అధ్యాయం 2 స్థిరవిద్యుత్ పొటెన్షియల్ మరియు కెపాసిటెన్స్

సమాధానం

రెండు ఆవేశాలు ఉన్నాయి,

$q_{1}=5 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

$q_{2}=-3 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

రెండు ఆవేశాల మధ్య దూరం, $d=16 \mathrm{~cm}=0.16 \mathrm{~m}$

రెండు ఆవేశాలను కలిపే రేఖపై ఒక బిందువు $\mathrm{P}$ ను పరిగణించండి, ఇచ్చిన చిత్రంలో చూపినట్లు.

$r=$ బిందువు $\mathrm{P}$ నుండి ఆవేశం $q_{1}$ కి దూరం

బిందువు $(V)$ వద్ద స్థిరవిద్యుత్ పొటెన్షియల్ $\mathrm{P}$ సున్నా అనుకుందాం.

బిందువు $\mathrm{P}$ వద్ద పొటెన్షియల్ అనేది ఆవేశాలు $q_{1}$ మరియు $q_{2}$ ల వలన కలిగే పొటెన్షియల్ ల మొత్తం.

$\therefore V=\frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)}$

ఇక్కడ,

$\in_{0}=$ శూన్యం యొక్క పారగమ్యత

$V=0$ కోసం, సమీకరణం (i) తగ్గుతుంది

$$ \begin{aligned} & \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)} \\ & \frac{q_{1}}{r}=\frac{-q_{2}}{d-r} \\ & \frac{5 \times 10^{-8}}{r}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(0.16-r)} \\ & \frac{0.16}{r}-1=\frac{3}{5} \\ & \frac{0.16}{r}=\frac{8}{5} \\ & \therefore r=0.1 \mathrm{~m}=10 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

కాబట్టి, ఆవేశాల మధ్య ధనావేశం నుండి $10 \mathrm{~cm}$ దూరంలో పొటెన్షియల్ సున్నా అవుతుంది.

బిందువు $\mathrm{P}$ రెండు ఆవేశాల వ్యవస్థకు బయట, ఋణావేశం నుండి $s$ దూరంలో ఉందని అనుకుందాం, ఇక్కడ పొటెన్షియల్ సున్నా, కింది చిత్రంలో చూపినట్లు.

ఈ అమరిక కోసం, పొటెన్షియల్ ఇవ్వబడింది,

$$ \begin{equation*} V=\frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0} s}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} \tag{ii} \end{equation*} $$

$V=0$ కోసం, సమీకరణం (ii) తగ్గుతుంది

$$ \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} s}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} $$

$\frac{q_{1}}{s}=\frac{-q_{2}}{s-d}$

$\frac{5 \times 10^{-8}}{s}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(s-0.16)}$

$1-\frac{0.16}{s}=\frac{3}{5}$

$\frac{0.16}{s}=\frac{2}{5}$

$\therefore s=0.4 \mathrm{~m}=40 \mathrm{~cm}$

కాబట్టి, ఆవేశాల వ్యవస్థకు బయట ధనావేశం నుండి $40 \mathrm{~cm}$ దూరంలో పొటెన్షియల్ సున్నా అవుతుంది.

సమాధానం

ఇచ్చిన చిత్రం ఆరు సమాన పరిమాణం ఆవేశాలు, $q$, ను ఒక సమషడ్భుజి యొక్క శీర్షాల వద్ద చూపుతుంది.

ఇక్కడ,

ఆవేశం, $q=5 \mu \mathrm{C}=5 \times 10^{-6} \mathrm{C}$

షడ్భుజి భుజం, $l=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FA}=10 \mathrm{~cm}$

ప్రతి శీర్షం నుండి కేంద్రం $\mathrm{O}, d=10 \mathrm{~cm}$ కి దూరం

బిందువు $\mathrm{O}$ వద్ద స్థిరవిద్యుత్ పొటెన్షియల్,

$$ V=\frac{6 \times q}{4 \pi \epsilon_{0} d} $$

ఇక్కడ,

$$ \in_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & \therefore V=\frac{6 \times 9 \times 10^{9} \times 5 \times 10^{-6}}{0.1} \\ & \quad=2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V} \end{aligned} $$

కాబట్టి, షడ్భుజి కేంద్రం వద్ద పొటెన్షియల్ $2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V}$.

