అధ్యాయం 8 విద్యుదయస్కాంత తరంగాలు

సమాధానం

ప్రతి వృత్తాకార పలక యొక్క వ్యాసార్థం, $r=12 \mathrm{~cm}=12 \times 10^{-2} \mathrm{~m}$

పలకల మధ్య దూరం, $d=5 \mathrm{~cm}=5 \times 10^{-2} \mathrm{~m}$

చార్జింగ్ కరెంట్, $I=0.15 \mathrm{~A}$

స్వేచ్ఛా స్థలం యొక్క పారగమ్యత, $\varepsilon_{0}=8.85 \times 10^{-12} C^{2} N^{-1} m^{-2}$

(a) రెండు పలకల మధ్య కెపాసిటెన్స్ దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది,

$A=$ ప్రతి పలక యొక్క వైశాల్యం $=\pi r^{2}$

$C=\frac{\varepsilon_{0} \pi r^{2}}{d}$

$=\frac{8.85 \times 10^{-12} \times 3.14 \times\left(12 \times 10^{-2}\right)^{2}}{5 \times 10^{-2}}$

$C=8.0032 \times 10^{-12} F=8 p F$

ప్రతి పలకపై ఆవేశం, $q=C V$

ఎక్కడ,

$\mathrm{V}=$ పలకల మధ్య సంభావ్య వ్యత్యాసం

సమయం $(t)$ పరంగా రెండు వైపులా అవకలనం చేయడం:

$\frac{d q}{d t}=C \frac{d V}{d t}$

కానీ, $\frac{d q}{d t}=$ కరెంట్ $(I)$

$\therefore \frac{d V}{d t}=\frac{I}{C}$

$\Rightarrow \frac{0.15}{80.032 \times 10^{-12}}=1.87 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{s}$

అందువల్ల, పలకల మధ్య సంభావ్య వ్యత్యాసంలో మార్పు $1.87 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{s}$.

(b) పలకల మధ్య స్థానభ్రంశం కరెంట్, వాహక కరెంట్‌కు సమానం. అందువల్ల, స్థానభ్రంశం కరెంట్, id $0.15 \mathrm{~A}$.

(c) అవును

స్థానభ్రంశం కరెంట్ వాహక కరెంట్‌కు సమానం కాబట్టి, కెపాసిటర్ యొక్క ప్రతి పలక వద్ద కిర్చోఫ్ యొక్క మొదటి నియమం చెల్లుతుంది.

సమాధానం ప్రతి వృత్తాకార పలక యొక్క వ్యాసార్థం, $R=6.0 \mathrm{~cm}=0.06 \mathrm{~m}$

సమాంతర పలక కెపాసిటర్ యొక్క కెపాసిటెన్స్, $C=100 \mathrm{pF}=100 \times 10^{-12} \mathrm{~F}$

సరఫరా వోల్టేజ్, $V=230 \mathrm{~V}$

కోణీయ పౌనఃపున్యం, $\omega=300 \mathrm{rad}_{s^{-1}}$

(a) వాహక కరెంట్ యొక్క rms విలువ, $I_{r m s}=\frac{V_{r m s}}{X_{c}}$

ఎక్కడ,

$X_{C}=$ కెపాసిటివ్ రియాక్టెన్స్

$=\frac{1}{\omega C}$

$\therefore I=V_{r m s} \times \omega C$

$=230 \times 300 \times 100 \times 10^{-12}$

$=6.9 \times 10^{-6} \mathrm{~A}$

$=6.9 \mu \mathrm{A}$

అందువల్ల, వాహక కరెంట్ యొక్క rms విలువ $6.9 \mu \mathrm{A}$.

(b) అవును, వాహక కరెంట్ స్థానభ్రంశం కరెంట్‌కు సమానం.

