ਅਧਿਆਇ 3 ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਅਭਿਆਸ

ਉੱਤਰ

ਸਕੈਲਰ: ਆਇਤਨ, ਭਾਰ, ਗਤੀ, ਘਣਤਾ, ਮੋਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਕੋਣੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ

ਵੈਕਟਰ: ਤੇਜ਼ੀ, ਵੇਗ, ਵਿਸਥਾਪਨ, ਕੋਣੀ ਵੇਗ

ਇੱਕ ਸਕੈਲਰ ਰਾਸ਼ੀ ਸਿਰਫ਼ ਆਪਣੇ ਪਰਿਮਾਣ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਦਿਸ਼ਾ ਨਹੀਂ ਜੁੜੀ ਹੁੰਦੀ। ਆਇਤਨ, ਭਾਰ, ਗਤੀ, ਘਣਤਾ, ਮੋਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਕੋਣੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਕੁਝ ਸਕੈਲਰ ਭੌਤਿਕ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਹਨ।

ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰਾਸ਼ੀ ਆਪਣੇ ਪਰਿਮਾਣ ਅਤੇ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਤੇਜ਼ੀ, ਵੇਗ, ਵਿਸਥਾਪਨ ਅਤੇ ਕੋਣੀ ਵੇਗ ਇਸ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੇ ਹਨ।

ਉੱਤਰ

ਕੰਮ ਅਤੇ ਕਰੰਟ ਸਕੈਲਰ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਹਨ।

ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਬਲ ਅਤੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੇ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚੂੰਕਿ ਦੋ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਦਾ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਇੱਕ ਸਕੈਲਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕੰਮ ਇੱਕ ਸਕੈਲਰ ਭੌਤਿਕ ਰਾਸ਼ੀ ਹੈ।

ਕਰੰਟ ਸਿਰਫ਼ ਆਪਣੇ ਪਰਿਮਾਣ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਇੱਕ ਸਕੈਲਰ ਰਾਸ਼ੀ ਹੈ।

ਉੱਤਰ

ਆਵੇਗ

ਆਵੇਗ ਬਲ ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਫਲ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚੂੰਕਿ ਬਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰਾਸ਼ੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਦਾ ਸਮਾਂ (ਇੱਕ ਸਕੈਲਰ ਰਾਸ਼ੀ) ਨਾਲ ਗੁਣਾਫਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰਾਸ਼ੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

ਉੱਤਰ

(a) ਅਰਥਪੂਰਨ

(b) ਅਰਥਹੀਣ

(c) ਅਰਥਪੂਰਨ

(d) ਅਰਥਪੂਰਨ

(e) ਅਰਥਪੂਰਨ

(f) ਅਰਥਪੂਰਨ

ਵਿਆਖਿਆ:

(a) ਦੋ ਸਕੈਲਰ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਤਦੋਂ ਅਰਥਪੂਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਉਹ ਦੋਵੇਂ ਇੱਕੋ ਹੀ ਭੌਤਿਕ ਰਾਸ਼ੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹੋਣ।

(b) ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰਾਸ਼ੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕੈਲਰ ਰਾਸ਼ੀ ਨਾਲ ਜੋੜਣਾ ਅਰਥਹੀਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

(c) ਇੱਕ ਸਕੈਲਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਬਲ ਨੂੰ ਸਮਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਆਵੇਗ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

(d) ਇੱਕ ਸਕੈਲਰ, ਭਾਵੇਂ ਉਹ ਕਿਸੇ ਵੀ ਭੌਤਿਕ ਰਾਸ਼ੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੋਵੇ, ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਸਕੈਲਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪਰਿਮਾਣਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹੋਣ ਜਾਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ।

(e) ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਤਦੋਂ ਅਰਥਪੂਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਉਹ ਦੋਵੇਂ ਇੱਕੋ ਹੀ ਭੌਤਿਕ ਰਾਸ਼ੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹੋਣ।

(f) ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਇੱਕ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਉਸੇ ਵੈਕਟਰ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਦੋਵੇਂ ਇੱਕੋ ਹੀ ਪਰਿਮਾਣ ਰੱਖਦੇ ਹਨ।

ਉੱਤਰ

(a) ਸੱਚ

(b) ਝੂਠ

(c) ਝੂਠ

(d) ਸੱਚ

(e) ਸੱਚ

ਵਿਆਖਿਆ:

(a) ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਇੱਕ ਸਕੈਲਰ ਹੈ।

(b) ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਹਰੇਕ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਵੀ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

