అధ్యాయం 11 వికిరణం మరియు పదార్థం యొక్క ద్వంద్వ స్వభావం

సమాధానం

ఎలక్ట్రాన్ల పొటెన్షియల్, $V=30 \mathrm{kV}=3 \times 10^{4} \mathrm{~V}$

అందువల్ల, ఎలక్ట్రాన్ల శక్తి, $E=3 \times 10^{4} \mathrm{eV}$

ఎక్కడ,

$e=$ ఎలక్ట్రాన్పై ఆవేశం $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

(a) $\mathrm{X}$-కిరణాల ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన గరిష్ట పౌనఃపున్యం $=v$

ఎలక్ట్రాన్ల శక్తి క్రింది సంబంధం ద్వారా ఇవ్వబడింది:

$E=h v$

ఎక్కడ,

$h=$ ప్లాంక్ స్థిరాంకం $=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$\therefore v=\frac{E}{h}$

$$ =\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^{4}}{6.626 \times 10^{-34}}=7.24 \times 10^{18} \mathrm{~Hz} $$

అందువల్ల, ఉత్పత్తి చేయబడిన X-కిరణాల గరిష్ట పౌనఃపున్యం $7.24 \times 10^{18} \mathrm{~Hz}$.

(b) X-కిరణాల ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన కనిష్ట తరంగదైర్ఘ్యం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{7.24 \times 10^{18}}=4.14 \times 10^{-11} \mathrm{~m}=0.0414 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

అందువల్ల, ఉత్పత్తి చేయబడిన X-కిరణాల కనిష్ట తరంగదైర్ఘ్యం $0.0414 \mathrm{~nm}$.

సమాధానం

సీసియం లోహం యొక్క పని ప్రమేయం, $\phi_{0}=2.14 \mathrm{eV}$

కాంతి యొక్క పౌనఃపున్యం, $v=6.0 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

(a) గరిష్ట గతిశక్తి ఫోటోఎలెక్ట్రిక్ ప్రభావం ద్వారా ఇలా ఇవ్వబడింది:

$$ K=h v-\phi_{0} $$

ఎక్కడ,

$$ \begin{aligned} & h=\text { Planck’s constant }=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & \therefore K=\frac{6.626 \times 10^{34} \times 6 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{-19}}-2.14 \\ & \quad=2.485-2.140=0.345 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

అందువల్ల, ఉద్గారమైన ఎలక్ట్రాన్ల గరిష్ట గతిశక్తి $0.345 \mathrm{eV}$.

(b) ఆపే పొటెన్షియల్ $V_{0}$ కోసం, మనం గతిశక్తి కోసం సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

$$ \begin{aligned} & K=e V_{0} \\ & \therefore V_{0}=\frac{K}{e} \\ & \quad=\frac{0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}=0.345 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

అందువల్ల, పదార్థం యొక్క ఆపే పొటెన్షియల్ $0.345 \mathrm{~V}$.

(c) ఉద్గారమైన ఫోటోఎలక్ట్రాన్ల గరిష్ట వేగం $=v$

అందువల్ల, గతిశక్తి కోసం సంబంధాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

$$ K=\frac{1}{2} m v^{2} $$

ఎక్కడ,

$$ \begin{aligned} m & =\text { Mass of an electron }=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \\ v^{2} & =\frac{2 K}{m} \\ & =\frac{2 \times 0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}=0.1104 \times 10^{12} \\ \therefore v & =3.323 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=332.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

అందువల్ల, ఉద్గారమైన ఫోటోఎలక్ట్రాన్ల గరిష్ట వేగం $332.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$.

సమాధానం

ఫోటోఎలెక్ట్రిక్ కటాఫ్ వోల్టేజ్, $V_{0}=1.5 \mathrm{~V}$

ఉద్గారమైన ఫోటోఎలక్ట్రాన్ల గరిష్ట గతిశక్తి ఇలా ఇవ్వబడింది:

$$ K_{e}=e V_{0} $$

ఎక్కడ,

$e=$ ఎలక్ట్రాన్పై ఆవేశం $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$$ \begin{aligned} \therefore K_{e} & =1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 \\ & =2.4 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

అందువల్ల, ఇచ్చిన ప్రయోగంలో ఉద్గారమైన ఫోటోఎలక్ట్రాన్ల గరిష్ట గతిశక్తి $2.4 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$.

