అధ్యాయం 12 గతి సిద్ధాంతం వ్యాయామాలు

సమాధానం

ఆక్సిజన్ అణువు యొక్క వ్యాసం, $d=3 \mathring{A}$

వ్యాసార్థం, $r=\frac{d}{2}=\frac{3}{2}=1.5 \mathring{A}=1.5 \times 10^{-8} cm$

$STP=22400 cm^{3}$ వద్ద 1 మోల్ ఆక్సిజన్ వాయువు ఆక్రమించే వాస్తవ ఘనపరిమాణం

ఆక్సిజన్ వాయువు యొక్క అణుకేంద్రక ఘనపరిమాణం,

$ V=\frac{4}{3} \pi r^{3} \cdot N $

ఇక్కడ, $N$ అనేది అవగాడ్రో సంఖ్య $=6.023 \times 10^{23}$ అణువులు $/ mole$

$\therefore V=\frac{4}{3} \times 3.14 \times(1.5 \times 10^{-8})^{3} \times 6.023 \times 10^{23}=8.51 cm^{3}$

ఆక్సిజన్ యొక్క వాస్తవ ఘనపరిమాణానికి అణుకేంద్రక ఘనపరిమాణం యొక్క నిష్పత్తి $=\frac{8.51}{22400}$

$=3.8 \times 10^{-4}$

సమాధానం

పీడనం $(P)$, ఘనపరిమాణం $(V)$, మరియు సంపూర్ణ ఉష్ణోగ్రత $(T)$ లను సంబంధించే ఆదర్శ వాయు సమీకరణం ఇలా ఇవ్వబడింది: $P V=n R T$

ఇక్కడ,

$R$ అనేది సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకం $=8.314 J mol^{-1} K^{-1}$

$n=$ మోల్ల సంఖ్య $=1$

$T=$ ప్రామాణిక ఉష్ణోగ్రత $=273 K$

$P=$ ప్రామాణిక పీడనం $=1 atm=1.013 \times 10^{5} Nm^{-2}$

$\therefore V=\frac{n R T}{P}$

$=\frac{1 \times 8.314 \times 273}{1.013 \times 10^{5}}$

$=0.0224 m^{3}$

$=22.4$ లీటర్లు

అందువల్ల, STP వద్ద ఒక వాయువు యొక్క మోలార్ ఘనపరిమాణం 22.4 లీటర్లు.

సమాధానం

(a) గ్రాఫ్లోని చుక్కల ప్లాట్ వాయువు యొక్క ఆదర్శ ప్రవర్తనను సూచిస్తుంది, అనగా, నిష్పత్తి $\frac{P V}{T}$ సమానం. $\mu R$ ( $\mu$ అనేది మోల్ల సంఖ్య మరియు $R$ అనేది సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకం) ఒక స్థిరమైన గుణం. ఇది వాయువు యొక్క పీడనంపై ఆధారపడి ఉండదు.

(b) ఇచ్చిన గ్రాఫ్లోని చుక్కల ప్లాట్ ఒక ఆదర్శ వాయువును సూచిస్తుంది. ఉష్ణోగ్రత $T_1$ వద్ద ఉన్న వాయువు యొక్క వక్రరేఖ, ఉష్ణోగ్రత $T_2$ వద్ద ఉన్న వాయువు యొక్క వక్రరేఖ కంటే చుక్కల ప్లాట్కు దగ్గరగా ఉంటుంది. ఒక వాస్తవ వాయువు దాని ఉష్ణోగ్రత పెరిగినప్పుడు ఆదర్శ వాయువు యొక్క ప్రవర్తనను అనుసరిస్తుంది.

అందువల్ల, ఇచ్చిన ప్లాట్ కోసం $T_1>T_2$ నిజం.

