଁ ତଥ୍ୟରୁ ଗଣନା କରୁ ଏବଂ ସାରଣୀ 2.1ରେ ଆମେ କରିଥିବା ଭାବରେ ସୀମାଙ୍କ ମୂଲ୍ୟ ଖୋଜୁ କିମ୍ବା ଦିଆଯାଇଥିବା ପ୍ରକାଶ ପାଇଁ ଅବକଳ କ୍ୟାଲକୁଲସ ବ୍ୟବହାର କରୁ ଏବଂ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉଦାହରଣରେ କରାଯାଇଥିବା ଭାବରେ ବିଭିନ୍ନ କ୍ଷଣରେ $\frac{d x}{d t}$ ଗଣନା କରୁ।

ଉଦାହରଣ 2.1 x-ଅକ୍ଷ ବାଟେ ଗତି କରୁଥିବା ଏକ ବସ୍ତୁର ସ୍ଥାନ x = a + bt2 ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି ଯେଉଁଠାରେ a = 8.5 m, b = 2.5 m $s^{–2}$ ଏବଂ t ସେକେଣ୍ଡରେ ମାପାଯାଏ। t = 0 s ଏବଂ t = 2.0 sରେ ଏହାର ବେଗ କ’ଣ? t = 2.0 s ଏବଂ t = 4.0 s ମଧ୍ୟରେ ହାରାହାରି ବେଗ କ’ଣ?

ଉତ୍ତର ଅବକଳ କ୍ୟାଲକୁଲସର ସଂକେତରେ, ବେଗ ହେଉଛି

$ v=\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\left(a+b t^2\right)=2 b t=5.0 t \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $

$t=0 \mathrm{~s}, \quad V=0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ରେ ଏବଂ $t=2.0 \mathrm{~s}$ରେ, $v=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$।

$ \text { ହାରାହାରି ବେଗ }=\frac{x(4.0)-x(2.0)}{4.0-2.0} $

$\begin{array}{r}=\frac{a+16 b-a-4 b}{2.0}=6.0 \times b \\ =6.0 \times 2.5=15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{array}$

ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ ସମଗତି ପାଇଁ, ବେଗ ସମସ୍ତ କ୍ଷଣରେ ହାରାହାରି ବେଗ ସହିତ ସମାନ ଅଟେ

କ୍ଷଣିକ ଗତି କିମ୍ବା ସରଳ ଭାବରେ ଗତି ହେଉଛି ବେଗର ପରିମାଣ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $+24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ର ଏକ ବେଗ ଏବଂ $-24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}-$ର ଏକ ବେଗ ଉଭୟରେ $24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ର ଏକ ସହଯୁକ୍ତ ଗତି ରହିଛି। ଏହା ଧ୍ୟାନରେ ରଖିବା ଉଚିତ ଯେ ଯଦିଓ ଏକ ସସୀମ ସମୟ ଅନ୍ତରାଳରେ ହାରାହାରି ଗତି ହାରାହାରି ବେଗର ପରିମାଣଠାରୁ ଅଧିକ କିମ୍ବା ସମାନ, ଏକ କ୍ଷଣରେ କ୍ଷଣିକ ଗତି ସେହି କ୍ଷଣରେ କ୍ଷଣିକ ବେଗର ପରିମାଣ ସହିତ ସମାନ। କାହିଁକି ଏପରି?

2.3 ତ୍ୱରଣ [15-17]#

ଏକ ବସ୍ତୁର ବେଗ, ସାଧାରଣତଃ, ଏହାର ଗତି ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହୁଏ। ଏହି ପରିବର୍ତ୍ତନକୁ କିପରି ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା? ଏହାକୁ ବେଗର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର ଦୂରତା ସହିତ କିମ୍ବା ସମୟ ସହିତ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯିବା ଉଚିତ କି? ଏହା ଗାଲିଲିଓର ସମୟରେ ମଧ୍ୟ ଏକ ସମସ୍ୟା ଥିଲା। ପ୍ରଥମେ ଭାବାଯାଇଥିଲା ଯେ ଏହି ପରିବର୍ତ୍ତନକୁ ଦୂରତା ସହିତ ବେଗର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର ଦ୍ୱାରା ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇପାରିବ। କିନ୍ତୁ, ମୁକ୍ତ ଭାବରେ ପଡୁଥିବା ବସ୍ତୁମାନଙ୍କର ଗତି ଏବଂ ଏକ ଢାଲୁ ସମତଳ ଉପରେ ବସ୍ତୁମାନଙ୍କର ଗତି ଅଧ୍ୟୟନ ମାଧ୍ୟମରେ, ଗାଲିଲିଓ ନିଷ୍କର୍ଷ କରିଥିଲେ ଯେ ସମୟ ସହିତ ବେଗର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର ମୁକ୍ତ ପତନରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ବସ୍ତୁଙ୍କ ପାଇଁ ଗତିର ଏକ ଅଚଳ। ଅନ୍ୟ ପକ୍ଷରେ, ଦୂରତା ସହିତ ବେଗର ପରିବର୍ତ୍ତନ ଅଚଳ ନୁହେଁ – ଏହା ପତନର ବୃଦ୍ଧିଶୀଳ ଦୂରତା ସହିତ ହ୍ରାସ ପାଏ। ଏହା ସମୟ ସହିତ ବେଗର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର ଭାବରେ ତ୍ୱରଣର ଧାରଣାକୁ ନେଇଆସିଲା।