(c) ਕੁੱਲ ਪਾਥ ਲੰਬਾਈ ਇੱਕ ਸਕੈਲਰ ਰਾਸ਼ੀ ਹੈ, ਜਦਕਿ ਵਿਸਥਾਪਨ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰਾਸ਼ੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕੁੱਲ ਪਾਥ ਲੰਬਾਈ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਤਦੋਂ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਣ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਚੱਲ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ।

(d) ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਕਾਰਨ ਹੈ ਕਿ ਕੁੱਲ ਪਾਥ ਲੰਬਾਈ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਕਣ ਦੀ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

(e) ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ, ਜੋ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਵਜੋਂ ਇੱਕੋ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦੇ।

ਉੱਤਰ

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਦੋ ਵੈਕਟਰ $\vec{a}$ ਅਤੇ $\vec{b}$ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰਚਤੁਰਭੁਜ OMNP ਦੀ ਲਗਾਤਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

$$ \begin{align*} & |\overrightarrow{{}OM}|=|\vec{a}| \tag{i} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & |\overrightarrow{{}MN}|=|\overrightarrow{{}OP}|=|\vec{b}| \tag{ii}\\ & |\overrightarrow{{}ON}|=|\vec{a}+\vec{b}| \tag{iii} \end{align*} $$

ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਪਾਸਾ ਹੋਰ ਦੋ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $\triangle OMN$ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਹੈ:

$ON<(OM+MN)$

$$|\vec{a}+\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}| \tag{iv}$$

ਜੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰ $\vec{a}$ ਅਤੇ $\vec{b}$ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

$$ |\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}| \tag{iv}$$

ਸਮੀਕਰਨਾਂ (iv) ਅਤੇ (v) ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਦੋ ਵੈਕਟਰ $\vec{a}$ ਅਤੇ $\vec{b}$ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰਚਤੁਰਭੁਜ OMNP ਦੀ ਲਗਾਤਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਇੱਥੇ, ਸਾਨੂੰ ਹੈ:

$$ \begin{align*} & |\overrightarrow{{}OM}|=|\vec{a}| \tag{i} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & |\overrightarrow{{}MN}|=|\overrightarrow{{}OP}|=|\vec{b}| \tag{ii} \\ & |\overrightarrow{{}ON}|=|\vec{a}+\vec{b}| \tag{iii} \end{align*} $$

ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਪਾਸਾ ਹੋਰ ਦੋ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $\triangle OMN$ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਹੈ:

$ \begin{aligned} & ON+MN>OM \\ & ON+OM>MN \\ & |\overrightarrow{{}ON}|>|\overrightarrow{{}OM}-\overrightarrow{{}OP}| \quad(\because OP=MN) \\ & |\vec{a}+\vec{b}|>|| \vec{a}|-| \vec{b}|| _{\ldots(i v)} \end{aligned} $

ਜੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰ $\vec{a}$ ਅਤੇ $\vec{b}$ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

$|\vec{a}+\vec{b}|=|| \vec{a}|-| \vec{b}|| _{\ldots(v)}$

ਸਮੀਕਰਨਾਂ (iv) ਅਤੇ (v) ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$ |\vec{a}+\vec{b}| \geq|| \vec{a}|-| \vec{b}|| $

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਦੋ ਵੈਕਟਰ $\vec{a}$ ਅਤੇ $\vec{b}$ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰਚਤੁਰਭੁਜ PORS ਦੀ ਲਗਾਤਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਇੱਥੇ ਸਾਨੂੰ ਹੈ:

$$ \begin{align*} & |\overrightarrow{{}OR}|=|\overrightarrow{{}PS}|=|\vec{b}| \tag{i} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & |\overrightarrow{{}OP}|=|\vec{a}| \tag{ii} \end{align*} $$

ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਪਾਸਾ ਹੋਰ ਦੋ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $\triangle OPS$ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਹੈ:

$$ \begin{align*} & OS<OP+PS \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & |\vec{a}-\vec{b}|<|\vec{a}|+|-\vec{b}| \\ & |\vec{a}-\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}| \tag{iii} \end{align*} $$

ਜੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਪਰ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

$$ \begin{equation*} |\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}| \tag{iv} \end{equation*} $$

ਸਮੀਕਰਨਾਂ (iii) ਅਤੇ (iv) ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$ |\vec{a}-\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}| $

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਦੋ ਵੈਕਟਰ $\vec{a}$ ਅਤੇ $\vec{b}$ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰਚਤੁਰਭੁਜ PORS ਦੀ ਲਗਾਤਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮਾਂਤਰਚਤੁਰਭੁਜ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਲਿਖੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।

$$ \begin{align*} & OS+PS>OP \tag{i}\\ & OS>OP-PS \tag{ii}\\ & |\vec{a}-\vec{b}|>|\vec{a}|-|\vec{b}| \tag{iii} \end{align*} $$