(c) అయస్కాంత క్షేత్రం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$B=\frac{\mu_{o} r}{2 \pi R^{2}} I_{o}$

ఎక్కడ,

$\mu_{0}=$ స్వేచ్ఛా స్థలం యొక్క పారగమ్యత $=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{NA}^{-2}$

$I 0=$ కరెంట్ యొక్క గరిష్ట విలువ $=\sqrt{2} l$ $r=$ అక్షం నుండి పలకల మధ్య దూరం $=3.0 \mathrm{~cm}=0.03 \mathrm{~m}$

$B=\frac{\mu_{0} I_{0} r}{2 \pi R^{2}}=\frac{\mu_{0} I_{r m s} \sqrt{2} r}{2 \pi R^{2}}$

$\therefore B=\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.03 \times \sqrt{2} \times 6.9 \times 10^{-6}}{2 \pi \times(0.06)^{2}}$

$=1.63 \times 10^{-11} \mathrm{~T}$ అందువల్ల, ఆ బిందువు వద్ద అయస్కాంత క్షేత్రం $1.63 \times 10^{-11} \mathrm{~T}$.

సమాధానం

విద్యుదయస్కాంత తరంగం శూన్యంలో z-దిశలో ప్రయాణిస్తుంది. విద్యుత్ క్షేత్రం $(E)$ మరియు అయస్కాంత క్షేత్రం $(H)$ $x-y$ తలంలో ఉంటాయి. అవి పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయి.

తరంగం యొక్క పౌనఃపున్యం, $v=30 \mathrm{MHz}=30 \times 10^{6} \mathrm{~s}^{-1}$

శూన్యంలో కాంతి వేగం, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

తరంగం యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{30 \times 10^{6}}=10 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

సమాధానం

డోలకం ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన విద్యుదయస్కాంత తరంగం యొక్క పౌనఃపున్యం, ఆవేశిత కణం దాని సగటు స్థానం చుట్టూ డోలనం చేసే పౌనఃపున్యంతో సమానం అంటే, $10^{9} \mathrm{~Hz}$.

సమాధానం

శూన్యంలో ఒక విద్యుదయస్కాంత తరంగం యొక్క అయస్కాంత క్షేత్రం యొక్క వ్యాప్తి,

$B 0=510 \mathrm{nT}=510 \times 10^{-9} \mathrm{~T}$

శూన్యంలో కాంతి వేగం, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

విద్యుదయస్కాంత తరంగం యొక్క విద్యుత్ క్షేత్రం యొక్క వ్యాప్తి దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది,

$c=\frac{E_{0}}{B_{0}}$

$E_{0}=c B_{0}$

$=3 \times 10^{8} \times 510 \times 10^{-9}=153 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

అందువల్ల, తరంగం యొక్క విద్యుత్ క్షేత్ర భాగం $153 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$.

సమాధానం

విద్యుత్ క్షేత్ర వ్యాప్తి, $E_{0}=120 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

మూలం యొక్క పౌనఃపున్యం, $v=50.0 \mathrm{MHz}=50 \times 10^{6} \mathrm{~Hz}$

కాంతి వేగం, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

(a) అయస్కాంత క్షేత్ర బలం యొక్క పరిమాణం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

$B_{0}=\frac{E_{0}}{c}$

$=\frac{120}{3 \times 10^{8}}$

$=4 \times 10^{-7} \mathrm{~T}=400 \mathrm{nT}$

మూలం యొక్క కోణీయ పౌనఃపున్యం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

$\omega=2 n v=2 \pi \times 50 \times 10^{6}$

$=3.14 \times 10^{8} \mathrm{rad} / \mathrm{s}$

ప్రచార స్థిరాంకం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది: $k=\frac{2 \pi \nu}{c}=\frac{\omega}{c}$

$=\frac{3.14 \times 10^{8}}{3 \times 10^{8}}=1.05 \mathrm{rad} / \mathrm{m}$

తరంగం యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

$\lambda=\frac{c}{v}$

$=\frac{3 \times 10^{8}}{50 \times 10^{6}}=6.0 \mathrm{~m}$

(b) తరంగం ధనాత్మక $x$ దిశలో ప్రచారం చేస్తుందని అనుకుందాం. అప్పుడు, విద్యుత్ క్షేత్ర సదిశ ధనాత్మక $y$ దిశలో ఉంటుంది మరియు అయస్కాంత క్షేత్ర సదిశ ధనాత్మక $z$ దిశలో ఉంటుంది. ఎందుకంటే ఈ మూడు సదిశలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయి.

