অধ্যায় ১২ পরমাণু

উত্তর

(ক) থমসনের মডেল এবং রাদারফোর্ডের মডেলে নেওয়া পরমাণুর আকারের ক্রম একই।

(খ) থমসনের মডেলের ভূমি অবস্থায়, ইলেকট্রনগুলি স্থিতিশীল সাম্যাবস্থায় থাকে। তবে, রাদারফোর্ডের মডেলে, ইলেকট্রনগুলি সর্বদা একটি নেট বল অনুভব করে।

(গ) রাদারফোর্ডের মডেলের উপর ভিত্তি করে একটি ধ্রুপদী পরমাণু ধ্বংসের দিকে ধাবিত।

(ঘ) থমসনের মডেলে একটি পরমাণুর ভর বণ্টন প্রায় অবিচ্ছিন্ন, কিন্তু রাদারফোর্ডের মডেলে অত্যন্ত অসম।

(ঙ) পরমাণুর ধনাত্মক আধানযুক্ত অংশ উভয় মডেলেই ভরের অধিকাংশ ধারণ করে।

উত্তর

আলফা-কণা বিক্ষেপণ পরীক্ষায়, যদি সোনার পাতের পরিবর্তে একটি পাতলা কঠিন হাইড্রোজেন পাত ব্যবহার করা হয়, তবে বিক্ষেপণ কোণ যথেষ্ট বড় হবে না। এর কারণ হল হাইড্রোজেন $\left(1.67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)$ এর ভর আপতিত $\alpha$-কণার ভর (6.64 $\left.\times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)$) এর চেয়ে কম। সুতরাং, বিক্ষেপণকারী কণার ভর লক্ষ্য নিউক্লিয়াস (হাইড্রোজেন) এর চেয়ে বেশি। ফলস্বরূপ, $\alpha$-কণাগুলি পিছনে ফিরে আসবে না যদি $\alpha$-কণা বিক্ষেপণ পরীক্ষায় কঠিন হাইড্রোজেন ব্যবহার করা হয়।

উত্তর

একটি পরমাণুতে দুটি শক্তিস্তরের পৃথকীকরণ,

$E=2.3 \mathrm{eV}$

$=2.3 \times 1.6 \times 10^{-19}$

$=3.68 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

ধরা যাক $v$ হল সেই বিকিরণের কম্পাঙ্ক যা পরমাণুটি উপরের স্তর থেকে নিচের স্তরে রূপান্তরিত হলে নির্গত হয়।

আমাদের কাছে শক্তির সম্পর্কটি হল:

$$ E=h v $$

যেখানে,

$$ \begin{aligned} & h= \\ & \begin{aligned} \therefore v & =\frac{E}{h} \\ & =\frac{3.68 \times 10^{-19}}{6.62 \times 10^{-32}}=5.55 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} \end{aligned} $$

সুতরাং, বিকিরণের কম্পাঙ্ক হল $5.6 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$।

উত্তর

হাইড্রোজেন পরমাণুর ভূমি অবস্থার শক্তি, $E=-13.6 \mathrm{eV}$

এটি একটি হাইড্রোজেন পরমাণুর মোট শক্তি। গতিশক্তি মোট শক্তির ঋণাত্মকের সমান।

গতিশক্তি $=-E=-(-13.6)=13.6 \mathrm{eV}$

বিভবশক্তি গতিশক্তির দ্বিগুণের ঋণাত্মকের সমান।

বিভবশক্তি $=-2 \times(13.6)=-27.2 \mathrm{eV}$

উত্তর

ভূমি স্তরের জন্য, $n_{1}=1$

ধরা যাক $E_{1}$ হল এই স্তরের শক্তি। এটি জানা আছে যে $E_{1}$ এর সাথে $n_{1}$ এর সম্পর্ক হল:

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{-13.6}{n_{1}^{2}} \mathrm{eV} \\ & =\frac{-13.6}{1^{2}}=-13.6 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