LHS ‘ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਰਾਸ਼ੀ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਧਨਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ RHS ‘ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਰਾਸ਼ੀ ਧਨਾਤਮਕ ਜਾਂ ਋ਣਾਤਮਕ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਨੂੰ ਧਨਾਤਮਕ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ‘ਤੇ ਮੋਡ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ:

$$ \begin{align*} & || \vec{a}-\vec{b}||>|| \vec{a}|-| \vec{b}|| \\ & |\vec{a}-\vec{b}|>|| \vec{a}|-| \vec{b}|| \tag{iv} \end{align*} $$

ਜੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਪਰ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

$$ \begin{equation*} |\vec{a}-\vec{b}|=| \vec{a}|-| \vec{b}|| \tag{v} \end{equation*} $$

ਸਮੀਕਰਨਾਂ (iv) ਅਤੇ (v) ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$|\vec{a}-\vec{b}| \geq|| \vec{a}|-| \vec{b}||$

ਉੱਤਰ

(a) ਗਲਤ

$\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}=\mathbf{0}$ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਇਹ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰ ਖਾਲੀ ਵੈਕਟਰ ਹੋਣ। ਹੋਰ ਕਈ ਸੰਯੋਜਨ ਹਨ ਜੋ ਜੋੜ ਨੂੰ ਸ਼ੂਨੀ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਨ।

(b) ਸਹੀ

$\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}=\mathbf{0}$

$\mathbf{a}+\mathbf{c}=-(\mathbf{b}+\mathbf{d})$

ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ‘ਤੇ ਮੋਡ ਲੈ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$|\mathbf{a}+\mathbf{c}|=|-(\mathbf{b}+\mathbf{d})|=|\mathbf{b}+\mathbf{d}|$

ਇਸ ਲਈ, $(\mathbf{a}+\mathbf{c})$ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ $(\mathbf{b}+\mathbf{d})$ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।

(c) ਸਹੀ

$\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}=\mathbf{0}$

$\mathbf{a}=(\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d})$

ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ‘ਤੇ ਮੋਡ ਲੈ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}|$

$|\mathbf{a}| \leq|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|+|\mathbf{c}| \ldots(i)$

ਸਮੀਕਰਨ (i) ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ a ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ $\mathbf{b}, \mathbf{c}$ ਅਤੇ $\mathbf{d}$ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਘੱਟ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ $a$ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਕਦੇ ਵੀ $\mathbf{b}, \mathbf{c}$ ਅਤੇ $\mathbf{d}$ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।

(d) ਸਹੀ

$\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}=0$ ਲਈ

$\mathbf{a}+(\mathbf{ b}+\mathbf{c})+\mathbf{d}=0$

ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ $\mathbf{a},(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ ਅਤੇ $\mathbf{d}$ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਜੋੜ ਸਿਰਫ਼ ਤਦੋਂ ਸ਼ੂਨੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇ $(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ a ਅਤੇ $\mathbf{d}$ ਨੂੰ ਰੱਖਣ ਵਾਲੇ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ ਇਹ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਜੇ $\mathbf{a}$ ਅਤੇ $\mathbf{d}$ ਸਮਰੇਖ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵੈਕਟਰ $(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ $\mathbf{a}$ ਅਤੇ $\mathbf{d}$ ਦੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਤਦੋਂ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਸ਼ੂਨੀ ਹੋਵੇ।

ਉੱਤਰ

ਵਿਸਥਾਪਨ ਕਣ ਦੀ ਆਰੰਭਿਕ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੂਰੀ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ਸਾਰੀਆਂ ਕੁੜੀਆਂ ਬਿੰਦੂ $P$ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਕੇ ਬਿੰਦੂ $Q$ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਿਸਥਾਪਨਾਂ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਮੈਦਾਨ ਦੇ ਵਿਆਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਗੇ।

ਮੈਦਾਨ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ $=200 m$

ਮੈਦਾਨ ਦਾ ਵਿਆਸ $=2 \times 200=400 m$

ਇਸ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਕੁੜੀ ਲਈ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ $400 m$ ਹੈ। ਇਹ ਕੁੜੀ B ਦੁਆਰਾ ਸਕੇਟ ਕੀਤੀ ਗਈ ਪਾਥ ਦੀ ਅਸਲ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।

