অধ্যায় ৩ সমতলীয় গতি

৩.১ পৰিচয় [27]#

গত অধ্যায়ত আমি এটা বস্তুৰ সৰলৰেখীয় গতি বৰ্ণনা কৰিবলৈ প্ৰয়োজনীয় স্থানাংক, সৰণ, বেগ আৰু ত্বৰণৰ ধাৰণাসমূহ বিকশিত কৰিছিলো। আমি দেখিলো যে এই ৰাশিসমূহৰ দিশাত্মক দিশটো + আৰু – চিহ্নৰ সহায়ত ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি, কাৰণ একমাত্ৰিক ক্ষেত্ৰত কেৱল দুটা দিশ সম্ভৱ। কিন্তু এটা বস্তুৰ দ্বিমাত্ৰিক (এখন সমতল) বা ত্ৰিমাত্ৰিক (স্থান) গতি বৰ্ণনা কৰিবলৈ, ওপৰত উল্লেখ কৰা ভৌতিক ৰাশিসমূহ বৰ্ণনা কৰিবলৈ আমি ভেক্টৰ ব্যৱহাৰ কৰিব লাগিব। গতিকে, প্ৰথমে ভেক্টৰৰ ভাষা শিকাটো প্ৰয়োজন। ভেক্টৰ কি? ভেক্টৰক কেনেকৈ যোগ, বিয়োগ আৰু পূৰণ কৰিব? এটা ভেক্টৰক এটা বাস্তৱ সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিলে ফলাফল কি হয়? আমি ইয়াক শিকিম যাতে সমতলত বেগ আৰু ত্বৰণ সংজ্ঞায়িত কৰিবলৈ ভেক্টৰ ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰো। তাৰ পিছত আমি সমতলত এটা বস্তুৰ গতি আলোচনা কৰিম। সমতলীয় গতিৰ এক সহজ উদাহৰণ হিচাপে, আমি ধ্ৰুৱক ত্বৰণৰ সৈতে গতি আলোচনা কৰিম আৰু প্ৰক্ষেপ্য গতিৰ বিষয়ে বিস্তাৰিতভাৱে আলোচনা কৰিম। বৃত্তীয় গতি হৈছে গতিৰ এক চিনাকি শ্ৰেণী যি দৈনন্দিন জীৱনৰ পৰিস্থিতিত এক বিশেষ তাৎপৰ্য বহন কৰে। আমি সমবৃত্তীয় গতি কিছু বিস্তাৰিতভাৱে আলোচনা কৰিম। এই অধ্যায়ত সমতলীয় গতিৰ বাবে বিকশিত সমীকৰণসমূহ সহজেই ত্ৰিমাত্ৰিক ক্ষেত্ৰলৈ সম্প্ৰসাৰিত কৰিব পাৰি।

৩.২ স্কেলাৰ আৰু ভেক্টৰ [27-28]#

পদাৰ্থবিজ্ঞানত, আমি ৰাশিসমূহক স্কেলাৰ বা ভেক্টৰ হিচাপে শ্ৰেণীবিভাজন কৰিব পাৰো। মূলে, পাৰ্থক্যটো হ’ল এটা দিশ এটা ভেক্টৰৰ সৈতে সংযুক্ত কিন্তু স্কেলাৰৰ সৈতে নহয়। এটা স্কেলাৰ ৰাশি হৈছে কেৱল মান থকা ৰাশি। ইয়াক সম্পূৰ্ণৰূপে এটা সংখ্যাৰে, উপযুক্ত এককৰ সৈতে নিৰ্দিষ্ট কৰা হয়। উদাহৰণ হ’ল: দুটা বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব, এটা বস্তুৰ ভৰ, এটা দেহৰ উষ্ণতা আৰু এটা নিৰ্দিষ্ট ঘটনা সংঘটিত হোৱা সময়। স্কেলাৰ সংযুক্ত কৰাৰ নিয়মবোৰ হৈছে সাধাৰণ বীজগণিতৰ নিয়ম। স্কেলাৰসমূহ যোগ, বিয়োগ, পূৰণ আৰু হৰণ কৰিব পাৰি যেনেকৈ সাধাৰণ সংখ্যাবোৰ* কৰা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, যদি এটা আয়তৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ ক্ৰমে ১.০ মি আৰু ০.৫ মি হয়, তেন্তে ইয়াৰ পৰিসীমা হ’ল চাৰিটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ যোগফল, ১.০ মি + ০.৫ মি +১.০ মি + ০.৫ মি = ৩.০ মি। প্ৰতিটো বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য হৈছে এটা স্কেলাৰ আৰু পৰিসীমাও এটা স্কেলাৰ। আন এটা উদাহৰণ লোৱা: এটা নিৰ্দিষ্ট দিনৰ সৰ্বোচ্চ আৰু সৰ্বনিম্ন উষ্ণতা ক্ৰমে ৩৫.৬ °C আৰু ২৪.২ °C। তেন্তে, দুয়োটা উষ্ণতাৰ পাৰ্থক্য হ’ল ১১.৪ °C। একেদৰে, যদি ১০ চে.মি. বাহুৰ এটা সমগ্ৰ এলুমিনিয়ামৰ ঘনকৰ ভৰ ২.৭ কিলোগ্ৰাম হয়, তেন্তে ইয়াৰ আয়তন হ’ল ১০–৩ মি3 (এটা স্কেলাৰ) আৰু ইয়াৰ ঘনত্ব হ’ল ২.৭×১০৩ কিলোগ্ৰাম মি–৩ (এটা স্কেলাৰ)। এটা ভেক্টৰ ৰাশি হৈছে এনে ৰাশি যাৰ এটা মান আৰু এটা দিশ দুয়োটা আছে আৰু ই যোগৰ ত্ৰিভুজ সূত্র বা সমতুল্যভাৱে যোগৰ সামান্তৰিক সূত্র মানি চলে। গতিকে, এটা ভেক্টৰক ইয়াৰ মান এটা সংখ্যাৰে আৰু ইয়াৰ দিশটো দি নিৰ্দিষ্ট কৰা হয়। ভেক্টৰৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা কিছুমান ভৌতিক ৰাশি হ’ল সৰণ, বেগ, ত্বৰণ আৰু বল।