సమాధానం

ఏకవర్ణ కాంతి యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం, $\lambda=632.8 \mathrm{~nm}=632.8 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

లేజర్ ద్వారా ఉద్గారించబడిన శక్తి, $P=9.42 \mathrm{~mW}=9.42 \times 10^{-3} \mathrm{~W}$

ప్లాంక్ స్థిరాంకం, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

కాంతి వేగం, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

హైడ్రోజన్ అణువు యొక్క ద్రవ్యరాశి, $m=1.66 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$

(a) ప్రతి ఫోటాన్ యొక్క శక్తి ఇలా ఇవ్వబడింది:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{h c}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{632.8 \times 10^{-9}}=3.141 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ప్రతి ఫోటాన్ యొక్క ద్రవ్యవేగం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$$ \begin{aligned} P & =\frac{h}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34}}{632.8}=1.047 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

(b) పుంజం ద్వారా వికిరణం చేయబడిన లక్ష్యంపై సెకనుకు చేరే ఫోటాన్ల సంఖ్య $=n$

పుంజం లక్ష్యం ప్రాంతం కంటే తక్కువ ఉండే ఏకరీతి క్రాస్-సెక్షన్ను కలిగి ఉందని భావించండి.

అందువల్ల, శక్తి కోసం సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

$$ \begin{aligned} P & =n E \\ \therefore n & =\frac{P}{E} \\ & =\frac{9.42 \times 10^{-3}}{3.141 \times 10^{-19}} \approx 3 \times 10^{16} \text { photon } / \mathrm{s} \end{aligned} $$

(c) హైడ్రోజన్ అణువు యొక్క ద్రవ్యవేగం ఫోటాన్ యొక్క ద్రవ్యవేగం వలె అదే, $p=1.047 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

ద్రవ్యవేగం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$p=m v$

ఎక్కడ,

$v=$ హైడ్రోజన్ అణువు యొక్క వేగం

$$ \begin{aligned} \therefore v & =\frac{p}{m} \\ & =\frac{1.047 \times 10^{-27}}{1.66 \times 10^{-27}}=0.621 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

సమాధానం

కటాఫ్ వోల్టేజ్ $(V)$ మరియు పతన కాంతి పౌనఃపున్యం $(v)$ గ్రాఫ్ యొక్క వాలు ఇలా ఇవ్వబడింది:

$\frac{V}{v}=4.12 \times 10^{-15} \mathrm{Vs}$

$V$ పౌనఃపున్యంతో సమీకరణం ద్వారా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది:

$h v=e V$

ఎక్కడ,

$e=$ ఎలక్ట్రాన్పై ఆవేశం $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$h=$ ప్లాంక్ స్థిరాంకం

$\therefore h=e \times \frac{V}{v}$

$=1.6 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15}=6.592 \times 10^{-34} \mathrm{JS}$

అందువల్ల, ప్లాంక్ స్థిరాంకం విలువ $6.592 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$.

సమాధానం

లోహం యొక్క థ్రెషోల్డ్ పౌనఃపున్యం, $v_{0}=3.3 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

లోహంపై పతనమయ్యే కాంతి యొక్క పౌనఃపున్యం, $v=8.2 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

ఎలక్ట్రాన్పై ఆవేశం, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

ప్లాంక్ స్థిరాంకం, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

లోహం నుండి ఫోటోఎలెక్ట్రిక్ ఉద్గారం కోసం కటాఫ్ వోల్టేజ్ $=V_{0}$

కటాఫ్ శక్తి కోసం సమీకరణం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$$ \begin{aligned} e V_{0} & =h\left(v-v_{0}\right) \\ V_{0} & =\frac{h\left(v-v_{0}\right)}{e} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times\left(8.2 \times 10^{14}-3.3 \times 10^{14}\right)}{1.6 \times 10^{-19}}=2.0292 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

అందువల్ల, ఫోటోఎలెక్ట్రిక్ ఉద్గారం కోసం కటాఫ్ వోల్టేజ్ $2.0292 \mathrm{~V}$.

సమాధానం

లోహం యొక్క పని ప్రమేయం, $\phi_{0}=4.2 \mathrm{eV}$

ఎలక్ట్రాన్పై ఆవేశం, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

ప్లాంక్ స్థిరాంకం, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

పతన వికిరణం యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం, $\lambda=330 \mathrm{~nm}=330 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

కాంతి వేగం, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

పతన ఫోటాన్ యొక్క శక్తి ఇలా ఇవ్వబడింది:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{h c}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{330 \times 10^{-9}}=6.0 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & =\frac{6.0 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}=3.76 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

పతన వికిరణం యొక్క శక్తి లోహం యొక్క పని ప్రమేయం కంటే తక్కువగా ఉందని గమనించవచ్చు. అందువల్ల, ఫోటోఎలెక్ట్రిక్ ఉద్గారం జరగదు.

