అధ్యాయం 12 పరమాణువులు

సమాధానం

(a) థామ్సన్ మోడల్ మరియు రూథర్ఫోర్డ్ మోడల్లో తీసుకోబడిన పరమాణువుల పరిమాణాలు ఒకే క్రమం యొక్క పరిమాణాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

(b) థామ్సన్ మోడల్ యొక్క ఆది స్థితిలో, ఎలక్ట్రాన్లు స్థిరమైన సమతౌల్యంలో ఉంటాయి. అయితే, రూథర్ఫోర్డ్ మోడల్లో, ఎలక్ట్రాన్లు ఎల్లప్పుడూ నికర బలాన్ని అనుభవిస్తాయి.

(c) రూథర్ఫోర్డ్ మోడల్ ఆధారంగా ఉన్న ఒక శాస్త్రీయ పరమాణువు పతనం చెందడం నిశ్చితం.

(d) ఒక పరమాణువు థామ్సన్ మోడల్లో దాదాపు నిరంతర ద్రవ్యరాశి పంపిణీని కలిగి ఉంటుంది, కానీ రూథర్ఫోర్డ్ మోడల్లో అత్యంత అసమాన ద్రవ్యరాశి పంపిణీని కలిగి ఉంటుంది.

(e) పరమాణువు యొక్క ధనాత్మకంగా చార్జ్ చేయబడిన భాగం రెండు మోడల్లలోనూ ఎక్కువ ద్రవ్యరాశిని కలిగి ఉంటుంది.

సమాధానం

ఆల్ఫా-కణం చెదరగొట్టే ప్రయోగంలో, బంగారు రేకు స్థానంలో ఘన హైడ్రోజన్ యొక్క సన్నని షీట్ ఉపయోగించినట్లయితే, చెదరగొట్టే కోణం తగినంత పెద్దదిగా ఉండదు. ఎందుకంటే హైడ్రోజన్ యొక్క ద్రవ్యరాశి $\left(1.67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)$ సంఘటన $\alpha$-కణాల ద్రవ్యరాశి కంటే తక్కువ ( 6.64 $\left.\times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)$. అందువలన, చెదరగొట్టే కణం యొక్క ద్రవ్యరాశి లక్ష్య కేంద్రకం (హైడ్రోజన్) కంటే ఎక్కువ. ఫలితంగా, $\alpha$-కణాలు $\alpha$-కణం చెదరగొట్టే ప్రయోగంలో ఘన హైడ్రోజన్ ఉపయోగించినట్లయితే వెనక్కి గెంతవు.

సమాధానం

పరమాణువులో రెండు శక్తి స్థాయిల విభజన,

$E=2.3 \mathrm{eV}$

$=2.3 \times 1.6 \times 10^{-19}$

$=3.68 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

పరమాణువు ఎగువ స్థాయి నుండి దిగువ స్థాయికి పరివర్తన చెందినప్పుడు విడుదలయ్యే వికిరణం యొక్క పౌనఃపున్యం $v$ అనుకుందాం.

శక్తికి సంబంధించిన సంబంధం మనకు ఇలా ఉంది:

$$ E=h v $$

ఎక్కడ,

$$ \begin{aligned} & h= \\ & \begin{aligned} \therefore v & =\frac{E}{h} \\ & =\frac{3.68 \times 10^{-19}}{6.62 \times 10^{-32}}=5.55 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} \end{aligned} $$

అందువలన, వికిరణం యొక్క పౌనఃపున్యం $5.6 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$.

సమాధానం

హైడ్రోజన్ పరమాణువు యొక్క ఆది స్థితి శక్తి, $E=-13.6 \mathrm{eV}$

ఇది హైడ్రోజన్ పరమాణువు యొక్క మొత్తం శక్తి. గతిశక్తి మొత్తం శక్తి యొక్క ఋణాత్మక విలువకు సమానం.

గతిశక్తి $=-E=-(-13.6)=13.6 \mathrm{eV}$

స్థితిశక్తి గతిశక్తి రెట్టింపు యొక్క ఋణాత్మక విలువకు సమానం.