సమాధానం

పరిస్థితి ఇచ్చిన చిత్రంలో చూపబడింది.

సమపొటెన్షియల్ తలం అనేది మొత్తం పొటెన్షియల్ ప్రతిచోటా సున్నా ఉండే తలం. ఈ తలం రేఖ $\mathrm{AB}$ కు లంబంగా ఉంటుంది. ఆవేశాల పరిమాణం సమానం కాబట్టి ఈ తలం రేఖ $\mathrm{AB}$ యొక్క మధ్య బిందువు వద్ద ఉంటుంది.

ఈ తలంపై ప్రతి బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రం యొక్క దిశ $\mathrm{AB}$ దిశలో తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.

సమాధానం

గోళాకార వాహకం యొక్క వ్యాసార్థం, $r=12 \mathrm{~cm}=0.12 \mathrm{~m}$

ఆవేశం వాహకం మీద సమానంగా పంపిణీ చేయబడింది, $q=1.6 \times 10^{-7} \mathrm{C}$

గోళాకార వాహకం లోపల విద్యుత్ క్షేత్రం సున్నా. ఎందుకంటే వాహకం లోపల క్షేత్రం ఉంటే, ఆవేశాలు దానిని తటస్థీకరించడానికి కదులుతాయి.

వాహకం వెలుపలికి దగ్గరగా ఉండే విద్యుత్ క్షేత్రం $E$ కింది సంబంధం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది,

$$ E=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} $$

ఇక్కడ,

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{C}^{-2}$

$\therefore E=\frac{1.6 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^{-9}}{(0.12)^{2}}$

$=10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$

కాబట్టి, గోళం వెలుపలికి దగ్గరగా ఉండే విద్యుత్ క్షేత్రం $10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$.

గోళం కేంద్రం నుండి $18 \mathrm{~m}$ దూరంలో ఉన్న బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రం $=E_{1}$

కేంద్రం నుండి బిందువు దూరం, $d=18 \mathrm{~cm}=0.18 \mathrm{~m}$

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{q}{4 \pi \in_{0} d^{2}} \\ & =\frac{9 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-7}}{\left(18 \times 10^{-2}\right)^{2}} \\ & =4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C} \end{aligned} $$

కాబట్టి, గోళం కేంద్రం నుండి $18 \mathrm{~cm}$ దూరంలో ఉన్న బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రం

$4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

కెపాసిటర్ యొక్క సమాంతర ప్లేట్ల మధ్య కెపాసిటెన్స్, $\mathrm{C}=8 \mathrm{pF}$

ప్రారంభంలో, సమాంతర ప్లేట్ల మధ్య దూరం $d$ మరియు అది గాలితో నిండి ఉంది. గాలి యొక్క డైఎలెక్ట్రిక్ స్థిరాంకం, $k=1$

కెపాసిటెన్స్, $C$, సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది,

$$ \begin{align*} C & =\frac{k \in_{0} A}{d} \\ & =\frac{\in_{0} A}{d} \tag{i} \end{align*} $$

ఇక్కడ,

$A=$ ప్రతి ప్లేట్ యొక్క వైశాల్యం

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

ప్లేట్ల మధ్య దూరం సగం కు తగ్గించబడితే, కొత్త దూరం, $d=\frac{d}{2}$

ప్లేట్ల మధ్య నింపబడిన పదార్థం యొక్క డైఎలెక్ట్రిక్ స్థిరాంకం, $k^{\prime}=6$

అందువల్ల, కెపాసిటర్ యొక్క కెపాసిటెన్స్ అవుతుంది

$$ \begin{equation*} C^{\prime}=\frac{k^{\prime} \in_{0} A}{d^{\prime}}=\frac{6 \in_{0} A}{\frac{d}{2}} \tag{ii} \end{equation*} $$

సమీకరణాలు (i) మరియు (ii) ల నిష్పత్తులు తీసుకుంటే, మనకు లభిస్తుంది

$$ \begin{aligned} C^{\prime} & =2 \times 6 C \\ & =12 C \\ & =12 \times 8=96 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

కాబట్టి, ప్లేట్ల మధ్య కెపాసిటెన్స్ $96 \mathrm{pF}$.