ਉੱਤਰ

ਵਿਸਥਾਪਨ ਕਿਸੇ ਪਿੰਡ ਦੀ ਆਰੰਭਿਕ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੂਰੀ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ਸਾਈਕਲਿਸਟ 10 ਮਿੰਟ ਸਾਈਕਲ ਚਲਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਆਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਵਾਪਸ ਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਦੀ ਨੈੱਟ ਵਿਸਥਾਪਨ ਸ਼ੂਨੀ ਹੈ।

ਔਸਤ ਵੇਗ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

ਔਸਤ ਵੇਗ $=\frac{\text{ Net displacement }}{\text{ Total time }}$

ਚੂੰਕਿ ਸਾਈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਨੈੱਟ ਵਿਸਥਾਪਨ ਸ਼ੂਨੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉਸ ਦਾ ਔਸਤ ਵੇਗ ਵੀ ਸ਼ੂਨੀ ਹੋਵੇਗਾ।

ਸਾਈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਔਸਤ ਗਤੀ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

ਔਸਤ ਗਤੀ $=\frac{\text{ Total path length }}{\text{ Total time }}$

ਕੁੱਲ ਪਾਥ ਲੰਬਾਈ $=OP+PQ+QO$

$=1+\frac{1}{4}(2 \pi \times 1)+1$

$=2+\frac{1}{2} \pi=3.570 km$

ਲੱਗਾ ਸਮਾਂ $=10 \min =\frac{10}{60}=\frac{1}{6} h$

$\therefore$ ਔਸਤ ਗਤੀ

$ =\frac{3.570}{\frac{1}{6}}=21.42 km / h $

ਉੱਤਰ

ਮੋਟਰਿਸਟ ਦੁਆਰਾ ਅਪਣਾਇਆ ਗਿਆ ਪਾਥ ਇੱਕ ਨਿਯਮਿਕ ਛੇਭੁਜ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਭੁਜਾ $500 m$ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਮੋਟਰਿਸਟ ਬਿੰਦੂ $P$ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਮੋਟਰਿਸਟ ਤੀਜਾ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ $S$ ‘ਤੇ ਲੈਂਦਾ ਹੈ।

$\therefore$ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ $=PS=PV+VS=500+500=1000 m$

ਕੁੱਲ ਪਾਥ ਲੰਬਾਈ $=PQ+QR+RS=500+500+500=1500 m$

ਮੋਟਰਿਸਟ ਛੇਵਾਂ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ $P$ ‘ਤੇ ਲੈਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਆਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।

$\therefore$ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ $=0$

ਕੁੱਲ ਪਾਥ ਲੰਬਾਈ $=PQ+QR+RS+ST+TU+UP$

$=500+500+500+500+500+500=3000 m$

ਮੋਟਰਿਸਟ ਅਠਵਾਂ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ $R$ ‘ਤੇ ਲੈਂਦਾ ਹੈ

$\therefore$ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ $=PR$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{PQ^{2}+QR^{2}+2(PQ) \cdot(QR) \cos 60^{\circ}} \\ & =\sqrt{500^{2}+500^{2}+(2 \times 500 \times 500 \times \cos 60^{\circ})} \\ & =\sqrt{250000+250000+(500000 \times \frac{1}{2})} \\ & =866.03 m \\ & \beta=\tan ^{-1}(\frac{500 \sin 60^{\circ}}{500+500 \cos 60^{\circ}})=30^{\circ} \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ, ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ $866.03 m$ ਹੈ PR ਨਾਲ $30^{\circ}$ ਦੇ ਕੋਣ ‘ਤੇ।

ਕੁੱਲ ਪਾਥ ਲੰਬਾਈ $=$ ਛੇਭੁਜ ਦੀ ਪਰਿਧੀ $+PQ+QR$

$=6 \times 500+500+500=4000 m$

ਅਨੁਸਾਰੀ ਮੋੜਾਂ ਲਈ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਅਤੇ ਕੁੱਲ ਪਾਥ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ

ਉੱਤਰ

ਕੁੱਲ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ $=23 km$

ਕੁੱਲ ਲੱਗਾ ਸਮਾਂ $=28 \min =\frac{28}{60} h$

$\therefore$ ਟੈਕਸੀ ਦੀ ਔਸਤ ਗਤੀ $=\frac{\text{ Total distance travelled }}{\text{ Total time taken }}$

$=\frac{23}{(\frac{28}{60})}=49.29 km / h$

ਹੋਟਲ ਅਤੇ ਸਟੇਸ਼ਨ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ $=10 km=$ ਕਾਰ ਦੀ ਵਿਸਥਾਪਨ

$=\frac{10}{28}=21.43 km / h$

$\therefore$ ਔਸਤ ਵੇਗ

60

ਇਸ ਲਈ, ਦੋ ਭੌਤਿਕ ਰਾਸ਼ੀਆਂ (ਔਸਤ ਗਤੀ ਅਤੇ ਔਸਤ ਵੇਗ) ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਉੱਤਰ

ਗੇਂਦ ਦੀ ਗਤੀ, $u=40 m / s$

ਅਧਿਕਤਮ ਉਚਾਈ, $h=25 m$

ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਗਤੀ ਵਿੱਚ, ਕੋਣ $\theta$ ‘ਤੇ ਸੁੱਟੀ ਗਈ ਇੱਕ ਪਿੰਡ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਅਧਿਕਤਮ ਉਚਾਈ ਹੇਠਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:

$h=\frac{u^{2} \sin ^{2} \theta}{2 g}$

$25=\frac{(40)^{2} \sin ^{2} \theta}{2 \times 9.8}$

$\sin ^{2} \theta=0.30625$ $\sin \theta=0.5534$

$\therefore \theta=\sin ^{-1}(0.5534)=33.60^{\circ}$

ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ, $R=\frac{u^{2} \sin 2 \theta}{g}$

$=\frac{(40)^{2} \times \sin 2 \times 33.60}{9.8}$

$=\frac{1600 \times \sin 67.2}{9.8}$

$=\frac{1600 \times 0.922}{9.8}=150.53 m$

ਉੱਤਰ

ਅਧਿਕਤਮ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ, $R=100 m$

ਕ੍ਰਿਕਟਰ ਸਿਰਫ਼ ਤਦੋਂ ਹੀ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਅਧਿਕਤਮ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਸੁੱਟ ਸਕੇਗਾ ਜਦੋਂ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਕੋਣ $45^{\circ}$ ਹੋਵੇ, ਅਰਥਾਤ $\theta=45^{\circ}$।

ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਵੇਗ $v$ ਲਈ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਂਜ ਹੇਠਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:

$$ \begin{align*} & R=\frac{u^{2} \sin 2 \theta}{g} \\ & 100=\frac{u^{2}}{g} \sin 90^{\circ} \\ & \frac{u^{2}}{g}=100 \tag{i} \end{align*} $$

ਗੇਂਦ ਅਧਿਕਤਮ ਉਚਾਈ ਤਦੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੇਗੀ ਜਦੋਂ ਇਸਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਉੱਪਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਵੇ। ਅਜਿਹੀ ਗਤੀ ਲਈ, ਅਧਿਕਤਮ ਉਚਾਈ ‘ਤੇ ਅੰਤਿਮ ਵੇਗ $v$ ਸ਼ੂਨੀ ਹੈ।

ਤਵੱਜੋ, $a=-g$

ਤੀਜੀ ਗਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ:

$$ \begin{aligned} & v^{2}-u^{2}=-2 g H \\ & H=\frac{1}{2} \times \frac{u^{2}}{g}=\frac{1}{2} \times 100=50 m \end{aligned} $$

ਉੱਤਰ

ਧਾਗੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, $l=80 cm=0.8 m$

ਚੱਕਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=14$

ਲੱਗਾ ਸਮਾਂ $=25 s$

ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ, $\quad v=\frac{\text{ Number of revolutions }}{\text{ Time taken }}=\frac{14}{25} Hz$

ਕੋਣੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ, $\omega=2 \pi \nu$

$=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{14}{25}=\frac{88}{25} rad s^{-1}$

ਕੇਂਦਰਾਪਸਾਰੀ ਤੇਜ਼ੀ, $a_c=\omega^{2} r$

$=(\frac{88}{25})^{2} \times 0.8$

$=9.91 m / s^{2}$

ਕੇਂਦਰਾਪਸਾਰੀ ਤੇਜ਼ੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਧਾਗੇ ਦੇ ਨਾਲ, ਕੇਂਦਰ ਵੱਲ, ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਉੱਤਰ

ਲੂਪ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ, $r=1 km=1000 m$

ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਗਤੀ, $v=900 km / h=900 \times \frac{5}{18}=250 m / s$

ਕੇਂਦਰਾਪਸਾਰੀ ਤੇਜ਼ੀ, $a_c=\frac{v^{2}}{r}$

$ =\frac{(250)^{2}}{1000}=62.5 m / s^{2} $

ਗੁਰਤਵਾਕਰਸ਼ਣ ਦੇ ਕਾਰਨ ਤੇਜ਼ੀ, $g=9.8 m / s^{2}$

$ \frac{a_c}{g}=\frac{62.5}{9.8}=6.38 $

$ a_c=6.38 g $

ਉੱਤਰ

(a) ਝੂਠ

ਗੋਲਾਕਾਰ ਗਤੀ ਵਿੱਚ ਕਣ ਦੀ ਨੈੱਟ ਤੇਜ਼ੀ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਗੋਲ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵੱਲ ਰੇਡੀਅਸ ਦੇ ਨਾਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਸਮਾਨ ਗੋਲਾਕਾਰ ਗਤੀ ਦੇ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