సమాధానం

పతన ఫోటాన్ యొక్క పౌనఃపున్యం, $v=488 \mathrm{~nm}=488 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

ఎలక్ట్రాన్ల గరిష్ట వేగం, $v=6.0 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ప్లాంక్ స్థిరాంకం, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ఎలక్ట్రాన్ యొక్క ద్రవ్యరాశి, $m=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

థ్రెషోల్డ్ పౌనఃపున్యం $v_{0}$ కోసం, గతిశక్తి కోసం సంబంధం ఇలా వ్రాయబడింది:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v^{2}=h\left(v-v_{0}\right) \\ & v_{0}=v-\frac{m v^{2}}{2 h} \\ & \quad=7.21 \times 10^{14}-\frac{\left(9.1 \times 10^{-31}\right) \times\left(6 \times 10^{5}\right)^{2}}{2 \times\left(6.626 \times 10^{-34}\right)} \\ & \quad=7.21 \times 10^{14}-2.472 \times 10^{14} \\ & \quad=4.738 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

అందువల్ల, ఎలక్ట్రాన్ల ఫోటో ఉద్గారం కోసం థ్రెషోల్డ్ పౌనఃపున్యం $4.738 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$.

సమాధానం

ఆర్గాన్ లేజర్ ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన కాంతి యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం, $\lambda=488 \mathrm{~nm}$ $=488 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

ఫోటోఎలక్ట్రాన్ల ఆపే పొటెన్షియల్, $V_{0}=0.38 \mathrm{~V}$

$$ \begin{aligned} & 1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & \therefore V_{0}=\frac{0.38}{1.6 \times 10^{-19}} \mathrm{eV} \end{aligned} $$

ప్లాంక్ స్థిరాంకం, $h=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ఎలక్ట్రాన్పై ఆవేశం, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

కాంతి వేగం, $c=3 \times 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ఐన్స్టీన్ యొక్క ఫోటోఎలెక్ట్రిక్ ప్రభావం నుండి, ఎమిటర్ పదార్థం యొక్క పని ప్రమేయం $\Phi_{0}$ని కలిగి ఉన్న సంబంధం మనకు ఉంది:

$$ \begin{aligned} & e V_{0}=\frac{h c}{\lambda}-\phi_{0} \\ & \phi_{0}=\frac{h c}{\lambda}-e V_{0} \\ & \quad=\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{1.6 \times 10^{-19} \times 488 \times 10^{-9}}-\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 0.38}{1.6 \times 10^{-19}} \\ & \quad=2.54-0.38=2.16 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

అందువల్ల, ఎమిటర్ తయారు చేయబడిన పదార్థం యొక్క పని ప్రమేయం $2.16 \mathrm{eV}$.

సమాధానం

(a)బుల్లెట్ యొక్క ద్రవ్యరాశి, $m=0.040 \mathrm{~kg}$

బుల్లెట్ యొక్క వేగం, $v=1.0 \mathrm{~km} / \mathrm{s}=1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ప్లాంక్ స్థిరాంకం, $h=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

బుల్లెట్ యొక్క ది బ్రోగ్లీ తరంగదైర్ఘ్యం క్రింది సంబంధం ద్వారా ఇవ్వబడింది:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.040 \times 1000}=1.65 \times 10^{-35} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

బంతి యొక్క ద్రవ్యరాశి, $m=0.060 \mathrm{~kg}$

బంతి యొక్క వేగం, $v=1.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

బంతి యొక్క ది బ్రోగ్లీ తరంగదైర్ఘ్యం క్రింది సంబంధం ద్వారా ఇవ్వబడింది:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.060 \times 1}=1.1 \times 10^{-32} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

(c)దుమ్ము కణం యొక్క ద్రవ్యరాశి, $m=1 \times 10^{-9} \mathrm{~kg}$

దుమ్ము కణం యొక్క వేగం, $v=2.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

దుమ్ము కణం యొక్క ది బ్రోగ్లీ తరంగదైర్ఘ్యం క్రింది సంబంధం ద్వారా ఇవ్వబడింది:

$$ \lambda=\frac{h}{m v} $$

$=\frac{6.6 \times 10^{-34}}{2.2 \times 1 \times 10^{-9}}=3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~m}$

సమాధానం

$(h v)$ శక్తి కలిగిన ఫోటాన్ యొక్క ద్రవ్యవేగం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$$ \begin{align*} & p=\frac{h v}{c}=\frac{h}{\lambda} \\ & \lambda=\frac{h}{p} \tag{i} \end{align*} $$

ఎక్కడ,

$\lambda=$ విద్యుదయస్కాంత వికిరణం యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం

$c=$ కాంతి వేగం

$h=$ ప్లాంక్ స్థిరాంకం

ఫోటాన్ యొక్క ది బ్రోగ్లీ తరంగదైర్ఘ్యం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$\lambda=\frac{h}{m v}$

కానీ $p=m v$

$\therefore \lambda=\frac{h}{p}$

ఎక్కడ,

$m=$ ఫోటాన్ యొక్క ద్రవ్యరాశి

$v=$ ఫోటాన్ యొక్క వేగం

అందువల్ల, సమీకరణాలు (i) మరియు (ii) నుండి విద్యుదయస్కాంత వికిరణం యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం ఫోటాన్ యొక్క ది బ్రోగ్లీ తరంగదైర్ఘ్యానికి సమానం అని నిర్ధారించవచ్చు.