సమాధానం

మూడు కెపాసిటర్లలో ప్రతి ఒక్కటి యొక్క కెపాసిటెన్స్, $C=9 \mathrm{pF}$

కెపాసిటర్ల కలయిక యొక్క సమాన కెపాసిటెన్స్ $\left(C^{\prime}\right)$ కింది సంబంధం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది,

$$ \begin{aligned} \frac{1}{C^{\prime}} & =\frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & =\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \end{aligned} $$

$\therefore C^{\prime}=3 \mu \mathrm{F}$

కాబట్టి, కలయిక యొక్క మొత్తం కెపాసిటెన్స్ $3 \mu \mathrm{F}$.

సరఫరా వోల్టేజ్, $V=100 \mathrm{~V}$

ప్రతి కెపాసిటర్ మీద పొటెన్షియల్ తేడా $\left(V^{\prime}\right)$ సరఫరా వోల్టేజ్ లో మూడింట ఒక వంతుకు సమానం.

$$ \therefore V^{\prime}=\frac{V}{3}=\frac{120}{3}=40 \mathrm{~V} $$

కాబట్టి, ప్రతి కెపాసిటర్ మీద పొటెన్షియల్ తేడా $40 \mathrm{~V}$.

సమాధానం

ఇచ్చిన కెపాసిటర్ల కెపాసిటెన్స్ లు

$$ \begin{aligned} & C_{1}=2 \mathrm{pF} \\ & C_{2}=3 \mathrm{pF} \\ & C_{3}=4 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

కెపాసిటర్ల సమాంతర కలయిక కోసం, సమాన కెపాసిటర్ $C^{\prime}$ బీజగణిత మొత్తం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది,

$$ C^{\prime}=2+3+4=9 \mathrm{pF} $$

కాబట్టి, కలయిక యొక్క మొత్తం కెపాసిటెన్స్ $9 \mathrm{pF}$.

సరఫరా వోల్టేజ్, $V=100 \mathrm{~V}$

మూడు కెపాసిటర్ల ద్వారా వోల్టేజ్ ఒకే విధంగా ఉంటుంది $=V=100 \mathrm{~V}$

కెపాసిటెన్స్ $C$ మరియు పొటెన్షియల్ తేడా $V$ గల కెపాసిటర్ మీద ఆవేశం కింది సంబంధం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది,

$q=V C \ldots$ (i)

$\mathrm{C}=2 \mathrm{pF}$ కోసం,

ఆవేశం $=V C=100 \times 2=200 \mathrm{pC}=2 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=3 \mathrm{pF}$ కోసం,

ఆవేశం $=V C=100 \times 3=300 \mathrm{pC}=3 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=4 \mathrm{pF}$ కోసం,

ఆవేశం $=V C=100 \times 4=200 \mathrm{pC}=4 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

సమాధానం

సమాంతర ప్లేట్ కెపాసిటర్ యొక్క ప్రతి ప్లేట్ వైశాల్యం, $A=6 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$

ప్లేట్ల మధ్య దూరం, $d=3 \mathrm{~mm}=3 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

సరఫరా వోల్టేజ్, $V=100 \mathrm{~V}$

సమాంతర ప్లేట్ కెపాసిటర్ యొక్క కెపాసిటెన్స్ $C$ దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది,

$C=\frac{\in_{0} A}{d}$

ఇక్కడ,

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$=8.854 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{C}^{-2}$

$$ \begin{aligned} \therefore C & =\frac{8.854 \times 10^{-12} \times 6 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}} \\ & =17.71 \times 10^{-12} \mathrm{~F} \\ & =17.71 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

పొటెన్షియల్ $V$ ఆవేశం $q$ మరియు కెపాసిటెన్స్ $C$ లతా ఈ విధంగా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది

$$ \begin{aligned} & V=\frac{q}{C} \\ & \therefore q=V C \\ & =100 \times 17.71 \times 10^{-12} \\ & =1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C} \end{aligned} $$

కాబట్టి, కెపాసిటర్ యొక్క కెపాసిటెన్స్ $17.71 \mathrm{pF}$ మరియు ప్రతి ప్లేట్ మీద ఆవేశం $1.771 \times$ $10^{-9} \mathrm{C}$.