(c) రెండు వక్రతలు కలిసే చోట $P V / T$ నిష్పత్తి యొక్క విలువ $\mu R$. ఎందుకంటే ఆదర్శ వాయు సమీకరణం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$P V=\mu R T$

$\frac{P V}{T}=\mu R$

ఇక్కడ,

$P$ అనేది పీడనం

$T$ అనేది ఉష్ణోగ్రత

$V$ అనేది ఘనపరిమాణం

$\mu$ అనేది మోల్ల సంఖ్య

$R$ అనేది సార్వత్రిక స్థిరాంకం

ఆక్సిజన్ యొక్క అణు ద్రవ్యరాశి $=32.0 g$

ఆక్సిజన్ ద్రవ్యరాశి $=1 \times 10^{-3} kg=1 g$

$R=8.314 J mole^{-1} K^{-1}$

$\therefore \frac{P V}{T}=\frac{1}{32} \times 8.314$ $=0.26 J K^{-1}$

అందువల్ల, వక్రతలు $y$-అక్షంపై కలిసే చోట $P V / T$ నిష్పత్తి యొక్క విలువ

$0.26 J K^{-1}$.

(d) మనం $1.00 \times 10^{-3} kg$ హైడ్రోజన్ కోసం ఇలాంటి ప్లాట్లను పొందినట్లయితే, వక్రతలు $y$-అక్షంపై కలిసే చోట మనకు అదే $P V / T$ విలువ రాదు. ఎందుకంటే హైడ్రోజన్ యొక్క అణు ద్రవ్యరాశి $(2.02 u)$ ఆక్సిజన్ $(32.0 u)$ కంటే భిన్నంగా ఉంటుంది.

మనకు ఉన్నది:

$\frac{P V}{T}=0.26 J K^{-1}$

$R=8.314 J mole^{-1} K^{-1}$

$H_2=2.02 u$ యొక్క అణు ద్రవ్యరాశి $(M)$

$\frac{P V}{T}=\mu R$ స్థిరమైన ఉష్ణోగ్రత వద్ద

ఇక్కడ, $\mu=\frac{m}{M}$

$H_2$ యొక్క ద్రవ్యరాశి $m=$

$\therefore \quad m=\frac{P V}{T} \times \frac{M}{R}$

$=\frac{0.26 \times 2.02}{8.31}$

$=6.3 \times 10^{-2} g=6.3 \times 10^{-5} kg$

అందువల్ల, $H_2$ యొక్క $6.3 \times 10^{-5} kg$ అదే $P V / T$ విలువను ఇస్తుంది.

సమాధానం

ఆక్సిజన్ ఘనపరిమాణం, $V_1=30$ లీటర్లు $=30 \times 10^{-3} m^{3}$

గేజ్ పీడనం, $P_1=15 atm=15 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

ఉష్ణోగ్రత, $T_1=27^{\circ} C=300 K$

సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకం, $R=8.314 J mole^{-1} K^{-1}$

సిలిండర్లో ఆక్సిజన్ వాయువు యొక్క ప్రారంభ మోల్ల సంఖ్య $n_1$ గా ఉండనివ్వండి.

వాయు సమీకరణం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$P_1 V_1=n_1 R T_1$

$\therefore n_1=\frac{P_1 V_1}{R T_1}$

$=\frac{15.195 \times 10^{5} \times 30 \times 10^{-3}}{(8.314) \times 300}=18.276$

కానీ, $n_1=\frac{m_1}{M}$

ఇక్కడ,

$m_1=$ ఆక్సిజన్ యొక్క ప్రారంభ ద్రవ్యరాశి

$M=$ ఆక్సిజన్ యొక్క అణు ద్రవ్యరాశి $=32 g$

$\therefore m_1=n_1 M=18.276 \times 32=584.84 g$

కొంత ఆక్సిజన్ సిలిండర్ నుండి తీసివేయబడిన తర్వాత, పీడనం మరియు ఉష్ణోగ్రత తగ్గుతాయి.

ఘనపరిమాణం, $V_2=30$ లీటర్లు $=30 \times 10^{-3} m^{3}$

గేజ్ పీడనం, $P_2=11 atm=11 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

ఉష్ణోగ్రత, $T_2=17^{\circ} C=290 K$

సిలిండర్లో మిగిలి ఉన్న ఆక్సిజన్ మోల్ల సంఖ్య $n_2$ గా ఉండనివ్వండి.