(b) ਸੱਚ

ਗੋਲਾਕਾਰ ਪਾਥ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ, ਇੱਕ ਕਣ ਗੋਲਾਕਾਰ ਪਾਥ ਦੇ ਸਪਰਸ਼ਕ ਦੇ ਨਾਲ ਸੰਪਰਕ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕਣ ਦਾ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ਕ ਦੇ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

(c) ਸੱਚ

ਸਮਾਨ ਗੋਲਾਕਾਰ ਗਤੀ (UCM) ਵਿੱਚ, ਤੇਜ਼ੀ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਗੋਲ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵੱਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਲਗਾਤਾਰ ਬਦਲਦੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਔਸਤ ਇੱਕ ਖਾਲੀ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਉੱਤਰ

$\vec{v}(t)=(3.0 \hat{\mathbf{i}}-4.0 t \hat{\mathbf{j}}) ; \vec{a}=-4.0 \hat{\mathbf{j}}$

ਕਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ:

$\vec{r}=3.0 t \hat{\mathbf{i}}-2.0 t^{2} \hat{\mathbf{j}}+4.0 \hat{\mathbf{k}}$

ਕਣ ਦਾ ਵੇਗ $\vec{v}$, ਹੇਠਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

$\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}=\frac{d}{d t}(3.0 t \hat{\mathbf{i}}-2.0 t^{2} \hat{\mathbf{j}}+4.0 \hat{\mathbf{k}})$

$\therefore \vec{v}=3.0 \hat{\mathbf{i}}-4.0 t \hat{\mathbf{j}}$

ਕਣ ਦੀ ਤੇਜ਼ੀ $\vec{a}$, ਹੇਠਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ:

$\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{d t}=\frac{d}{d t}(3.0 \hat{\mathbf{i}}-4.0 t \hat{\mathbf{j}})$

$\therefore \vec{a}=-4.0 \hat{\mathbf{j}}$

$8.54 m / s, 69.45^{\circ}$ $x$-ਅਕਸ ਦੇ ਹੇਠਾਂ

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ, $\vec{v}=3.0 \hat{\mathbf{i}}-4.0 t \hat{\mathbf{j}}$

ਜਦੋਂ $t=2.0 s$ :

$\vec{v}=3.0 \hat{\mathbf{i}}-8.0 \hat{\mathbf{j}}$

ਵੇਗ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਹੇਠਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

$|\vec{v}|=\sqrt{3^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{73}=8.54 m / s$

ਦਿਸ਼ਾ, $\theta=\tan ^{-1}(\frac{v_y}{v_x})$

$=\tan ^{-1}(\frac{-8}{3})=-\tan ^{-1}(2.667)$

$=-69.45^{\circ}$

ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵੇਗ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ $x$-ਅਕਸ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਹੈ।

ਉੱਤਰ

ਕਣ ਦਾ ਵੇਗ, $\vec{v}=10.0 \hat{\mathbf{j}} m / s$

ਕਣ ਦੀ ਤੇਜ਼ੀ $\vec{a}=(8.0 \hat{\mathbf{i}}+2.0 \hat{\mathbf{j}})$

ਇਹ ਵੀ,

$ \vec{a}=\frac{d \vec{v}}{d t}=8.0 \hat{\mathbf{i}}+2.0 \hat{\mathbf{j}} $

ਪਰ,

$d \vec{v}=(8.0 \hat{\mathbf{i}}+2.0 \hat{\mathbf{j}}) d t$

ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਕੇ:

$\vec{v}(t)=8.0 t \hat{\mathbf{i}}+2.0 t \hat{\mathbf{j}}+\vec{u}$

ਜਿੱਥੇ,

$\vec{u}=$ ਸਮੇਂ ’t’ ‘ਤੇ ਕਣ ਦਾ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ

$\vec{v}=$ ਸਮੇਂ ’t’ ‘ਤੇ ਕਣ ਦਾ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ

ਪਰ, $\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}$

$d \vec{r}=\vec{v} d t=(8.0 t \hat{\mathbf{i}}+2.0 t \hat{\mathbf{j}}+\vec{u}) d t$

ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਕੇ, ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੇ ਨਾਲ: ਜਦੋਂ $t=0 ; r=0$ ਅਤੇ ਜਦੋਂ $t=t ; r=r$