ভেক্টৰ এটা প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ, আমি এই কিতাপত ডাঠ আখৰৰ শৈলী ব্যৱহাৰ কৰো। গতিকে, এটা বেগ ভেক্টৰক v চিহ্নৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি। ডাঠ আখৰ লিখিবলৈ টান হোৱাৰ বাবে, হাতেৰে লিখোতে ভেক্টৰ এটাক প্ৰায়ে এটা আখৰৰ ওপৰত ৰখা এটা তীৰৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়, যেনে $\vec{v}$। গতিকে, v আৰু $\vec{v}$ দুয়োটাই বেগ ভেক্টৰক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। ভেক্টৰ এটাৰ মানক প্ৰায়ে ইয়াৰ পৰম মান বোলা হয়, |v| = v ৰ দ্বাৰা সূচিত কৰা হয়। গতিকে, ভেক্টৰ এটাক ডাঠ আখৰেৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়, যেনে A, a, p, q, r, … x, y, যিৰ ক্ৰমে পাতল আখৰ A, a, p, q, r, … x, y ৰ দ্বাৰা মানসমূহ সূচিত কৰা হয়।

৩.২.১ স্থানাংক আৰু সৰণ ভেক্টৰ [28]#

সমতলত গতি কৰা এটা বস্তুৰ স্থানাংক বৰ্ণনা কৰিবলৈ, আমি এটা সুবিধাজনক বিন্দু বাছনি কৰিব লাগিব, যেনে O ক মূলবিন্দু হিচাপে লোৱা হওক। P আৰু P′ ক্ৰমে t আৰু t′ সময়ত বস্তুটোৰ অৱস্থান হ’ব [চিত্ৰ ৩.১(ক)]। আমি O আৰু P ক সৰলৰেখাৰে সংযোগ কৰো। তেতিয়া, OP হৈছে t সময়ত বস্তুটোৰ স্থানাংক ভেক্টৰ। এই ৰেখাৰ মূৰত এটা তীৰ চিহ্নিত কৰা হয়। ইয়াক r চিহ্নৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়, অৰ্থাৎ OP = r। P′ বিন্দুটোক আন এটা স্থানাংক ভেক্টৰ OP′ ৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়, যাক r′ ৰে সূচিত কৰা হয়। r ভেক্টৰটোৰ দৈৰ্ঘ্যই ভেক্টৰটোৰ মান প্ৰতিনিধিত্ব কৰে আৰু ইয়াৰ দিশটো হৈছে O ৰ পৰা চালে P যি দিশত অৱস্থিত সেই দিশ। যদি বস্তুটো P ৰ পৰা P′ লৈ যায়, তেন্তে PP′ ভেক্টৰটোক (মূৰ P ত আৰু আগ P′ ত) P বিন্দুৰ পৰা (t সময়ত) P′ বিন্দুলৈ (t′ সময়ত) গতিৰ সৈতে সংশ্লিষ্ট সৰণ ভেক্টৰ বোলা হয়।