వాయు సమీకరణం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$P_2 V_2=n_2 R T_2$

$\therefore n_2=\frac{P_2 V_2}{R T_2}$

$=\frac{11.143 \times 10^{5} \times 30 \times 10^{-3}}{8.314 \times 290}=13.86$

కానీ, $n_2=\frac{m_2}{M}$

ఇక్కడ,

$m_2$ అనేది సిలిండర్లో మిగిలి ఉన్న ఆక్సిజన్ ద్రవ్యరాశి

$\therefore m_2=n_2 M=13.86 \times 32=453.1 g$

సిలిండర్ నుండి తీసివేయబడిన ఆక్సిజన్ ద్రవ్యరాశి ఈ సంబంధం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

సిలిండర్లో ఆక్సిజన్ యొక్క ప్రారంభ ద్రవ్యరాశి - సిలిండర్లో ఆక్సిజన్ యొక్క తుది ద్రవ్యరాశి

$=m_1-m_2$

$=584.84 g-453.1 g$

$=131.74 g$

$=0.131 kg$

అందువల్ల, $0.131 kg$ ఆక్సిజన్ సిలిండర్ నుండి తీసివేయబడుతుంది.

సమాధానం

గాలి బుడగ యొక్క ఘనపరిమాణం, $V_1=1.0 cm^{3}=1.0 \times 10^{-6} m^{3}$

బుడగ పైకి లేస్తుంది, $d=40 m$

$40 m, T_1=12^{\circ} C=285 K$ లోతు వద్ద ఉష్ణోగ్రత

సరస్సు ఉపరితలం వద్ద ఉష్ణోగ్రత, $T_2=35^{\circ} C=308 K$

సరస్సు ఉపరితలంపై పీడనం:

$P_2=1 atm=1 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

$40 m$ లోతు వద్ద పీడనం:

$P_1=1 atm+d \rho g$

ఇక్కడ,

$\rho$ అనేది నీటి సాంద్రత $=10^{3} kg / m^{3}$

$g$ అనేది గురుత్వాకర్షణ వలన త్వరణం $=9.8 m / s^{2}$

$\therefore P_1=1.013 \times 10^{5}+40 \times 10^{3} \times 9.8=493300 Pa$

మనకు ఉన్నది: $\frac{P_1 V_1}{T_1}=\frac{P_2 V_2}{T_2}$

ఇక్కడ, $V_2$ అనేది గాలి బుడగ ఉపరితలాన్ని చేరుకున్నప్పుడు దాని ఘనపరిమాణం

$V_2=\frac{P_1 V_1 T_2}{T_1 P_2}$

$=\frac{(493300)(1.0 \times 10^{-6}) 308}{285 \times 1.013 \times 10^{5}}$

$=5.263 \times 10^{-6} m^{3}$ లేదా $5.263 cm^{3}$

అందువల్ల, గాలి బుడగ ఉపరితలాన్ని చేరుకున్నప్పుడు, దాని ఘనపరిమాణం $5.263 cm^{3}$ అవుతుంది.

సమాధానం

గది యొక్క ఘనపరిమాణం, $V=25.0 m^{3}$

గది యొక్క ఉష్ణోగ్రత, $T=27^{\circ} C=300 K$

గదిలో పీడనం, $P=1 atm=1 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

పీడనం $(P)$, ఘనపరిమాణం $(V)$, మరియు సంపూర్ణ ఉష్ణోగ్రత $(T)$ లను సంబంధించే ఆదర్శ వాయు సమీకరణం ఇలా వ్రాయవచ్చు:

$P V=k_B N T$

ఇక్కడ,

$K_B$ అనేది బోల్ట్జ్మాన్ స్థిరాంకం $=1.38 \times 10^{-23} m^{2} kg s^{-2} K^{-1}$

$N$ అనేది గదిలోని గాలి అణువుల సంఖ్య

$ \begin{aligned} & \quad N=\frac{P V}{k_B T} \\ & =\frac{1.013 \times 10^{5} \times 25}{1.38 \times 10^{-23} \times 300}=6.11 \times 10^{26} \text{ molecules } \end{aligned} $

అందువల్ల, ఇచ్చిన గదిలో గాలి అణువుల మొత్తం సంఖ్య $6.11 \times 10^{26}$.