స్థితిశక్తి $=-2 \times(13.6)=-27.2 \mathrm{eV}$

సమాధానం

ఆది స్థాయికి, $n_{1}=1$

ఈ స్థాయి యొక్క శక్తి $E_{1}$ అనుకుందాం. $E_{1}$ $n_{1}$ తో ఈ విధంగా సంబంధం కలిగి ఉందని తెలుసు:

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{-13.6}{n_{1}^{2}} \mathrm{eV} \\ & =\frac{-13.6}{1^{2}}=-13.6 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

పరమాణువు ఎక్కువ స్థాయికి, $n_{2}=4$, ఉత్తేజితం చేయబడింది.

ఈ స్థాయి యొక్క శక్తి $E_{2}$ అనుకుందాం.

$$ \begin{aligned} \therefore E_{2} & =\frac{-13.6}{n_{2}^{2}} \mathrm{eV} \\ & =\frac{-13.6}{4^{2}}=-\frac{13.6}{16} \mathrm{eV} \end{aligned} $$

ఫోటాన్ ద్వారా గ్రహించబడిన శక్తి మొత్తం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$$ \begin{aligned} E & =E_{2}-E_{1} \\ & =\frac{-13.6}{16}-\left(-\frac{13.6}{1}\right) \\ & =\frac{13.6 \times 15}{16} \mathrm{eV} \\ & =\frac{13.6 \times 15}{16} \times 1.6 \times 10^{-19}=2.04 \times 10^{-18} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

తరంగదైర్ఘ్యం $\lambda$ ఉన్న ఫోటాన్ కోసం, శక్తి యొక్క వ్యక్తీకరణ ఇలా వ్రాయబడింది:

$$ E=\frac{h c}{\lambda} $$

ఎక్కడ,

$$ \begin{aligned} & h=\text { Planck’s constant }=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & c=\text { Speed of light }=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\ & \therefore \lambda=\frac{h c}{E} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{2.04 \times 10^{-18}} \\ & =9.7 \times 10^{-8} \mathrm{~m}=97 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

మరియు, ఫోటాన్ యొక్క పౌనఃపున్యం ఈ సంబంధం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది,

$$ \begin{aligned} v & =\frac{c}{\lambda} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{9.7 \times 10^{-8}} \approx 3.1 \times 10^{15} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

అందువలన, ఫోటాన్ యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం $97 \mathrm{~nm}$ అయితే పౌనఃపున్యం $3.1 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$.

సమాధానం

హైడ్రోజన్ పరమాణువులో ఆది స్థితి స్థాయిలో ఎలక్ట్రాన్ యొక్క కక్ష్యా వేగం $v_{1}$ అనుకుందాం, $n_{1}$ $=1$. ఎలక్ట్రాన్ యొక్క ఆవేశం ( $e$ ) కోసం, $v_{1}$ ఈ సంబంధం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

$$ v_{1}=\frac{e^{2}}{n_{1} 4 \pi \epsilon_{0}(h / 2 \pi)}=\frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h} $$

ఎక్కడ,

$$ \begin{aligned} & e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} \\ & \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space }=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{C}^{2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & h=\text { Planck’s constant }=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & \begin{aligned} \therefore v_{1} & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =0.0218 \times 10^{8}=2.18 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} \end{aligned} $$

స్థాయి $n_{2}=2$ కోసం, సంబంధిత కక్ష్యా వేగానికి సంబంధించిన సంబంధాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

$$ \begin{aligned} v_{2} & =\frac{e^{2}}{n_{2} 2 \epsilon_{0} h} \\ & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{2 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =1.09 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

మరియు, $n_{3}=3$ కోసం, సంబంధిత కక్ష్యా వేగానికి సంబంధించిన సంబంధాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

$$ \begin{aligned} v_{3} & =\frac{e^{2}}{n_{3} 2 \epsilon_{0} h} \\ & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{3 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =7.27 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

అందువలన, హైడ్రోజన్ పరమాణువులో ఎలక్ట్రాన్ యొక్క వేగం $n=1, \mathrm{n}=2$, మరియు $\mathrm{n}=3$ లలో వరుసగా $2.18 \times 10^{6}$ $\mathrm{m} / \mathrm{s}, 1.09 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, 7.27 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$.

స్థాయి $n_{1}=1$ లో ఉన్నప్పుడు ఎలక్ట్రాన్ యొక్క కక్ష్యా కాలం $T_{1}$ అనుకుందాం.