পরমাণুটি একটি উচ্চতর স্তরে উত্তেজিত হয়, $n_{2}=4$।

ধরা যাক $E_{2}$ হল এই স্তরের শক্তি।

$$ \begin{aligned} \therefore E_{2} & =\frac{-13.6}{n_{2}^{2}} \mathrm{eV} \\ & =\frac{-13.6}{4^{2}}=-\frac{13.6}{16} \mathrm{eV} \end{aligned} $$

ফোটন দ্বারা শোষিত শক্তির পরিমাণ দেওয়া হয়েছে:

$$ \begin{aligned} E & =E_{2}-E_{1} \\ & =\frac{-13.6}{16}-\left(-\frac{13.6}{1}\right) \\ & =\frac{13.6 \times 15}{16} \mathrm{eV} \\ & =\frac{13.6 \times 15}{16} \times 1.6 \times 10^{-19}=2.04 \times 10^{-18} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

$\lambda$ তরঙ্গদৈর্ঘ্যের একটি ফোটনের জন্য, শক্তির প্রকাশটি এভাবে লেখা হয়:

$$ E=\frac{h c}{\lambda} $$

যেখানে,

$$ \begin{aligned} & h=\text { Planck’s constant }=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & c=\text { Speed of light }=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\ & \therefore \lambda=\frac{h c}{E} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{2.04 \times 10^{-18}} \\ & =9.7 \times 10^{-8} \mathrm{~m}=97 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

এবং, একটি ফোটনের কম্পাঙ্ক সম্পর্ক দ্বারা দেওয়া হয়,

$$ \begin{aligned} v & =\frac{c}{\lambda} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{9.7 \times 10^{-8}} \approx 3.1 \times 10^{15} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

সুতরাং, ফোটনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য হল $97 \mathrm{~nm}$ এবং কম্পাঙ্ক হল $3.1 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$।

উত্তর

ধরা যাক $v_{1}$ হল হাইড্রোজেন পরমাণুর ভূমি অবস্থার স্তরে ইলেকট্রনের কক্ষীয় গতি, $n_{1}$ $=1$। একটি ইলেকট্রনের আধানের ($e$) জন্য, $v_{1}$ সম্পর্ক দ্বারা দেওয়া হয়,

$$ v_{1}=\frac{e^{2}}{n_{1} 4 \pi \epsilon_{0}(h / 2 \pi)}=\frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h} $$

যেখানে,

$$ \begin{aligned} & e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} \\ & \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space }=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{C}^{2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & h=\text { Planck’s constant }=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & \begin{aligned} \therefore v_{1} & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =0.0218 \times 10^{8}=2.18 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} \end{aligned} $$

$n_{2}=2$ স্তরের জন্য, আমরা সংশ্লিষ্ট কক্ষীয় গতির জন্য সম্পর্কটি লিখতে পারি:

$$ \begin{aligned} v_{2} & =\frac{e^{2}}{n_{2} 2 \epsilon_{0} h} \\ & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{2 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =1.09 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

এবং, $n_{3}=3$ স্তরের জন্য, আমরা সংশ্লিষ্ট কক্ষীয় গতির জন্য সম্পর্কটি লিখতে পারি:

$$ \begin{aligned} v_{3} & =\frac{e^{2}}{n_{3} 2 \epsilon_{0} h} \\ & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{3 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =7.27 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

সুতরাং, হাইড্রোজেন পরমাণুর একটি ইলেকট্রনের গতি $n=1, \mathrm{n}=2$, এবং $\mathrm{n}=3$ স্তরে যথাক্রমে $2.18 \times 10^{6}$ $\mathrm{m} / \mathrm{s}, 1.09 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, 7.27 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$।

ধরা যাক $T_{1}$ হল ইলেকট্রনের কক্ষীয় পর্যায়কাল যখন এটি $n_{1}=1$ স্তরে থাকে।

কক্ষীয় পর্যায়কাল কক্ষীয় গতির সাথে সম্পর্কিত:

