అధ్యాయం 13 కేంద్రకాలు

సమాధానం

నైట్రోజన్ యొక్క పరమాణు ద్రవ్యరాశి $({ }_{7} \mathrm{~N} ^{14}), m=14.00307 \mathrm{u}$

నైట్రోజన్ యొక్క కేంద్రకం ${ }_{7} \mathrm{~N} ^{14}$ 7 ప్రోటాన్లు మరియు 7 న్యూట్రాన్లను కలిగి ఉంటుంది.

అందువల్ల, ఈ కేంద్రకం యొక్క ద్రవ్యరాశి లోపం, $\Delta m=7 m_{H}+7 m_{n}-m$

ఎక్కడ,

ప్రోటాన్ ద్రవ్యరాశి, $m_{H}=1.007825 \mathrm{u}$

న్యూట్రాన్ ద్రవ్యరాశి, $m_{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m=7 \times 1.007825+7 \times 1.008665-14.00307$ $=7.054775+7.06055-14.00307$

$=0.11236 \mathrm{u}$

కానీ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=0.11236 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

అందువల్ల, కేంద్రకం యొక్క బంధన శక్తి ఇలా ఇవ్వబడింది:

$E_{b}=\Delta m c ^{2}$

ఎక్కడ,

$c=$ కాంతి వేగం

$\therefore E_{b}=0.11236 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=104.66334 \mathrm{MeV}$

అందువల్ల, నైట్రోజన్ కేంద్రకం యొక్క బంధన శక్తి $104.66334 \mathrm{MeV}$.

సమాధానం

${ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe}, m _{1}=55.934939 \mathrm{u}$ యొక్క పరమాణు ద్రవ్యరాశి

${ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe}$ కేంద్రకం 26 ప్రోటాన్లు మరియు $(56-26)=30$ న్యూట్రాన్లను కలిగి ఉంటుంది

అందువల్ల, కేంద్రకం యొక్క ద్రవ్యరాశి లోపం, $\Delta m=26 \times m _{H}+30 \times m _{n}-m _{1}$

ఎక్కడ,

ప్రోటాన్ ద్రవ్యరాశి, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

న్యూట్రాన్ ద్రవ్యరాశి, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m=26 \times 1.007825+30 \times 1.008665-55.934939$

$=26.20345+30.25995-55.934939$

$=0.528461 \mathrm{u}$

కానీ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=0.528461 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

ఈ కేంద్రకం యొక్క బంధన శక్తి ఇలా ఇవ్వబడింది:

$E _{b 1}=\Delta m c ^{2}$

ఎక్కడ,

$c=$ కాంతి వేగం

$\therefore E _{b 1}=0.528461 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=492.26 \mathrm{MeV}$

ప్రతి న్యూక్లియాన్కు సగటు బంధన శక్తి $=\frac{492.26}{56}=8.79 \mathrm{MeV}$

${ } ^{\frac{209}{83} \mathrm{Bi}}, m _{2}=208.980388 \mathrm{u}$ యొక్క పరమాణు ద్రవ్యరాశి

${ } _{83} ^{2099} \mathrm{Bi}$ కేంద్రకం 83 ప్రోటాన్లు మరియు $(209-83) 126$ న్యూట్రాన్లను కలిగి ఉంటుంది.

అందువల్ల, ఈ కేంద్రకం యొక్క ద్రవ్యరాశి లోపం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$\Delta m ^{\prime}=83 \times m _{H}+126 \times m _{n}-m _{2}$

ఎక్కడ,

ప్రోటాన్ ద్రవ్యరాశి, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

న్యూట్రాన్ ద్రవ్యరాశి, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=83 \times 1.007825+126 \times 1.008665-208.980388$

$=83.649475+127.091790-208.980388$ $=1.760877 \mathrm{u}$

కానీ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=1.760877 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

అందువల్ల, ఈ కేంద్రకం యొక్క బంధన శక్తి ఇలా ఇవ్వబడింది:

$E _{b 2}=\Delta m ^{\prime} c ^{2}$

$=1.760877 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=1640.26 \mathrm{MeV}$

ప్రతి న్యూక్లియాన్కు సగటు బంధన శక్తి $=\frac{1640.26}{209}=7.848 \mathrm{MeV}$

సమాధానం

కాపర్ నాణెం యొక్క ద్రవ్యరాశి, $m ^{\prime}=3 \mathrm{~g}$

${ } _{29} \mathrm{Cu} ^{63}$ పరమాణువు యొక్క పరమాణు ద్రవ్యరాశి, $m=62.92960 \mathrm{u}$

నాణెంలోని మొత్తం ${ } _{29} \mathrm{Cu} ^{63}$ పరమాణువుల సంఖ్య,$N=\frac{N _{\mathrm{A}} \times m ^{\prime}}{\text { Mass number }}$

ఎక్కడ,

$\mathrm{N} _{\mathrm{A}}=$ అవోగాడ్రో సంఖ్య $=6.023 \times 10 ^{23}$ పరమాణువులు $/ \mathrm{g}$

ద్రవ్యరాశి సంఖ్య $=63 \mathrm{~g}$ $\therefore N=\frac{6.023 \times 10 ^{23} \times 3}{63}=2.868 \times 10 ^{22}$ పరమాణువులు

${ } _{29} \mathrm{Cu} ^{63}$ కేంద్రకం 29 ప్రోటాన్లు మరియు $(63-29) 34$ న్యూట్రాన్లను కలిగి ఉంటుంది

$\therefore$ ఈ కేంద్రకం యొక్క ద్రవ్యరాశి లోపం, $\Delta m ^{\prime}=29 \times m _{H}+34 \times m _{n}-m$

ఎక్కడ,

ప్రోటాన్ ద్రవ్యరాశి, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

న్యూట్రాన్ ద్రవ్యరాశి, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=29 \times 1.007825+34 \times 1.008665-62.9296$

$=0.591935 \mathrm{u}$

నాణెంలో ఉన్న అన్ని పరమాణువుల ద్రవ్యరాశి లోపం, $\Delta m=0.591935 \times 2.868 \times 10 ^{22}$

$=1.69766958 \times 10 ^{22} \mathrm{u}$

కానీ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=1.69766958 \times 10 ^{22} \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

అందువల్ల, నాణెం యొక్క కేంద్రకాల బంధన శక్తి ఇలా ఇవ్వబడింది:

$E _{b}=\Delta m c ^{2}$

$=1.69766958 \times 10 ^{22} \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=1.581 \times 10 ^{25} \mathrm{MeV}$

కానీ $1 \mathrm{MeV}=1.6 \times 10 ^{-13} \mathrm{~J}$

$E _{b}=1.581 \times 10 ^{25} \times 1.6 \times 10 ^{-13}$

$=2.5296 \times 10 ^{12} \mathrm{~J}$

ఇచ్చిన నాణెం నుండి అన్ని న్యూట్రాన్లు మరియు ప్రోటాన్లను వేరు చేయడానికి ఇంత శక్తి అవసరం.

సమాధానం

బంగారు ఐసోటోప్ యొక్క కేంద్రక వ్యాసార్థం ${ } _{79} \mathrm{Au} ^{197}=R _{\mathrm{Au}}$

వెండి ఐసోటోప్ యొక్క కేంద్రక వ్యాసార్థం ${ } _{47} \mathrm{Ag} ^{107}=R _{\mathrm{Ag}}$

బంగారం యొక్క ద్రవ్యరాశి సంఖ్య, $A _{\mathrm{Au}}=197$

వెండి యొక్క ద్రవ్యరాశి సంఖ్య, $A _{\mathrm{Ag}}=107$

రెండు కేంద్రకాల వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి వాటి ద్రవ్యరాశి సంఖ్యలతో ఇలా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది:

$$ \begin{aligned} \frac{R _{\mathrm{Au}}}{R _{\mathrm{Ag}}} & =(\frac{R _{\mathrm{Au}}}{R _{\mathrm{Ag}}}) ^{\frac{1}{3}} \ & =(\frac{197}{107}) ^{\frac{1}{3}}=1.2256 \end{aligned} $$

అందువల్ల, బంగారు మరియు వెండి ఐసోటోప్ల కేంద్రక వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి సుమారు 1.23.