চিত্ৰ ৩.১ (ক) স্থানাংক আৰু সৰণ ভেক্টৰ। (খ) সৰণ ভেক্টৰ PQ আৰু গতিৰ বিভিন্ন পথ।

এইটো মনত ৰাখিবলগীয়া যে সৰণ ভেক্টৰটো হৈছে আৰম্ভণি আৰু অন্তিম অৱস্থান সংযোগ কৰা সৰলৰেখা আৰু ই দুয়োটা অৱস্থানৰ মাজত বস্তুৱে গ্ৰহণ কৰা প্ৰকৃত পথৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ নকৰে। উদাহৰণস্বৰূপে, চিত্ৰ ৩.১(খ)ত, আৰম্ভণি আৰু অন্তিম অৱস্থান P আৰু Q হিচাপে দিয়া আছে, সৰণ ভেক্টৰটো বিভিন্ন যাত্ৰা পথৰ বাবে একে PQ হয়, যেনে PABCQ, PDQ, আৰু PBEFQ। গতিকে, সৰণৰ মান দুটা বিন্দুৰ মাজত এটা বস্তুৰ পথ দৈৰ্ঘ্যতকৈ কম বা সমান হয়। এই কথাটো আগৰ অধ্যায়তো সৰলৰেখাৰ গতি আলোচনা কৰোতে গুৰুত্ব দিয়া হৈছিল।

৩.২.২ ভেক্টৰৰ সমতা [28-29]#

দুটা ভেক্টৰ A আৰু B ক সমান বুলি কোৱা হয় যদি আৰু কেৱল যদি, সিহঁতৰ মান একে হয় আৰু দিশ একে হয়।**

চিত্ৰ ৩.২ (ক) দুটা সমান ভেক্টৰ A আৰু B। (খ) দুটা ভেক্টৰ A আৰু B অসমান যদিও সিহঁতৰ দৈৰ্ঘ্য একে।

চিত্ৰ ৩.২(ক)ত দুটা সমান ভেক্টৰ A আৰু B দেখুওৱা হৈছে। আমি সহজেই সিহঁতৰ সমতা পৰীক্ষা কৰিব পাৰো। B ক ইয়াৰ সমান্তৰালভাৱে ইয়াক লৰাই নিয়াও যেতিয়ালৈকে ইয়াৰ মূৰ Q, A ৰ মূৰৰ লগত মিলি নাযায়, অৰ্থাৎ Q, O ৰ লগত মিলি যায়। তেতিয়া, যিহেতু সিহঁতৰ আগ S আৰু P ও মিলি যায়, দুয়োটা ভেক্টৰক সমান বুলি কোৱা হয়। সাধাৰণতে, সমতা A = B ৰ দ্বাৰা সূচিত কৰা হয়। মন কৰক যে চিত্ৰ ৩.২(খ)ত, ভেক্টৰ A′ আৰু B′ ৰ মান একে কিন্তু সিহঁত সমান নহয় কাৰণ সিহঁতৰ দিশ বেলেগ। আমি B′ ক ইয়াৰ সমান্তৰালভাৱে লৰাইও যদি ইয়াৰ মূৰ Q′, A′ ৰ মূৰ O′ ৰ লগত মিলাই দিও, B′ ৰ আগ S′, A′ ৰ আগ P′ ৰ লগত মিলি নাযায়।

৩.৩ বাস্তৱ সংখ্যাৰে ভেক্টৰৰ পূৰণ [29]#

ধনাত্মক সংখ্যা λ ৰে ভেক্টৰ A ক পূৰণ কৰিলে এটা ভেক্টৰ পোৱা যায় যাৰ মান λ গুণকৰে সলনি হয় কিন্তু দিশটো A ৰ দৰে একে থাকে:

$$ |\lambda \mathbf{A}|=\lambda|\mathbf{A}| \text { if } \lambda=0 $$

উদাহৰণস্বৰূপে, যদি A ক ২ ৰে পূৰণ কৰা হয়, ফলিত ভেক্টৰ 2A ৰ দিশ A ৰ দৰে একে হয় আৰু মান $\mathbf{|A|}$ ৰ দুগুণ হয় যেনেকৈ চিত্ৰ ৩.৩(ক)ত দেখুওৱা হৈছে। ভেক্টৰ A ক ঋণাত্মক সংখ্যা −λ ৰে পূৰণ কৰিলে আন এটা ভেক্টৰ পোৱা যায় যাৰ দিশ A ৰ দিশৰ বিপৰীত হয় আৰু যাৰ মান $\mathbf{|A|}$ ৰ λ গুণ।