$T_{1}=\frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}}$

যেখানে,

$r_{1}=$ কক্ষপথের ব্যাসার্ধ

$=\frac{n_{1}^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$

$h=$ প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক $=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$e=$ একটি ইলেকট্রনের আধান $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$\epsilon_{0}=$ মুক্ত স্থানের তড়িৎভেদ্যতা $=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{C}^{2} \mathrm{~m}^{-2}$

$m=$ একটি ইলেকট্রনের ভর $=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

$$ \begin{aligned} \therefore T_{1} & =\frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}} \\ & =\frac{2 \pi \times(1)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{2.18 \times 10^{6} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & =15.27 \times 10^{-17}=1.527 \times 10^{-16} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

$n_{2}=2$ স্তরের জন্য, আমরা পর্যায়কালটি লিখতে পারি:

$T_{2}=\frac{2 \pi r_{2}}{v_{2}}$

যেখানে,

$r_{2}=$ $n_{2}=2$ স্তরে ইলেকট্রনের ব্যাসার্ধ

$$ \begin{aligned} & =\frac{\left(n_{2}\right)^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} \\ & \therefore T_{2}=\frac{2 \pi r_{2}}{v_{2}} \\ & \quad=\frac{2 \pi \times(2)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{1.09 \times 10^{6} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & \quad=1.22 \times 10^{-15} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

এবং, $n_{3}=3$ স্তরের জন্য, আমরা পর্যায়কালটি লিখতে পারি:

$$ T_{3}=\frac{2 \pi r_{3}}{v_{3}} $$

যেখানে,

$r_{3}=$ $n_{3}=3$ স্তরে ইলেকট্রনের ব্যাসার্ধ

$$ =\frac{\left(n_{3}\right)^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} $$

$$ \begin{aligned} \therefore T_{3} & =\frac{2 \pi r_{3}}{v_{3}} \\ & =\frac{2 \pi \times(3)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{7.27 \times 10^{5} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & =4.12 \times 10^{-15} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

সুতরাং, এই প্রতিটি স্তরে কক্ষীয় পর্যায়কাল যথাক্রমে $1.52 \times 10^{-16} \mathrm{~s}, 1.22 \times 10^{-15} \mathrm{~s}$, এবং 4.12 $\times 10^{-15}$ s।

উত্তর

একটি হাইড্রোজেন পরমাণুর সর্ব-অন্তরতম কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, $r_{1}=5.3 \times 10^{-11} \mathrm{~m}$।

ধরা যাক $r_{2}$ হল $n=2$ স্তরে কক্ষপথের ব্যাসার্ধ। এটি সর্ব-অন্তরতম কক্ষপথের ব্যাসার্ধের সাথে সম্পর্কিত:

$$ \begin{aligned} r_{2} & =(n)^{2} r_{1} \\ & =4 \times 5.3 \times 10^{-11}=2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

$n=3$ স্তরের জন্য, আমরা সংশ্লিষ্ট ইলেকট্রন ব্যাসার্ধ লিখতে পারি:

$$ \begin{aligned} r_{3} & =(n)^{2} r_{1} \\ & =9 \times 5.3 \times 10^{-11}=4.77 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

সুতরাং, $n=2$ এবং $n=3$ কক্ষপথের জন্য একটি ইলেকট্রনের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$ এবং $4.77 \times$ $10^{-10} \mathrm{~m}$।

উত্তর

দেওয়া আছে যে ঘরের তাপমাত্রায় গ্যাসীয় হাইড্রোজেনকে বোমাবর্ষণ করতে ব্যবহৃত ইলেকট্রন রশ্মির শক্তি $12.5 \mathrm{eV}$। এছাড়াও, ঘরের তাপমাত্রায় তার ভূমি অবস্থায় গ্যাসীয় হাইড্রোজেনের শক্তি $-13.6 \mathrm{eV}$।

যখন গ্যাসীয় হাইড্রোজেনকে একটি ইলেকট্রন রশ্মি দিয়ে বোমাবর্ষণ করা হয়, তখন গ্যাসীয় হাইড্রোজেনের শক্তি হয়ে যায় $-13.6+12.5 \mathrm{eV}$ অর্থাৎ, $-1.1 \mathrm{eV}$।