సమాధానం

${ } ^{226} \mathrm{Ra}$ యొక్క ఆల్ఫా కణ క్షయం హీలియం కేంద్రకాన్ని విడుదల చేస్తుంది. ఫలితంగా, దాని ద్రవ్యరాశి సంఖ్య $(226-4) 222$ కి తగ్గుతుంది మరియు దాని పరమాణు సంఖ్య $(88-2) 86$ కి తగ్గుతుంది. ఇది కింది కేంద్రక ప్రతిచర్యలో చూపబడింది.

${ } _{88} ^{226} \mathrm{Ra} \longrightarrow{ } _{86} ^{222} \mathrm{Ra}+{ } _{2} ^{4} \mathrm{He}$

యొక్క $Q$-విలువ

విడుదలైన $\alpha$-కణం $=($ ప్రారంభ ద్రవ్యరాశి మొత్తం - తుది ద్రవ్యరాశి మొత్తం $) c ^{2}$

ఎక్కడ,

$c=$ కాంతి వేగం

ఇది ఇలా ఇవ్వబడింది:

$m({ } _{88} ^{226} \mathrm{Ra})=226.02540 \mathrm{u}$

$m({ } _{86} ^{222} \mathrm{Rn})=222.01750 \mathrm{u}$

$m({ } _{2} ^{4} \mathrm{He})=4.002603 \mathrm{u}$

$Q$-విలువ $=[226.02540-(222.01750+4.002603)] \mathrm{u} c ^{2}$

$=0.005297 \mathrm{u} c ^{2}$

కానీ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore Q=0.005297 \times 931.5 \approx 4.94 \mathrm{MeV}$

$\alpha$-కణం యొక్క గతిశక్తి $=(\frac{\text { Mass number after decay }}{\text { Mass number before decay }}) \times Q$

$=\frac{222}{226} \times 4.94=4.85 \mathrm{MeV}$

$({ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn})$ యొక్క ఆల్ఫా కణ క్షయం కింది కేంద్రక ప్రతిచర్య ద్వారా చూపబడింది.

${ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn} \longrightarrow{ } _{84} ^{216} \mathrm{Po}+{ } _{2} ^{4} \mathrm{He}$

ఇది ఇలా ఇవ్వబడింది:

$({ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn})=220.01137 \mathrm{u}$ ద్రవ్యరాశి

$({ } ^{24}{ } ^{216} \mathrm{Po})=216.00189 \mathrm{u}$ ద్రవ్యరాశి

$\therefore Q$-విలువ $=[220.01137-(216.00189+4.00260)] \times 931.5$

$\approx 641 \mathrm{MeV}$

$\alpha$-కణం యొక్క గతిశక్తి $=(\frac{220-4}{220}) \times 6.41$

$=6.29 \mathrm{MeV}$

సమాధానం

${ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe}$ యొక్క విచ్ఛిత్తిని ఇలా ఇవ్వవచ్చు:

$$ { } _{13} ^{56} \mathrm{Fe} \longrightarrow 2{ } _{13} ^{28} \mathrm{Al} $$

ఇది ఇలా ఇవ్వబడింది:

$m({ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe})=55.93494 \mathrm{u}$ యొక్క పరమాణు ద్రవ్యరాశి

$m({ } _{13} ^{28} \mathrm{Al})=27.98191 \mathrm{u}$ యొక్క పరమాణు ద్రవ్యరాశి

ఈ కేంద్రక ప్రతిచర్య యొక్క $Q$-విలువ ఇలా ఇవ్వబడింది:

$$ \begin{aligned} Q & =\left[m({ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe})-2 m({ } _{13} ^{28} \mathrm{Al})\right] c ^{2} \ & =[55.93494-2 \times 27.98191] c ^{2} \ & =(-0.02888 c ^{2}) \mathrm{u} \end{aligned} $$