కక్ష్యా కాలం కక్ష్యా వేగంతో ఈ విధంగా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది:

$T_{1}=\frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}}$

ఎక్కడ,

$r_{1}=$ కక్ష్య యొక్క వ్యాసార్థం

$=\frac{n_{1}^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$

$h=$ ప్లాంక్ స్థిరాంకం $=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$e=$ ఎలక్ట్రాన్పై ఆవేశం $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$\epsilon_{0}=$ ఉచిత స్థలం యొక్క పారగమ్యత $=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{C}^{2} \mathrm{~m}^{-2}$

$m=$ ఎలక్ట్రాన్ యొక్క ద్రవ్యరాశి $=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

$$ \begin{aligned} \therefore T_{1} & =\frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}} \\ & =\frac{2 \pi \times(1)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{2.18 \times 10^{6} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & =15.27 \times 10^{-17}=1.527 \times 10^{-16} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

స్థాయి $n_{2}=2$ కోసం, మనం కాలాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

$T_{2}=\frac{2 \pi r_{2}}{v_{2}}$

ఎక్కడ,

$r_{2}=$ $n_{2}=2$ లో ఎలక్ట్రాన్ యొక్క వ్యాసార్థం

$$ \begin{aligned} & =\frac{\left(n_{2}\right)^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} \\ & \therefore T_{2}=\frac{2 \pi r_{2}}{v_{2}} \\ & \quad=\frac{2 \pi \times(2)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{1.09 \times 10^{6} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & \quad=1.22 \times 10^{-15} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

మరియు, స్థాయి $n_{3}=3$ కోసం, మనం కాలాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

$$ T_{3}=\frac{2 \pi r_{3}}{v_{3}} $$

ఎక్కడ,

$r_{3}=$ $n_{3}=3$ లో ఎలక్ట్రాన్ యొక్క వ్యాసార్థం

$$ =\frac{\left(n_{3}\right)^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} $$

$$ \begin{aligned} \therefore T_{3} & =\frac{2 \pi r_{3}}{v_{3}} \\ & =\frac{2 \pi \times(3)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{7.27 \times 10^{5} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & =4.12 \times 10^{-15} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

అందువలన, ఈ ప్రతి స్థాయిలలో కక్ష్యా కాలం వరుసగా $1.52 \times 10^{-16} \mathrm{~s}, 1.22 \times 10^{-15} \mathrm{~s}$, మరియు 4.12 $\times 10^{-15}$ s.

సమాధానం

హైడ్రోజన్ పరమాణువు యొక్క అంతర్గత కక్ష్య యొక్క వ్యాసార్థం, $r_{1}=5.3 \times 10^{-11} \mathrm{~m}$.

స్థాయి $n=2$ వద్ద ఉన్న కక్ష్య యొక్క వ్యాసార్థం $r_{2}$ అనుకుందాం. ఇది అంతర్గత కక్ష్య యొక్క వ్యాసార్థంతో ఈ విధంగా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది:

$$ \begin{aligned} r_{2} & =(n)^{2} r_{1} \\ & =4 \times 5.3 \times 10^{-11}=2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

$n=3$ కోసం, సంబంధిత ఎలక్ట్రాన్ వ్యాసార్థాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

$$ \begin{aligned} r_{3} & =(n)^{2} r_{1} \\ & =9 \times 5.3 \times 10^{-11}=4.77 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

అందువలన, $n=2$ మరియు $n=3$ కక్ష్యల కోసం ఎలక్ట్రాన్ యొక్క వ్యాసార్థాలు వరుసగా $2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$ మరియు $4.77 \times$ $10^{-10} \mathrm{~m}$.

సమాధానం

గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద వాయురూప హైడ్రోజన్పై బాంబు దాడి చేయడానికి ఉపయోగించే ఎలక్ట్రాన్ పుంజం యొక్క శక్తి $12.5 \mathrm{eV}$ అని ఇవ్వబడింది. అలాగే, గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద దాని ఆది స్థితిలో ఉన్న వాయురూప హైడ్రోజన్ యొక్క శక్తి $-13.6 \mathrm{eV}$.