సమాధానం

గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద, $T=27^{\circ} C=300 K$

సగటు ఉష్ణ శక్తి $=\frac{3}{2} k T$

ఇక్కడ $k$ అనేది బోల్ట్జ్మాన్ స్థిరాంకం $=1.38 \times 10^{-23} m^{2} kg s^{-2} K^{-1}$

$\therefore \frac{3}{2} k T=\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-38} \times 300$

$=6.21 \times 10^{-21} J$

అందువల్ల, గది ఉష్ణోగ్రత $(27^{\circ} C)$ వద్ద ఒక హీలియం అణువు యొక్క సగటు ఉష్ణ శక్తి $6.21 \times$ $10^{-21} J$.

సూర్యుడి ఉపరితలంపై, $T=6000 K$

సగటు ఉష్ణ శక్తి $=\frac{3}{2} k T$

$=\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-38} \times 6000$

$=1.241 \times 10^{-19} J$

అందువల్ల, సూర్యుడి ఉపరితలంపై ఒక హీలియం అణువు యొక్క సగటు ఉష్ణ శక్తి $1.241 \times$ $10^{-19} J$.

ఉష్ణోగ్రత వద్ద, $T=10^{7} K$

సగటు ఉష్ణ శక్తి $=\frac{3}{2} k T$

$=\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 10^{7}$

$=2.07 \times 10^{-16} J$

అందువల్ల, ఒక నక్షత్రం కేంద్రంలో ఒక హీలియం అణువు యొక్క సగటు ఉష్ణ శక్తి $2.07 \times 10^{-16} J$.

సమాధానం

అవును. అన్నీ సంబంధిత అణువుల యొక్క ఒకే సంఖ్యను కలిగి ఉన్నాయి.

కాదు. నియాన్ యొక్క మూల సగటు వర్గ వేగం అతిపెద్దది.

మూడు పాత్రలు ఒకే సామర్థ్యాన్ని కలిగి ఉన్నందున, వాటికి ఒకే ఘనపరిమాణం ఉంటుంది.

అందువల్ల, ప్రతి వాయువుకు ఒకే పీడనం, ఘనపరిమాణం మరియు ఉష్ణోగ్రత ఉంటాయి.

అవగాడ్రో నియమం ప్రకారం, మూడు పాత్రలు సంబంధిత అణువుల సమాన సంఖ్యను కలిగి ఉంటాయి. ఈ సంఖ్య అవగాడ్రో సంఖ్యకు సమానం, $N=6.023 \times 10^{23}$.

ద్రవ్యరాశి $m$, మరియు ఉష్ణోగ్రత $T$ ఉన్న వాయువు యొక్క మూల సగటు వర్గ వేగం ( $v_{rms}$ ) ఈ సంబంధం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

$ v_{rms}=\sqrt{\frac{3 k T}{m}} $

ఇక్కడ, $k$ అనేది బోల్ట్జ్మాన్ స్థిరాంకం

ఇచ్చిన వాయువుల కోసం, $k$ మరియు $T$ స్థిరాంకాలు.

అందువల్ల $v_{\text{rms }}$ అణువుల ద్రవ్యరాశిపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది, అనగా,

$ v_{rms} \propto \sqrt{\frac{1}{m}} $

అందువల్ల, మూడు సందర్భాలలో అణువుల మూల సగటు వర్గ వేగం ఒకేలా ఉండదు. నియాన్, క్లోరిన్ మరియు యురేనియం హెక్సాఫ్లోరైడ్ లలో, నియాన్ ద్రవ్యరాశి చిన్నది. అందువల్ల, ఇచ్చిన వాయువులలో నియాన్కు అతిపెద్ద మూల సగటు వర్గ వేగం ఉంటుంది.

సమాధానం

హీలియం అణువు యొక్క ఉష్ణోగ్రత, $T_{He}=-20^{\circ} C=253 K$

ఆర్గాన్ యొక్క పరమాణు ద్రవ్యరాశి, $M_{Ar}=39.9 u$

హీలియం యొక్క పరమాణు ద్రవ్యరాశి, $M_{He}=4.0 u$

ఆర్గాన్ యొక్క rms వేగం $(v_{rms})_{Ar}$ గా ఉండనివ్వండి.

హీలియం యొక్క rms వేగం $(v_{rms})_{He}$ గా ఉండనివ్వండి.