কক্ষীয় শক্তি কক্ষপথ স্তর ($n$) এর সাথে সম্পর্কিত:

$E=\frac{-13.6}{(n)^{2}} \mathrm{eV}$

$n=3, \quad E=\frac{-13.6}{9}=-1.5 \mathrm{eV}$ এর জন্য

এই শক্তি আনুমানিক গ্যাসীয় হাইড্রোজেনের শক্তির সমান। এটি উপসংহারে আসা যেতে পারে যে ইলেকট্রনটি $n=1$ থেকে $n=3$ স্তরে লাফিয়ে গেছে।

এর উত্তেজনা মোচনের সময়, ইলেকট্রনগুলি সরাসরি $n=3$ থেকে $n=1$ এ লাফ দিতে পারে, যা হাইড্রোজেন বর্ণালীর লাইম্যান শ্রেণির একটি রেখা গঠন করে।

লাইম্যান শ্রেণির জন্য তরঙ্গ সংখ্যার সম্পর্ক আমাদের আছে:

$\frac{1}{\lambda}=R_{y}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)$

যেখানে,

$R_{\mathrm{y}}=$ রিডবার্গ ধ্রুবক $=1.097 \times 10^{7} \mathrm{~m}^{-1}$

$\lambda=$ ইলেকট্রনের রূপান্তর দ্বারা নির্গত বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য

$n=3$ এর জন্য, আমরা $\lambda$ পেতে পারি:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(1-\frac{1}{9}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{8}{9} \\ \lambda & =\frac{9}{8 \times 1.097 \times 10^{7}}=102.55 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

যদি ইলেকট্রন $n=2$ থেকে $n=1$ এ লাফ দেয়, তবে বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য দেওয়া হয়:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(1-\frac{1}{4}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{3}{4} \\ \lambda & =\frac{4}{1.097 \times 10^{7} \times 3}=121.54 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

যদি রূপান্তরটি $n=3$ থেকে $n=2$ এ ঘটে, তবে বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য দেওয়া হয়:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{5}{36} \\ \lambda & =\frac{36}{5 \times 1.097 \times 10^{7}}=656.33 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

এই বিকিরণ হাইড্রোজেন বর্ণালীর বামার শ্রেণির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ।

সুতরাং, লাইম্যান শ্রেণিতে, দুটি তরঙ্গদৈর্ঘ্য অর্থাৎ $102.5 \mathrm{~nm}$ এবং $121.5 \mathrm{~nm}$ নির্গত হয়। এবং বামার শ্রেণিতে, একটি তরঙ্গদৈর্ঘ্য অর্থাৎ $656.33 \mathrm{~nm}$ নির্গত হয়।

উত্তর

সূর্যের চারদিকে পৃথিবীর কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, $r=1.5 \times 10^{11} \mathrm{~m}$

পৃথিবীর কক্ষীয় গতি, $v=3 \times 10^{4} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

পৃথিবীর ভর, $m=6.0 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$

বোরের মডেল অনুসারে, কৌণিক ভরবেগ কোয়ান্টায়িত এবং এভাবে প্রকাশিত:

$$ m v r=\frac{n h}{2 \pi} $$

যেখানে,

$h=$ প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক $=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$n=$ কোয়ান্টাম সংখ্যা

$$ \begin{aligned} \therefore n & =\frac{m v r 2 \pi}{h} \\ & =\frac{2 \pi \times 6 \times 10^{24} \times 3 \times 10^{4} \times 1.5 \times 10^{11}}{6.62 \times 10^{-34}} \\ & =25.61 \times 10^{73}=2.6 \times 10^{74} \end{aligned} $$

সুতরাং, পৃথিবীর পরিক্রমণকে চিহ্নিতকারী কোয়ান্টাম সংখ্যাটি হল $2.6 \times 10^{74}$।