দিয়া ভেক্টৰ A ক ঋণাত্মক সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিলে, যেনে –১ আৰু –১.৫, ভেক্টৰসমূহ পোৱা যায় যেনেকৈ চিত্ৰ ৩.৩(খ)ত দেখুওৱা হৈছে। যি গুণক λ ৰে ভেক্টৰ A ক পূৰণ কৰা হয় সি নিজৰ ভৌতিক মাত্ৰা থকা এটা স্কেলাৰ হ’ব পাৰে। তেতিয়া, λA ৰ মাত্ৰা হ’ব λ আৰু A ৰ মাত্ৰাৰ গুণফল। উদাহৰণস্বৰূপে, যদি আমি ধ্ৰুৱক বেগ ভেক্টৰক সময়ৰ ব্যাপ্তিৰে পূৰণ কৰো, আমি এটা সৰণ ভেক্টৰ পাম।

চিত্ৰ ৩.৩ (ক) ভেক্টৰ A আৰু A ক ধনাত্মক সংখ্যা ২ ৰে পূৰণ কৰাৰ পিছৰ ফলিত ভেক্টৰ। (খ) ভেক্টৰ A আৰু ইয়াক ঋণাত্মক সংখ্যা –১ আৰু –১.৫ ৰে পূৰণ কৰাৰ পিছৰ ফলিত ভেক্টৰসমূহ।

৩.৪ ভেক্টৰৰ যোগ আৰু বিয়োগ — চিত্ৰণ পদ্ধতি [29-31]#

বিভাগ ৪.২ত উল্লেখ কৰাৰ দৰে, সংজ্ঞামতে, ভেক্টৰসমূহে ত্ৰিভুজ সূত্র বা সমতুল্যভাৱে, যোগৰ সামান্তৰিক সূত্র মানি চলে। আমি এতিয়া চিত্ৰণ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি যোগৰ এই সূটো বৰ্ণনা কৰিম। ধৰি লওঁ দুটা ভেক্টৰ A আৰু B যি চিত্ৰ ৩.৪(ক)ত দেখুওৱাৰ দৰে এখন সমতলত অৱস্থিত। এই ভেক্টৰসমূহ প্ৰতিনিধিত্ব কৰা ৰেখাখণ্ডসমূহৰ দৈৰ্ঘ্য ভেক্টৰসমূহৰ মানৰ সমানুপাতিক। যোগফল A + B উলিয়াবলৈ, আমি ভেক্টৰ B ক এনেদৰে স্থাপন কৰো যে ইয়াৰ মূৰ ভেক্টৰ A ৰ আগত থাকে, যেনেকৈ চিত্ৰ ৩.৪(খ)ত আছে। তাৰ পিছত, আমি A ৰ মূৰ B ৰ আগৰ লগত সংযোগ কৰো। এই ৰেখা OQ এটা ভেক্টৰ R ক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে, অৰ্থাৎ ভেক্টৰ A আৰু B ৰ যোগফল। যিহেতু, ভেক্টৰ যোগৰ এই পদ্ধতিত, ভেক্টৰসমূহ আগৰ পৰা মূৰলৈ সজোৱা হয়, এই চিত্ৰণ পদ্ধতিক আগ-ৰ-পৰা-মূৰলৈ পদ্ধতি বোলা হয়। দুয়োটা ভেক্টৰ আৰু সিহঁতৰ ফলিত ভেক্টৰই ত্ৰিভুজৰ তিনিটা বাহু গঠন কৰে, গতিকে এই পদ্ধতিক ভেক্টৰ যোগৰ ত্ৰিভুজ পদ্ধতি বুলিও জনা যায়। যদি আমি B + A ৰ ফলিত ভেক্টৰ চিত্ৰ ৩.৪(গ)ত দেখুওৱাৰ দৰে উলিয়াও, একে ভেক্টৰ R পোৱা যায়। গতিকে, ভেক্টৰ যোগ বিনিময় সূত্র মানি চলে:

A + B = B + A $\quad \quad \quad\quad \quad \quad$ (3.1)

চিত্ৰ ৩.৪ (ক) ভেক্টৰ A আৰু B। (খ) ভেক্টৰ A আৰু B চিত্ৰণৰ দ্বাৰা যোগ কৰা হৈছে। (গ) ভেক্টৰ B আৰু A চিত্ৰণৰ দ্বাৰা যোগ কৰা হৈছে। (ঘ) ভেক্টৰ যোগৰ সংযোগ সূটো চিত্ৰিত কৰা হৈছে।