ఆర్గాన్ యొక్క rms వేగం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$(v_{rms})_{Ar} $

$=\sqrt{\frac{3 R T_{Ar}}{M_{Ar}}}\ldots(i)$

ఇక్కడ,

$R$ అనేది సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకం

$T_{Ar}$ అనేది ఆర్గాన్ వాయువు యొక్క ఉష్ణోగ్రత

హీలియం యొక్క rms వేగం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$(v_{rms})_{He}$

$=\sqrt{\frac{3 R T_{He}}{M_{He}}} \ldots($ ii $)$

ఇది ఇలా ఇవ్వబడింది:

$(v_{\text{rms }})_{Ar}$

$=(v_{rms})_{He}$

$ \begin{aligned} & \sqrt{\frac{3 R T_{Ar}}{M_{Ar}}}=\sqrt{\frac{3 R T_{He}}{M_{He}}} \\ \\ & \frac{T_{Ar}}{M_{Ar}}=\frac{T_{He}}{M_{He}} \\ \\ & T_{Ar}=\frac{T_{He}}{M_{He}} \times M_{Ar} \\ \\ & =\frac{253}{4} \times 39.9 \\ \\ & =2523.675=2.52 \times 10^{3} K \end{aligned} $

అందువల్ల, ఆర్గాన్ అణువు యొక్క ఉష్ణోగ్రత $2.52 \times 10^{3} K$.

సమాధానం

సగటు ముక్త పథం $=1.11 \times 10^{-7} m$

ఘర్షణ పౌనఃపున్యం $=4.58 \times 10^{9} s^{-1}$

వరుస ఘర్షణ సమయం $\approx 500 \times($ ఘర్షణ సమయం $)$

నైట్రోజన్ ఉన్న సిలిండర్ లోపల పీడనం, $P=2.0 atm=2.026 \times 10^{5} Pa$

సిలిండర్ లోపల ఉష్ణోగ్రత, $T=17^{\circ} C=290 K$

నైట్రోజన్ అణువు యొక్క వ్యాసార్థం, $r=1.0 \mathring{A}=1 \times 10^{10} m$

వ్యాసం, $d=2 \times 1 \times 10^{10}=2 \times 10^{10} m$

నైట్రోజన్ యొక్క అణు ద్రవ్యరాశి, $M=28.0 g=28 \times 10^{-3} kg$

నైట్రోజన్ యొక్క మూల సగటు వర్గ వేగం ఈ సంబంధం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది: $v_{\text{rms }}=\sqrt{\frac{3 R T}{M}}$

ఇక్కడ,

$R$ అనేది సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకం $=8.314 J mole^{-1} K^{-1}$

$\therefore v_{\text{rms }}=\sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 290}{28 \times 10^{-3}}}=508.26 m / s$

సగటు ముక్త పథం $(l)$ ఈ సంబంధం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

$l=\frac{k T}{\sqrt{2} \times d^{2} \times P}$

ఇక్కడ,

$k$ అనేది బోల్ట్జ్మాన్ స్థిరాంకం $=1.38 \times 10^{-23} kg m^{2} s^{-2} K^{-1}$

$\therefore l=\frac{1.38 \times 10^{-23} \times 290}{\sqrt{2} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-10})^{2} \times 2.026 \times 10^{5}}$

$=1.11 \times 10^{-7} m$

ఘర్షణ పౌనఃపున్యం $=\frac{v_{\text{rms }}}{l}$

$=\frac{508.26}{1.11 \times 10^{-7}}=4.58 \times 10^{9} s^{-1}$

ఘర్షణ సమయం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

$T=\frac{d}{v_{\text{ms }}}$

$=\frac{2 \times 10^{-10}}{508.26}=3.93 \times 10^{-13} s$

వరుస ఘర్షణల మధ్య తీసుకున్న సమయం:

$T^{\prime}=\frac{l}{v_{\text{ms }}}$

$ \begin{aligned} & =\frac{1.11 \times 10^{-7} m}{508.26 m / s}=2.18 \times 10^{-10} s \\ & \quad \frac{T^{\prime}}{T}=\frac{2.18 \times 10^{-10}}{3.93 \times 10^{-13}}=500 \end{aligned} $

అందువల్ల, వరుస ఘర్షణల మధ్య తీసుకున్న సమయం ఒక ఘర్షణకు తీసుకున్న సమయం కంటే 500 రెట్లు ఎక్కువ.