$ \begin{aligned} \vec{r} & =\vec{u} t+\frac{1}{2} 8.0 t^{2} \hat{\mathbf{i}}+\frac{1}{2} \times 2.0 t^{2} \hat{\mathbf{j}} \\ & =\vec{u} t+4.0 t^{2} \hat{\mathbf{i}}+t^{2} \hat{\mathbf{j}} \\ & =(10.0 \hat{\mathbf{j}}) t+4.0 t^{2} \hat{\mathbf{i}}+t^{2} \hat{\mathbf{j}} \\ x & \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}=4.0 t^{2} \hat{\mathbf{i}}+(10 t+t^{2}) \hat{\mathbf{j}} \end{aligned} $

ਚੂੰਕਿ ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ $x-y$ ਪਲੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹੈ, $\hat{\mathbf{i}}$ ਅਤੇ $\hat{\mathbf{j}}$ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$x=4 t^{2}$

$t=(\frac{x}{4})^{\frac{1}{2}}$

ਅਤੇ $y=10 t+t^{2}$

ਜਦੋਂ $x=16 m$ :

$t=(\frac{16}{4})^{\frac{1}{2}}=2 s$

$\therefore y=10 \times 2+(2)^{2}=24 m$

ਕਣ ਦਾ ਵੇਗ ਹੇਠਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

$ \begin{aligned} & \vec{v}(t)=8.0 t \hat{\mathbf{i}}+2.0 t \hat{\mathbf{j}}+\vec{u} \\ & \text{ at } t=2 s \\ & \vec{v}(t)=8.0 \times 2 \hat{\mathbf{i}}+2.0 \times 2 \hat{\mathbf{j}}+10 \hat{\mathbf{j}} \\ & \quad=16 \hat{\mathbf{i}}+14 \hat{\mathbf{j}} \end{aligned} $

$\therefore$ ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ:

$ \begin{aligned} |\vec{v}| & =\sqrt{(16)^{2}+(14)^{2}} \\ & =\sqrt{256+196}=\sqrt{452} \\ & =21.26 m / s \end{aligned} $

ਉੱਤਰ

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ $\vec{P}$, ਹੇਠਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

$ \begin{aligned} & \stackrel{harpoonup}{P}=\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}} \\ & P_x \hat{\mathbf{i}}+P_y \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}} \end{aligned} $

ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$$ \begin{align*} & P_x=P_y=1 \\ & \overrightarrow{{}|P|}=\sqrt{P_x^{2}+P_y^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \tag{i} \end{align*} $$

ਇਸ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ $\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}$ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ $\sqrt{2}$ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $\theta$ ਉਹ ਕੋਣ ਹੈ ਜੋ ਵੈਕਟਰ $\vec{P}$, $x$-ਅਕਸ ਦੇ ਨਾਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

$$\therefore \tan \theta=(\frac{P_y}{P_x})$$

$$\theta=\tan ^{-1}(\frac{1}{1})=45^{\circ} \tag{ii}$$

ਇਸ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ $\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}$ $45^{\circ}$ ਦਾ ਕੋਣ $x$-ਅਕਸ ਦੇ ਨਾਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $\vec{Q}=\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}$

$Q_x \hat{\mathbf{i}}-Q_y \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}$

$Q_x=Q_y=1$

$|\vec{Q}|=\sqrt{Q_x^{2}+Q_y^{2}}=\sqrt{2} \quad \quad \quad \quad \quad (iii)$

ਇਸ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ $\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}$ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ $\sqrt{2}$ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $\theta$ ਉਹ ਕੋਣ ਹੈ ਜੋ ਵੈਕਟਰ $\vec{Q}$, $x$-ਅਕਸ ਦੇ ਨਾਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

$\therefore \tan \theta=(\frac{Q_y}{Q_x})$

$\theta=-\tan ^{-1}(-\frac{1}{1})=-45^{\circ}\quad \quad \quad \quad \quad (iv)$

ਇਸ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ $\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}$ $-45^{\circ}$ ਦਾ ਕੋਣ $x$-ਅਕਸ ਦੇ ਨਾਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ:

$ \begin{aligned} & \vec{A}=2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}} \\ & A_x \hat{\mathbf{i}}+A_y \hat{\mathbf{j}}=2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}} \end{aligned} $

$\hat{\mathbf{i}}$ ਅਤੇ $\hat{\mathbf{j}}$ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:

$ \begin{aligned} & A_x=2 \text{ and } A_y=3 \\ & |\vec{A}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13} \end{aligned} $

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $ \vec{A} _x$ ਇੱਕ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ $\theta _{\text{with the }} x$-ਅਕਸ ਦੇ ਨਾਲ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

$ \begin{aligned} & \therefore \tan \theta=(\frac{A_y}{A_x}) \\ & \theta=\tan ^{-1}(\frac{3}{2}) \\ & \quad=\tan ^{-1}(1.5)=56.31^{\circ} \end{aligned} $