ভেক্টৰৰ যোগই চিত্ৰ ৩.৪(ঘ)ত চিত্ৰিত কৰাৰ দৰে সংযোগ সূটোও মানি চলে। ভেক্টৰ A আৰু B প্ৰথমে যোগ কৰি তাৰ পিছত ভেক্টৰ C যোগ কৰাৰ ফলাফলটো B আৰু C প্ৰথমে যোগ কৰি তাৰ পিছত ভেক্টৰ A যোগ কৰাৰ ফলাফলৰ দৰে একে:

$$ \begin{equation*} (\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C}) \tag{3.2} \end{equation*} $$

দুটা সমান আৰু বিপৰীত ভেক্টৰ যোগ কৰিলে ফলাফল কি হয়? চিত্ৰ ৩.৩(খ)ত দেখুওৱা দুটা ভেক্টৰ A আৰু –A বিবেচনা কৰক। সিহঁতৰ যোগফল হ’ল A + (–A)। যিহেতু দুয়োটা ভেক্টৰৰ মান একে, কিন্তু দিশ বিপৰীত, ফলিত ভেক্টৰৰ মান শূন্য হয় আৰু ইয়াক 0 ৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয় যাক শূন্য ভেক্টৰ বা নাল ভেক্টৰ বোলা হয়:

$$\mathbf{A}-\mathbf{A}=\mathbf{0} \qquad |\mathbf{0}|=0 \tag{3.3}$$

যিহেতু নাল ভেক্টৰ এটাৰ মান শূন্য, ইয়াৰ দিশ নিৰ্দিষ্ট কৰিব নোৱাৰি। যেতিয়া আমি ভেক্টৰ A ক শূন্য সংখ্যাৰে পূৰণ কৰো, তেতিয়াও নাল ভেক্টৰ পোৱা যায়। 0 ৰ মুখ্য ধৰ্মসমূহ হ’ল:

$$ \begin{align*} & \mathbf{A}+\mathbf{0}=\mathbf{A} \\ & \lambda \mathbf{0}=\mathbf{0} \\ & 0 \mathbf{A}=\mathbf{0} \tag{3.4} \end{align*} $$

শূন্য ভেক্টৰৰ ভৌতিক অৰ্থ কি? চিত্ৰ ৩.১(ক)ত দেখুওৱাৰ দৰে সমতলত স্থানাংক আৰু সৰণ ভেক্টৰ বিবেচনা কৰক। এতিয়া ধৰি লওঁ যে এটা বস্তু যি t সময়ত P ত আছে, P′ লৈ যায় আৰু তাৰ পিছত P লৈ উভতি আহে। তেতিয়া, ইয়াৰ সৰণ কি? যিহেতু আৰম্ভণি আৰু অন্তিম অৱস্থান মিলি যায়, সৰণটো এটা “নাল ভেক্টৰ”।

ভেক্টৰৰ বিয়োগ ভেক্টৰ যোগৰ পৰিভাষাৰে সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰি। আমি দুটা ভেক্টৰ A আৰু B ৰ পাৰ্থক্য দুটা ভেক্টৰ *A আৰু –B ৰ যোগফল হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰো:

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B}) \tag{3.5} \end{equation*} $$

ইয়াক চিত্ৰ ৩.৫ত দেখুওৱা হৈছে। ভেক্টৰ $-\mathbf{B}$ ক ভেক্টৰ $\mathbf{A}$ লৈ যোগ কৰি $\mathbf{R} _{2}=(\mathbf{A}-\mathbf{B})$ পোৱা যায়। তুলনাৰ বাবে ভেক্টৰ $\mathbf{R} _{1}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$ ও একে চিত্ৰত দেখুওৱা হৈছে। আমি দুটা ভেক্টৰৰ যোগফল উলিয়াবলৈ সামান্তৰিক পদ্ধতিও ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰো। ধৰি লওঁ আমি দুটা ভেক্টৰ $\mathbf{A}$ আৰু $\mathbf{B}$ আছে। এই ভেক্টৰসমূহ যোগ কৰিবলৈ, আমি সিহঁতৰ মূৰসমূহ চিত্ৰ ৩.৬(ক)ত দেখুওৱাৰ দৰে এটা সাধাৰণ মূলবিন্দু $\mathrm{O}$ লৈ আনি। তাৰ পিছত আমি $\mathbf{A}$ ৰ আগৰ পৰা $\mathbf{B}$ ৰ সমান্তৰালভাৱে এটা ৰেখা আঁকো আৰু B ৰ আগৰ পৰা A ৰ সমান্তৰালভাৱে আন এটা ৰেখা আঁকি এটা সামান্তৰিক OQSP সম্পূৰ্ণ কৰো। এতিয়া আমি এই দুটা ৰেখাৰ ছেদ বিন্দুটো মূলবিন্দু O ৰ লগত সংযোগ কৰো। ফলিত ভেক্টৰ R টো সাধাৰণ মূলবিন্দু O ৰ পৰা সামান্তৰিকটোৰ কৰ্ণ (OS) বৰাব দিশত থাকে [চিত্ৰ ৩.৬(খ)]। চিত্ৰ ৩.৬(গ)ত, A আৰু B ৰ ফলিত ভেক্টৰ পাবলৈ ত্ৰিভুজ সূত্র ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে আৰু আমি দেখো যে দুয়োটা পদ্ধতিয়ে একে ফলাফল দিয়ে। গতিকে, দুয়োটা পদ্ধতি সমতুল্য।