విద్యుత్ క్షేత్ర సదిశ యొక్క సమీకరణం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

$E=E_{0} \operatorname{Sin}(k x-\omega t) \hat{j}$

$\vec{E}=120 \operatorname{Sin}\left(1.05 x-3.14 \times 10^{8} t\right) \hat{j} N / C$

మరియు, అయస్కాంత క్షేత్ర సదిశ ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

$B=B_{0} \operatorname{Sin}(k x-\omega t) \hat{k}$

$\vec{B}=\left(4 \times 10^{-7}\right) \operatorname{Sin}\left(1.05 x-3.14 \times 10^{8} t\right) \hat{k}$ టెస్లా

సమాధానం

ఫోటాన్ యొక్క శక్తి ఇలా ఇవ్వబడుతుంది: $E=h v=\frac{h c}{\lambda}$

ఎక్కడ,

$h=$ ప్లాంక్ స్థిరాంకం $=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$c=$ కాంతి వేగం $=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

$\lambda=$ వికిరణం యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం

$\therefore E=\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{\lambda}=\frac{19.8 \times 10^{-26}}{\lambda}$

$=\frac{19.8 \times 10^{-26}}{\lambda \times 1.6 \times 10^{-19}}=\frac{12.375 \times 10^{-7}}{\lambda} \mathrm{eV}$

ఇచ్చిన పట్టిక వివిధ $\lambda$ కోసం విద్యుదయస్కాంత వర్ణపటం యొక్క వివిధ భాగాల కోసం ఫోటాన్ శక్తులను జాబితా చేస్తుంది.

ఒక మూలం యొక్క వర్ణపటం యొక్క వివిధ భాగాల కోసం ఫోటాన్ శక్తులు, ఆ మూలం యొక్క సంబంధిత శక్తి స్థాయిల అంతరాన్ని సూచిస్తాయి.

సమాధానం

విద్యుదయస్కాంత తరంగం యొక్క పౌనఃపున్యం, $v=$ $$ 2 \times 10^{10} \mathrm{~Hz} $$

విద్యుత్ క్షేత్ర వ్యాప్తి, $$ E_0=48 \mathrm{Vm}^{-1} $$

కాంతి వేగం, $c=$ $$ 3 \times 10^8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $$

(a) తరంగం యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది: $$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \ & = \ & \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^{10}}=0.015 \mathrm{~m} \end{aligned} $$ (b) అయస్కాంత క్షేత్ర బలం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది: $$ \begin{aligned} & B_0=\frac{E_0}{c} \ & = \ & \frac{48}{3 \times 10^8}=1.6 \times 10^{-7} \mathrm{~T} \end{aligned} $$ (c) విద్యుత్ క్షేత్రం యొక్క శక్తి సాంద్రత ఇలా ఇవ్వబడుతుంది: $$ U_E=\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 $$

మరియు అయస్కాంత క్షేత్రం యొక్క శక్తి సాంద్రత ఇలా ఇవ్వబడుతుంది: $$ U_B=\frac{1}{2 \mu_0} B^2 $$

ఎక్కడ, $\epsilon_0$ $=$ స్వేచ్ఛా స్థలం యొక్క పారగమ్యత

$\mu_0$ $=$ స్వేచ్ఛా స్థలం యొక్క పారగమ్యం $$ \mathrm{E}=\mathrm{CB} $$

ఎక్కడ, $$ c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \quad \quad (….2)$$

సమీకరణం (2) ని సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపించగా, మనకు లభిస్తుంది $$ E=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} B $$

రెండు వైపులా వర్గీకరించగా, మనకు లభిస్తుంది $$ \begin{aligned} & E^2=\frac{1}{\epsilon_0 \mu_0} B^2 \ & \epsilon_0 E^2=\frac{B^2}{\mu_0} \ & \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2=\frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} \ & => \ & U_E=U_B \end{aligned} $$