కానీ $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore Q=-0.02888 \times 931.5=-26.902 \mathrm{MeV}$

విచ్ఛిత్తి యొక్క $Q$-విలువ ప్రతికూలంగా ఉంది. అందువల్ల, శక్తి పరంగా విచ్ఛిత్తి సాధ్యం కాదు. శక్తి పరంగా సాధ్యమయ్యే విచ్ఛిత్తి ప్రతిచర్య కోసం, $Q$-విలువ ధనాత్మకంగా ఉండాలి.

సమాధానం

${ } _{94} ^{239} \mathrm{Pu}, E _{a v}=180 \mathrm{MeV}$ యొక్క ప్రతి విచ్ఛిత్తికి సగటున విడుదలయ్యే శక్తి

స్వచ్ఛమైన ${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}, m=1 \mathrm{~kg}=1000 \mathrm{~g}$ పరిమాణం

$\mathrm{N} _{\mathrm{A}}=$ అవోగాడ్రో సంఖ్య $=6.023 \times 10 ^{23}$

${ } _{94} ^{239} \mathrm{Pu}=239 \mathrm{~g}$ యొక్క ద్రవ్యరాశి సంఖ్య

${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ యొక్క 1 మోల్ $\mathrm{N} _{\mathrm{A}}$ పరమాణువులను కలిగి ఉంటుంది.

$\therefore m$ g ${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ $(\frac{\mathrm{N} _{\mathrm{A}}}{\text { Mass number }} \times m)$ పరమాణువులను కలిగి ఉంటుంది

$=\frac{6.023 \times 10 ^{23}}{239} \times 1000=2.52 \times 10 ^{24}$ పరమాణువులు

$\therefore$ $1 \mathrm{~kg}$ యొక్క ${ } _{94} ^{239} \mathrm{Pu}$ విచ్ఛిత్తి సమయంలో విడుదలయ్యే మొత్తం శక్తి ఇలా లెక్కించబడుతుంది:

$$ \begin{aligned} E & =E _{\alpha v} \times 2.52 \times 10 ^{24} \ & =180 \times 2.52 \times 10 ^{24}=4.536 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV} \end{aligned} $$

అందువల్ల, $1 \mathrm{~kg}$ స్వచ్ఛమైన ${ } _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ లోని అన్ని పరమాణువులు విచ్ఛిత్తి చెందితే $4.536 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV}$ విడుదల అవుతుంది.

సమాధానం

ఇచ్చిన సంలీన ప్రతిచర్య:

${ } _{1} ^{2} \mathrm{H}+{ } _{1} ^{2} \mathrm{H} \longrightarrow{ } _{2} ^{3} \mathrm{He}+\mathrm{n}+3.27 \mathrm{MeV}$

డ్యూటీరియం పరిమాణం, $m=2 \mathrm{~kg}$

1 మోల్, అంటే, $2 \mathrm{~g}$ డ్యూటీరియం $6.023 \times 10 ^{23}$ పరమాణువులను కలిగి ఉంటుంది.

$\therefore 2.0 \mathrm{~kg}$ డ్యూటీరియం $=\frac{6.023 \times 10 ^{23}}{2} \times 2000=6.023 \times 10 ^{26}$ పరమాణువులను కలిగి ఉంటుంది

ఇచ్చిన ప్రతిచర్య నుండి ఇది తెలుస్తుంది, రెండు డ్యూటీరియం పరమాణువులు సంలీనం చెందినప్పుడు, 3.27 $\mathrm{MeV}$ శక్తి విడుదల అవుతుంది.