ଏକ ସମୟ ଅନ୍ତରାଳ ଉପରେ ହାରାହାରି ତ୍ୱରଣ $\bar{a}$କୁ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଏ ଯେପରି ବେଗର ପରିବର୍ତ୍ତନକୁ ସମୟ ଅନ୍ତରାଳ ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରାଯାଏ:

$\bar{a}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\quad \quad \quad \quad \quad (2.2)$

ଯେଉଁଠାରେ $v_2$ ଏବଂ $v_1$ ହେଉଛି କ୍ଷଣିକ ବେଗ କିମ୍ବା ସରଳ ଭାବରେ ସମୟ $t_2$ ଏବଂ $t_1$ରେ ବେଗ। ଏହା ପ୍ରତି ଏକକ ସମୟରେ ବେଗର ହାରାହାରି ପରିବର୍ତ୍ତନ। ତ୍ୱରଣର SI ଏକକ ହେଉଛି $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$।

ବେଗ ବନାମ ସମୟର ଏକ ପ୍ଲଟରେ, ହାରାହାରି ତ୍ୱରଣ ହେଉଛି ସରଳରେଖାର ଢାଳ ଯାହା $\left(v_2, t_2\right)$ ଏବଂ $\left(v_1, t_1\right)$ ସହିତ ସଂଗତ ବିନ୍ଦୁଗୁଡିକୁ ସଂଯୋଗ କରେ।

କ୍ଷଣିକ ତ୍ୱରଣକୁ କ୍ଷଣିକ ବେଗ ସହିତ ସମାନ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଏ:

$ a=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \quad \quad \quad \quad \quad (2.3) $

ଏକ କ୍ଷଣରେ ତ୍ୱରଣ ହେଉଛି ସେହି କ୍ଷଣରେ $v-t$ ବକ୍ରରେ ସ୍ପର୍ଶକର ଢାଳ।

ଯେହେତୁ ବେଗ ହେଉଛି ଏକ ରାଶି ଯାହାର ପରିମାଣ ଏବଂ ଦିଗ ଉଭୟ ଅଛି, ବେଗର ଏକ ପରିବର୍ତ୍ତନ ଏହି ଉଭୟ କାରକଗୁଡିକର କୌଣସିଟି କିମ୍ବା ଉଭୟକୁ ଜଡିତ କରିପାରେ। ତେଣୁ, ତ୍ୱରଣ ଗତି (ପରିମାଣ)ରେ ଏକ ପରିବର୍ତ୍ତନ, ଦିଗରେ ଏକ ପରିବର୍ତ୍ତନ କିମ୍ବା ଉଭୟରେ ପରିବର୍ତ୍ତନରୁ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୋଇପାରେ। ବେଗ ପରି, ତ୍ୱରଣ ମଧ୍ୟ ଧନାତ୍ମକ, ଋଣାତ୍ମକ କିମ୍ବା ଶୂନ୍ୟ ହୋଇପାରେ। ଧନାତ୍ମକ, ଋଣାତ୍ମକ ଏବଂ ଶୂନ୍ୟ ତ୍ୱରଣ ସହିତ ଗତି ପାଇଁ ସ୍ଥାନ-ସମୟ ଗ୍ରାଫଗୁଡିକ ଯଥାକ୍ରମେ ଚିତ୍ର 2.4 (a), (b) ଏବଂ (c)ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି। ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ ଗ୍ରାଫ ଧନାତ୍ମକ ତ୍ୱରଣ ପାଇଁ ଉର୍ଦ୍ଧ୍ୱ ଦିଗରେ ବକ୍ର ହୁଏ; ଋଣାତ୍ମକ ତ୍ୱରଣ ପାଇଁ ତଳ ଦିଗରେ ଏବଂ ଏହା ଶୂନ୍ୟ ତ୍ୱରଣ ପାଇଁ ଏକ ସରଳରେଖା।

ଚିତ୍ର 2.2 (a) ଧନାତ୍ମକ ତ୍ୱରଣ; (b) ଋଣାତ୍ମକ ତ୍ୱରଣ, ଏବଂ (c) ଶୂନ୍ୟ ତ୍ୱରଣ ସହିତ ଗତି ପାଇଁ ସ୍ଥାନ-ସମୟ ଗ୍ରାଫ।

ଯଦିଓ ତ୍ୱରଣ ସମୟ ସହିତ ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହୋଇପାରେ, ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମର ଅଧ୍ୟୟନ ସ୍ଥିର ତ୍ୱରଣ ସହିତ ଗତି ପାଇଁ ସୀମିତ ରହିବ। ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ, ହାରାହାରି ତ୍ୱରଣ ଅନ୍ତରାଳ ସମୟରେ ତ୍ୱରଣର ସ୍ଥିର ମୂଲ୍ୟ ସହିତ ସମାନ ହୁଏ। ଯଦି ଏକ ବସ୍ତୁର ବେଗ $v_o$ ହୁଏ $t$ $=0$ରେ ଏବଂ ⟦108