సమాధానం

మైకా షీట్ యొక్క డైఎలెక్ట్రిక్ స్థిరాంకం, $k=6$

ప్రారంభ కెపాసిటెన్స్, $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

కొత్త కెపాసిటెన్స్, $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

సరఫరా వోల్టేజ్, $V=100 \mathrm{~V}$

కొత్త ఆవేశం, $q^{\prime}=C^{\prime} V=6 \times 1.771 \times 10^{-9}=1.06 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

ప్లేట్ల మధ్య పొటెన్షియల్ $100 \mathrm{~V}$ గా ఉంటుంది.

డైఎలెక్ట్రిక్ స్థిరాంకం, $k=6$

ప్రారంభ కెపాసిటెన్స్, $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

కొత్త కెపాసిటెన్స్, $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

సరఫరా వోల్టేజ్ తీసివేయబడితే, ప్లేట్లలోని ఆవేశం పరిమాణంపై ఎలాంటి ప్రభావం ఉండదు.

ఆవేశం $=1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C}$

ప్లేట్ల మధ్య పొటెన్షియల్ ఇవ్వబడుతుంది,

$$ \begin{aligned} \therefore V^{\prime} & =\frac{q}{C^{\prime}} \\ & =\frac{1.771 \times 10^{-9}}{106 \times 10^{-12}} \\ & =16.7 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

సమాధానం

కెపాసిటెన్స్ గల కెపాసిటర్, $C=12 \mathrm{pF}=12 \times 10^{-12} \mathrm{~F}$

పొటెన్షియల్ తేడా, $V=50 \mathrm{~V}$

కెపాసిటర్ లో నిల్వ చేయబడిన స్థిరవిద్యుత్ శక్తి కింది సంబంధం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది,

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-12} \times(50)^{2} \\ & =1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

కాబట్టి, కెపాసిటర్ లో నిల్వ చేయబడిన స్థిరవిద్యుత్ శక్తి $1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J}$.

సమాధానం

కెపాసిటర్ యొక్క కెపాసిటెన్స్, $C=600 \mathrm{pF}$

పొటెన్షియల్ తేడా, $V=200 \mathrm{~V}$

కెపాసిటర్ లో నిల్వ చేయబడిన స్థిరవిద్యుత్ శక్తి ఇవ్వబడుతుంది,

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times\left(600 \times 10^{-12}\right) \times(200)^{2} \\ & =1.2 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

సరఫరా కెపాసిటర్ నుండి డిస్కనెక్ట్ చేయబడి, కెపాసిటెన్స్ $C=600$ $\mathrm{pF}$ గల మరొక కెపాసిటర్ కు కలిపితే, అప్పుడు కలయిక యొక్క సమాన కెపాసిటెన్స్ $(C)$ ఇవ్వబడుతుంది,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{C^{\prime}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & \quad=\frac{1}{600}+\frac{1}{600}=\frac{2}{600}=\frac{1}{300} \\ & \therefore C^{\prime}=300 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

కొత్త స్థిరవిద్యుత్ శక్తిని ఇలా లెక్కించవచ్చు

$$ \begin{aligned} E^{\prime} & =\frac{1}{2} \times C^{\prime} \times V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 300 \times(200)^{2} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

స్థిరవిద్యుత్ శక్తి నష్టం $=E-E^{\prime}$

$$ \begin{aligned} & =1.2 \times 10^{-5}-0.6 \times 10^{-5} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \\ & =6 \times 10^{-6} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

కాబట్టి, ఈ ప్రక్రియలో నష్టపోయిన స్థిరవిద్యుత్ శక్తి $6 \times 10^{-6} \mathrm{~J}$.