চিত্ৰ ৩.৫ (ক) দুটা ভেক্টৰ A আৰু B, – B ও দেখুওৱা হৈছে। (খ) ভেক্টৰ A ৰ পৰা ভেক্টৰ B বিয়োগ কৰা – ফলাফল হ’ল $R_2$। তুলনাৰ বাবে, ভেক্টৰ A আৰু B ৰ যোগ, অৰ্থাৎ $R_1$ ও দেখুওৱা হৈছে।

চিত্ৰ ৩.৬ (ক) দুটা ভেক্টৰ A আৰু B যিৰ মূৰসমূহ এটা সাধাৰণ মূলবিন্দুলৈ অনা হৈছে। (খ) সামান্তৰিক পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি পোৱা যোগফল A + B। (গ) ভেক্টৰ যোগৰ সামান্তৰিক পদ্ধতি ত্ৰিভুজ পদ্ধতিৰ সমতুল্য।

উদাহৰণ ৩.১ বৰষুণ ৩৫ মি ছে–১ বেগেৰে উলম্বভাৱে পৰি আছে। কিছু সময়ৰ পিছত বতাহ বলিবলৈ আৰম্ভ কৰে ১২ মি ছে–১ বেগেৰে পূৱৰ পৰা পশ্চিমলৈ। বাছ ষ্টপত ৰৈ থকা ল’ৰাজনে ছাতিটো কোন দিশত ধৰি ৰাখিব লাগে?

উত্তৰ বৰষুণ আৰু বতাহৰ বেগক চিত্ৰ ৩.৭ত ভেক্টৰ $\mathbf{v_r}$ আৰু $\mathbf{v_w}$ ৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হৈছে আৰু সমস্যাত নিৰ্দিষ্ট কৰা দিশত আছে। ভেক্টৰ যোগৰ সূত্র ব্যৱহাৰ কৰি, আমি দেখো যে $\mathbf{v_r}$ আৰু $\mathbf{v_w}$ ৰ ফলিত ভেক্টৰ হ’ল $\mathrm{R}$ যেনেকৈ চিত্ৰত দেখুওৱা হৈছে। $\mathrm{R}$ ৰ মান হ’ল

$$ R=\sqrt{v _{r}^{2}+v _{w}^{2}}=\sqrt{35^{2}+12^{2}} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}=37 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

$\theta$ দিশটো যি $R$ উলম্বৰ সৈতে কৰে তাক দিয়া হয়

$$ \tan \theta=\frac{v _{w}}{v _{r}}=\frac{12}{35}=0.343 $$

অথবা, $\theta=\tan ^{-1}(0.343)=19^{\circ}$

গতিকে, ল’ৰাজনে ছাতিটো উলম্বৰ সৈতে প্ৰায় $19^{\circ}$ কোণ কৰি উলম্ব সমতলত পূৱ দিশলৈ ধৰি ৰাখিব লাগে।

৩.৫ ভেক্টৰৰ প্ৰাসংগিকাংশত বিভাজন [31-33]#

ধৰি লওঁ a আৰু b হ’ল এখন সমতলৰ যিকোনো দুটা অশূন্য ভেক্টৰ যিৰ দিশ বেলেগ বেলেগ আৰু A হ’ল একে সমতলৰ আন এটা ভেক্টৰ (চিত্ৰ ৩.৮)। A ক দুটা ভেক্টৰৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি — এটা a ক এটা বাস্তৱ সংখ্যাৰে পূৰণ কৰি পোৱা আৰু আনটো b ক আন এটা বাস্তৱ সংখ্যাৰে পূৰণ কৰি পোৱা। ইয়াক দেখিবলৈ, O আৰু P ক ভেক্টৰ A ৰ মূৰ আৰু আগ হিচাপে লওঁ। তেতিয়া, O ৰ মাজেৰে, a ৰ সমান্তৰালভাৱে এটা সৰলৰেখা আঁকো, আৰু P ৰ মাজেৰে, b ৰ সমান্তৰালভাৱে এটা সৰলৰেখা আঁকো। সিহঁতে Q ত ছেদ কৰক। তেতিয়া, আমি পাম