$\therefore$ సంలీన ప్రతిచర్యలో ప్రతి కేంద్రకానికి విడుదలయ్యే మొత్తం శక్తి:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{3.27}{2} \times 6.023 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV} \ & =\frac{3.27}{2} \times 6.023 \times 10 ^{26} \times 1.6 \times 10 ^{-19} \times 10 ^{6} \ & =1.576 \times 10 ^{14} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

విద్యుత్ దీపం యొక్క పవర్, $P=100 \mathrm{~W}=100 \mathrm{~J} / \mathrm{s}$

అందువల్ల, సెకనుకు దీపం వినియోగించే శక్తి $=100 \mathrm{~J}$

విద్యుత్ దీపం ప్రకాశించే మొత్తం సమయం ఇలా లెక్కించబడుతుంది:

$$ \begin{aligned} & \frac{1.576 \times 10 ^{14}}{100} \mathrm{~s} \ & \frac{1.576 \times 10 ^{14}}{100 \times 60 \times 60 \times 24 \times 365} \approx 4.9 \times 10 ^{4} \text { years } \end{aligned} $$

సమాధానం

రెండు డ్యూటీరాన్లు హెడ్-ఆన్ గా ఢీకొన్నప్పుడు, వాటి కేంద్రాల మధ్య దూరం, $d$ ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

$1 ^{\text {st }}$ డ్యూటీరాన్ వ్యాసార్థం + $2 ^{\text {nd }}$ డ్యూటీరాన్ వ్యాసార్థం

డ్యూటీరాన్ కేంద్రకం యొక్క వ్యాసార్థం $=2 \mathrm{fm}=2 \times 10 ^{-15} \mathrm{~m}$

$\therefore d=2 \times 10 ^{-15}+2 \times 10 ^{-15}=4 \times 10 ^{-15} \mathrm{~m}$

డ్యూటీరాన్ కేంద్రకంపై ఆవేశం $=$ ఎలక్ట్రాన్పై ఆవేశం $=e=1.6 \times 10 ^{-19} \mathrm{C}$

రెండు-డ్యూటీరాన్ వ్యవస్థ యొక్క సంభావ్య శక్తి:

$$ V=\frac{e ^{2}}{4 \pi \epsilon _{0} d} $$

ఎక్కడ,

$$ \epsilon _{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$$ \frac{1}{4 \pi \epsilon _{0}}=9 \times 10 ^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m} ^{2} \mathrm{C} ^{-2} $$

$\therefore V=\frac{9 \times 10 ^{9} \times(1.6 \times 10 ^{-19}) ^{2}}{4 \times 10 ^{-15}} \mathrm{~J}$

$$ =\frac{9 \times 10 ^{9} \times(1.6 \times 10 ^{-19}) ^{2}}{4 \times 10 ^{-15} \times(1.6 \times 10 ^{-19})} \mathrm{eV} $$

$$ =360 \mathrm{keV} $$

అందువల్ల, రెండు-డ్యూటీరాన్ వ్యవస్థ యొక్క సంభావ్య అవరోధం ఎత్తు

$360 \mathrm{keV}$.

సమాధానం

కేంద్రక వ్యాసార్థానికి మనకు వ్యక్తీకరణ ఉంది:

$R=R _{0} A ^{1} \beta ^{3}$

ఎక్కడ,

$R _{0}=$ స్థిరాంకం.

$A=$ కేంద్రకం యొక్క ద్రవ్యరాశి సంఖ్య

కేంద్రక పదార్థ సాంద్రత, $\rho=\frac{\text { Mass of the nucleus }}{\text { Volume of the nucleus }}$

$m$ కేంద్రకం యొక్క సగటు ద్రవ్యరాశిగా ఉండనివ్వండి.

అందువల్ల, కేంద్రకం యొక్క ద్రవ్యరాశి $=m A$

$\therefore \rho=\frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R ^{3}}=\frac{3 m A}{4 \pi(R _{0} A ^{\frac{1}{3}}) ^{3}}=\frac{3 m A}{4 \pi R _{0} ^{3} A}=\frac{3 m}{4 \pi R _{0} ^{3}}$

అందువల్ల, కేంద్రక పదార్థ సాంద్రత $A$ నుండి స్వతంత్రంగా ఉంటుంది. ఇది దాదాపు స్థిరంగా ఉంటుంది.