వాయురూప హైడ్రోజన్పై ఎలక్ట్రాన్ పుంజంతో బాంబు దాడి చేసినప్పుడు, వాయురూప హైడ్రోజన్ యొక్క శక్తి $-13.6+12.5 \mathrm{eV}$ అవుతుంది అంటే, $-1.1 \mathrm{eV}$.

కక్ష్యా శక్తి కక్ష్యా స్థాయి ( $n$ ) తో ఈ విధంగా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది:

$E=\frac{-13.6}{(n)^{2}} \mathrm{eV}$

$n=3, \quad E=\frac{-13.6}{9}=-1.5 \mathrm{eV}$ కోసం

ఈ శక్తి వాయురూప హైడ్రోజన్ శక్తికి దాదాపు సమానం. ఎలక్ట్రాన్ $n=1$ నుండి $n=3$ స్థాయికి దూకిందని తేల్చవచ్చు.

దాని ఉత్తేజనశీలత నుండి బయటపడే సమయంలో, ఎలక్ట్రాన్లు నేరుగా $n=3$ నుండి $n=1$ కు దూకవచ్చు, ఇది హైడ్రోజన్ స్పెక్ట్రమ్ యొక్క లైమన్ శ్రేణి యొక్క రేఖను ఏర్పరుస్తుంది.

లైమన్ శ్రేణి కోసం తరంగ సంఖ్యకు మనకు ఈ సంబంధం ఉంది:

$\frac{1}{\lambda}=R_{y}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)$

ఎక్కడ,

$R_{\mathrm{y}}=$ రీడ్బర్గ్ స్థిరాంకం $=1.097 \times 10^{7} \mathrm{~m}^{-1}$

$\lambda=$ ఎలక్ట్రాన్ పరివర్తన ద్వారా విడుదల చేయబడిన వికిరణం యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం

$n=3$ కోసం, మనం $\lambda$ ని ఈ విధంగా పొందవచ్చు:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(1-\frac{1}{9}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{8}{9} \\ \lambda & =\frac{9}{8 \times 1.097 \times 10^{7}}=102.55 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

ఎలక్ట్రాన్ $n=2$ నుండి $n=1$ కు దూకినట్లయితే, వికిరణం యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(1-\frac{1}{4}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{3}{4} \\ \lambda & =\frac{4}{1.097 \times 10^{7} \times 3}=121.54 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

పరివర్తన $n=3$ నుండి $n=2$ కు జరిగినట్లయితే, వికిరణం యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{5}{36} \\ \lambda & =\frac{36}{5 \times 1.097 \times 10^{7}}=656.33 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

ఈ వికిరణం హైడ్రోజన్ స్పెక్ట్రమ్ యొక్క బామర్ శ్రేణికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

అందువలన, లైమన్ శ్రేణిలో, రెండు తరంగదైర్ఘ్యాలు అంటే, $102.5 \mathrm{~nm}$ మరియు $121.5 \mathrm{~nm}$ విడుదల చేయబడతాయి. మరియు బామర్ శ్రేణిలో, ఒక తరంగదైర్ఘ్యం అంటే, $656.33 \mathrm{~nm}$ విడుదల చేయబడుతుంది.

సమాధానం

సూర్యుని చుట్టూ భూమి యొక్క కక్ష్య వ్యాసార్థం, $r=1.5 \times 10^{11} \mathrm{~m}$

భూమి యొక్క కక్ష్యా వేగం, $v=3 \times 10^{4} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

భూమి యొక్క ద్రవ్యరాశి, $m=6.0 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$

బోర్ మోడల్ ప్రకారం, కోణీయ ద్రవ్యవేగం క్వాంటీకరించబడి ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

$$ m v r=\frac{n h}{2 \pi} $$

ఎక్కడ,

$h=$ ప్లాంక్ స్థిరాంకం $=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$n=$ క్వాంటం సంఖ్య

$$ \begin{aligned} \therefore n & =\frac{m v r 2 \pi}{h} \\ & =\frac{2 \pi \times 6 \times 10^{24} \times 3 \times 10^{4} \times 1.5 \times 10^{11}}{6.62 \times 10^{-34}} \\ & =25.61 \times 10^{73}=2.6 \times 10^{74} \end{aligned} $$

అందువలన, భూమి యొక్క పరిభ్రమణను వర్గీకరించే క్వాంటా సంఖ్య $2.6 \times 10^{74}$.