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}=\mathbf{O P}=\mathbf{O} \mathbf{Q}+\mathbf{Q P} \tag{3.6} \end{equation*} $$

কিন্তু যিহেতু OQ a ৰ সমান্তৰাল, আৰু QP b ৰ সমান্তৰাল, আমি লিখিব পাৰো:

$$ \begin{equation*} \mathbf{O} \mathbf{Q}=\lambda \mathbf{a} \text { and } \mathbf{Q P}=\mu \mathbf{b} \tag{3.7} \end{equation*} $$

য’ত λ আৰু µ হ’ল বাস্তৱ সংখ্যা।

গতিকে,

$$\mathbf{A}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}\tag{3.8}$$

চিত্ৰ ৩.৮ (ক) দুটা একৰেখীয় নোহোৱা ভেক্টৰ a আৰু b। (খ) ভেক্টৰ A ক ভেক্টৰ a আৰু b ৰ পৰিভাষাত প্ৰাসংগিকাংশত বিভাজন কৰা হৈছে।

আমি ক’ব পাৰো যে A ক দুটা উপাংশ ভেক্টৰ λ a আৰু µ b লৈ ক্ৰমে a আৰু b বৰাব প্ৰাসংগিকাংশত বিভাজন কৰা হৈছে। এই পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি এটা দিয়া ভেক্টৰক দুটা ভেক্টৰৰ এটা সংহতিৰ বৰাব দুটা উপাংশ ভেক্টৰলৈ প্ৰাসংগিকাংশত বিভাজন কৰিব পাৰি — তিনিওটা একে সমতলত থাকে। একক মানৰ ভেক্টৰ ব্যৱহাৰ কৰি আয়তাকাৰ স্থানাংক ব্যৱস্থাৰ অক্ষসমূহৰ বৰাব এটা সাধাৰণ ভেক্টৰ প্ৰাসংগিকাংশত বিভাজন কৰাটো সুবিধাজনক। এইবোৰক একক ভেক্টৰ বোলা হয় যি আমি এতিয়া আলোচনা কৰিম। একক ভেক্টৰ হৈছে একক মানৰ ভেক্টৰ আৰু এটা নিৰ্দিষ্ট দিশলৈ নিৰ্দেশিত। ইয়াৰ মাত্ৰা আৰু একক নাই। ই কেৱল এটা দিশ নিৰ্দিষ্ট কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। আয়তাকাৰ স্থানাংক ব্যৱস্থাৰ x-, y- আৰু z-অক্ষৰ বৰাব একক ভেক্টৰসমূহক ক্ৰমে $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}} \text{ and }\hat{\mathbf{k}}$ ৰে চিত্ৰ ৩.৯(ক)ত দেখুওৱাৰ দৰে সূচিত কৰা হয়। যিহেতু এইবোৰ একক ভেক্টৰ, আমি পাইছো

$$ \begin{equation*} |\hat{\mathbf{i}}|=\hat{\mathbf{j}}|=\hat{\mathbf{k}}|=1 \tag{3.9} \end{equation*} $$

এই একক ভেক্টৰসমূহ পৰস্পৰ লম্ব। এই পাঠ্যত, সিহঁতক আন ভেক্টৰৰ পৰা পৃথক কৰিবলৈ ডাঠ আখৰত এটা টুপি (^) চিহ্নৰ সৈতে ছপা কৰা হয়। যিহেতু আমি এই অধ্যায়ত দ্বিমাত্ৰিক গতিৰ সৈতে ব্যৱহাৰ কৰি আছো, আমি কেৱল দুটা একক ভেক্টৰৰ ব্যৱহাৰৰ প্ৰয়োজন। যদি আমি এটা একক ভেক্টৰক, যেনে $\hat{\mathbf{n}}$ ক এটা স্কেলাৰৰে পূৰণ কৰো, ফলাফল হ’ল এটা ভেক্টৰ $\lambda = \lambda\hat{\mathbf{n}}$। সাধাৰণতে, এটা ভেক্টৰ A ক এনেদৰে লিখিব পাৰি

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}=|\mathbf{A}| \hat{\mathbf{n}} \tag{3.10} \end{equation*} $$