ਵੈਕਟਰਾਂ $(2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}})$ ਅਤੇ $(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}), \theta^{\prime}=56.31-45=11.31^{\circ}$ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ

ਵੈਕਟਰ $\vec{A}$ ਦਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ, $\vec{P}$ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, $\theta^{\prime}$ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ

$$ \begin{align*} & =(A \cos \theta) \hat{P}=(A \cos 11.31) \frac{(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}})}{\sqrt{2}} \\ & =\sqrt{13} \times \frac{0.9806}{\sqrt{2}}(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}) \\ & =2.5(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}) \\ & =\frac{25}{10} \times \sqrt{2} \\ & =\frac{5}{\sqrt{2}} \tag{v} \end{align*} $$

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $\theta^{*}$ ਵੈਕਟਰਾਂ $(2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}})$ ਅਤੇ $(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}})$ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਹੈ।

$ \theta^{\prime \prime}=45+56.31=101.31^{\circ} $

ਵੈਕਟਰ $\vec{A}$ ਦਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ, $\vec{Q}$ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, $\theta^{\prime \prime}$ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ

$$ \begin{align*} & =(A \cos \theta^{\prime \prime}) \vec{Q}=(A \cos \theta^{\prime \prime}) \frac{\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}}{\sqrt{2}} \\ & =\sqrt{13} \cos (901.31^{\circ}) \frac{(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}})}{\sqrt{2}} \\ & =-\sqrt{\frac{13}{2}} \sin 11.30^{\circ}(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}) \\ & =-2.550 \times 0.1961(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}) \\ & =-0.5(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}) \\ & =-\frac{5}{10} \times \sqrt{2} \\ & =-\frac{1}{\sqrt{2}} \tag{vi} \end{align*} $$

ਉੱਤਰ

(b) ਅਤੇ (e)

(a) ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ ਮਨਮਾਨੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕਣ ਦਾ ਔਸਤ ਵੇਗ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ।

(b) ਕਣ ਦੀ ਮਨਮਾਨੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

(c) ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ ਮਨਮਾਨੀ ਹੈ। ਕਣ ਦੀ ਤੇਜ਼ੀ ਗੈਰ-ਸਮਾਨ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਨਹੀਂ ਸਕਦਾ।

(d) ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ ਮਨਮਾਨੀ ਹੈ; ਕਣ ਦੀ ਤੇਜ਼ੀ ਵੀ ਗੈਰ-ਸਮਾਨ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਨਹੀਂ ਸਕਦਾ।

(e) ਕਣ ਦੀ ਮਨਮਾਨੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਉੱਤਰ

(a) ਝੂਠ

ਸਕੈਲਰ ਰਾਸ਼ੀ ਹੋਣ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਊਰਜਾ ਅਣਇਲਾਸਟਿਕ ਟੱਕਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸੰਚਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।

(b) ਝੂਠ

ਸਕੈਲਰ ਰਾਸ਼ੀ ਹੋਣ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਤਾਪਮਾਨ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ।

(c) ਝੂਠ

ਕੁੱਲ ਪਾਥ ਲੰਬਾਈ ਇੱਕ ਸਕੈਲਰ ਰਾਸ਼ੀ ਹੈ। ਫਿਰ ਵੀ ਇਸ ਵਿੱਚ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਹੈ।

(d) ਝੂਠ

ਗੁਰਤਵਾਕਰਸ਼ਣ ਪੋਟੈਂਸ਼ਲ ਵਰਗੀ ਸਕੈਲਰ ਰਾਸ਼ੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਬਦਲ ਸਕਦੀ ਹੈ।

(e) ਸੱਚ

ਸਕੈਲਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਅਕਸਾਂ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅਨੁਸਾਰ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਪਰੀਖਕਾਂ ਲਈ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ।

ਉੱਤਰ

ਨਿਰੀਖਕ ਅਤੇ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹਨ।

ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉਚਾਈ, $OR=3400 m$

ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਣਿਆ ਕੋਣ, $\angle POQ=30^{\circ}$

ਸਮਾਂ $=10 s$

In $\triangle PRO$ :

$\tan 15^{\circ}=\frac{PR}{OR}$

$PR=OR \tan 15^{\circ}$

$=3400 \times \tan 15^{\circ}$

$\triangle PRO$ $\triangle RQO$ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।

$\therefore PR=RQ$

$PQ=PR+RQ$

$=2 PR=2 \times 3400 \tan 15^{\circ}$

$=6800 \times 0.268=1822.4 m$

$\therefore$ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਗਤੀ $=\frac{1822.4}{10}=182.24 m / s$