য’ত $\hat{\mathbf{n}}$ হ’ল A বৰাব একক ভেক্টৰ। আমি এতিয়া এটা ভেক্টৰ A ক উপাংশ ভেক্টৰসমূহৰ পৰিভাষাত প্ৰাসংগিকাংশত বিভাজন কৰিব পাৰো যিবোৰ একক ভেক্টৰ $\hat{\mathbf{i}}$ আৰু $\hat{\mathbf{j}}$ বৰাব থাকে। এটা ভেক্টৰ A বিবেচনা কৰক যি চিত্ৰ ৩.৯(খ)ত দেখুওৱাৰ দৰে x-y সমতলত থাকে। আমি A ৰ আগৰ পৰা স্থানাংক অক্ষসমূহলৈ লম্ব ৰেখা আঁকো যেনেকৈ চিত্ৰ ৩.৯(খ)ত আছে, আৰু ভেক্টৰ $\mathbf{A_1}$ আৰু $\mathbf{A_2}$ পাম যেনেকৈ $\mathbf{A_1} + \mathbf{A_2} = \mathbf{A}$। যিহেতু $\mathbf{A_1}$ $\hat{\mathbf{i}}$ ৰ সমান্তৰাল আৰু $\mathbf{A_2}$ $\hat{\mathbf{j}}$ ৰ সমান্তৰাল, আমি পাইছো:

চিত্ৰ ৩.৯ (ক) একক ভেক্টৰ $\hat{\mathbf{i}}$ , $\hat{\mathbf{j}}$ আৰু $\hat{\mathbf{k}}$ x-, y-, আৰু z-অক্ষ বৰাব থাকে। (খ) এটা ভেক্টৰ A ইয়াৰ উপাংশ Ax আৰু Ay লৈ x-, আৰু y- অক্ষ বৰাব প্ৰাসংগিকাংশত বিভাজন কৰা হৈছে। (গ) $A_1$ আৰু $A_2$ ক $\hat{\mathbf{i}}$ আৰু $\hat{\mathbf{j}}$ ৰ পৰিভাষাত প্ৰকাশ কৰা হৈছে।

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} _{1}=A _{x} \hat{\mathbf{i}}, \mathbf{A} _{2}=A _{y} \hat{\mathbf{j}} \tag{3.11} \end{equation*} $$

য’ত $A_x$ আৰু $A_y$ হ’ল বাস্তৱ সংখ্যা।

গতিকে, $\hspace{30mm}\mathbf{A}=A_x \dot{\hat{\mathbf{i}}}+A_y \hat{\mathbf{j}}\hspace{64mm} (3.12)$

ইয়াক চিত্ৰ ৩.৯(গ)ত প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হৈছে। ৰাশিসমূহ $A_x$ আৰু $A_y$ ক ভেক্টৰ A ৰ $x$-, আৰু $y$-উপাংশ বোলা হয়। মন কৰক যে $A_x$ নিজে ভেক্টৰ নহয়, কিন্তু $A_x \hat{\mathbf{i}}$ এটা ভেক্টৰ, আৰু $A_y \hat{\mathbf{j}}$ ও তেনেকুৱা। সহজ ত্ৰিকোণমিতি ব্যৱহাৰ কৰি, আমি $A_x$ আৰু $A_y$ ক $\mathbf{A}$ ৰ মান আৰু ইয়ে $\theta$ কোণ $x$-অক্ষৰ সৈতে কৰে তাৰ পৰিভাষাত প্ৰকাশ কৰিব পাৰো:

$$ \begin{align*} & A _{x}=A \cos \theta \\ & A _{y}=A \sin \theta \tag{3.13} \end{align*} $$

সমীকৰণ (৩.১৩)ৰ পৰা স্পষ্ট, ভেক্টৰ এটাৰ উপাংশ এটা ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা শূন্য হ’ব পাৰে $\theta$ ৰ মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি।

এতিয়া, সমতলত এটা ভেক্টৰ $\mathbf{A}$ নিৰ্দিষ্ট কৰিবলৈ আমাৰ দুটা উপায় আছে। ইয়াক নিৰ্দিষ্ট কৰিব পাৰি:

(i) ইয়াৰ মান $A$ আৰু দিশ $\theta$ যি ইয়ে $x$-অক্ষৰ সৈতে কৰে; বা

(ii) ইয়াৰ উপাংশ $A_x$ আৰু $A_y$

যদি $\mathrm{A}$ আৰু $\theta$ দিয়া থাকে, $A_x$ আৰু $A_y$ সমীকৰণ (৩.১৩) ব্যৱহাৰ কৰ