অধ্যায় ২ স্থিরতড়িৎ বিভব ও ধারকত্ব

উত্তর

দুটি আধান আছে,

$q_{1}=5 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

$q_{2}=-3 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

দুটি আধানের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $d=16 \mathrm{~cm}=0.16 \mathrm{~m}$

দুটি আধানকে যুক্তকারী রেখার উপর একটি বিন্দু $\mathrm{P}$ বিবেচনা করো, প্রদত্ত চিত্রে দেখানো হয়েছে।

$r=$ বিন্দু $\mathrm{P}$ থেকে আধান $q_{1}$ এর দূরত্ব

ধরা যাক, বিন্দু $\mathrm{P}$ এ তড়িৎ বিভব $(V)$ শূন্য।

বিন্দু $\mathrm{P}$ এ বিভব হল আধান $q_{1}$ এবং $q_{2}$ এর কারণে সৃষ্ট বিভবের সমষ্টি।

$\therefore V=\frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)}$

যেখানে,

$\in_{0}=$ শূন্যস্থানের ভেদনযোগ্যতা

$V=0$ এর জন্য, সমীকরণ (i) দাঁড়ায়

$$ \begin{aligned} & \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)} \\ & \frac{q_{1}}{r}=\frac{-q_{2}}{d-r} \\ & \frac{5 \times 10^{-8}}{r}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(0.16-r)} \\ & \frac{0.16}{r}-1=\frac{3}{5} \\ & \frac{0.16}{r}=\frac{8}{5} \\ & \therefore r=0.1 \mathrm{~m}=10 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

সুতরাং, ধনাত্মক আধান থেকে $10 \mathrm{~cm}$ দূরত্বে, আধানদ্বয়ের মধ্যবর্তী স্থানে বিভব শূন্য।

ধরা যাক, বিন্দু $\mathrm{P}$ দুটি আধানের ব্যবস্থার বাইরে ঋণাত্মক আধান থেকে $s$ দূরত্বে অবস্থিত, যেখানে বিভব শূন্য, নিচের চিত্রে দেখানো হয়েছে।

এই বিন্যাসের জন্য, বিভব দেওয়া হয়,

$$ \begin{equation*} V=\frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0} s}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} \tag{ii} \end{equation*} $$

$V=0$ এর জন্য, সমীকরণ (ii) দাঁড়ায়

$$ \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} s}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} $$

$\frac{q_{1}}{s}=\frac{-q_{2}}{s-d}$

$\frac{5 \times 10^{-8}}{s}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(s-0.16)}$

$1-\frac{0.16}{s}=\frac{3}{5}$

$\frac{0.16}{s}=\frac{2}{5}$

$\therefore s=0.4 \mathrm{~m}=40 \mathrm{~cm}$

সুতরাং, ধনাত্মক আধান থেকে $40 \mathrm{~cm}$ দূরত্বে, আধান ব্যবস্থার বাইরে বিভব শূন্য।

উত্তর

প্রদত্ত চিত্রে একটি সুষম ষড়ভুজের শীর্ষে সমপরিমাণ ছয়টি আধান $q$ দেখানো হয়েছে।

যেখানে,

আধান, $q=5 \mu \mathrm{C}=5 \times 10^{-6} \mathrm{C}$

ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, $l=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FA}=10 \mathrm{~cm}$

কেন্দ্র $\mathrm{O}, d=10 \mathrm{~cm}$ থেকে প্রতিটি শীর্ষের দূরত্ব

বিন্দু $\mathrm{O}$ এ তড়িৎ বিভব,

$$ V=\frac{6 \times q}{4 \pi \epsilon_{0} d} $$

যেখানে,

$$ \in_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & \therefore V=\frac{6 \times 9 \times 10^{9} \times 5 \times 10^{-6}}{0.1} \\ & \quad=2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V} \end{aligned} $$

সুতরাং, ষড়ভুজের কেন্দ্রে বিভব হল $2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V}$।

উত্তর

পরিস্থিতিটি প্রদত্ত চিত্রে দেখানো হয়েছে।

একটি সমবিভব পৃষ্ঠ হল সেই সমতল যেখানে মোট বিভব সর্বত্র শূন্য। এই সমতলটি $\mathrm{AB}$ রেখার উপর লম্ব। সমতলটি $\mathrm{AB}$ রেখার মধ্যবিন্দুতে অবস্থিত কারণ আধানের মান সমান।

এই পৃষ্ঠের প্রতিটি বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্রের দিক হল সমতলের লম্ব বরাবর $\mathrm{AB}$ এর দিকে।

উত্তর

গোলাকার পরিবাহীর ব্যাসার্ধ, $r=12 \mathrm{~cm}=0.12 \mathrm{~m}$

আধান পরিবাহীর উপর সমভাবে বিতরণ করা, $q=1.6 \times 10^{-7} \mathrm{C}$

একটি গোলাকার পরিবাহীর ভিতরে তড়িৎ ক্ষেত্র শূন্য। এর কারণ হল, যদি পরিবাহীর ভিতরে ক্ষেত্র থেকে থাকে, তবে আধানগুলি সেটিকে প্রশমিত করতে সরে যাবে।

পরিবাহীর ঠিক বাইরে তড়িৎ ক্ষেত্র $E$ সম্পর্ক দ্বারা দেওয়া হয়,

$$ E=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} $$

যেখানে,

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{C}^{-2}$

$\therefore E=\frac{1.6 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^{-9}}{(0.12)^{2}}$

$=10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$

সুতরাং, গোলকের ঠিক বাইরে তড়িৎ ক্ষেত্র হল $10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$।

গোলকের কেন্দ্র থেকে $18 \mathrm{~m}$ দূরত্বে একটি বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্র $=E_{1}$

কেন্দ্র থেকে বিন্দুটির দূরত্ব, $d=18 \mathrm{~cm}=0.18 \mathrm{~m}$

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{q}{4 \pi \in_{0} d^{2}} \\ & =\frac{9 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-7}}{\left(18 \times 10^{-2}\right)^{2}} \\ & =4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C} \end{aligned} $$

সুতরাং, গোলকের কেন্দ্র থেকে $18 \mathrm{~cm}$ দূরত্বে একটি বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্র হল

$4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

ধারকের সমান্তরাল পাতদ্বয়ের মধ্যবর্তী ধারকত্ব, $\mathrm{C}=8 \mathrm{pF}$

প্রাথমিকভাবে, সমান্তরাল পাতদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ছিল $d$ এবং সেটি বায়ু দ্বারা পূর্ণ ছিল। বায়ুর ভেদনযোগ্যতা ধ্রুবক, $k=1$

ধারকত্ব, $C$, সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়,

$$ \begin{align*} C & =\frac{k \in_{0} A}{d} \\ & =\frac{\in_{0} A}{d} \tag{i} \end{align*} $$

যেখানে,

$A=$ প্রতিটি পাতের ক্ষেত্রফল

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

যদি পাতদের মধ্যবর্তী দূরত্ব অর্ধেক কমে যায়, তবে নতুন দূরত্ব, $d=\frac{d}{2}$

পাতদের মধ্যবর্তী স্থান পূর্ণকারী পদার্থের ভেদনযোগ্যতা ধ্রুবক, $k^{\prime}=6$

সুতরাং, ধারকের ধারকত্ব হয়

$$ \begin{equation*} C^{\prime}=\frac{k^{\prime} \in_{0} A}{d^{\prime}}=\frac{6 \in_{0} A}{\frac{d}{2}} \tag{ii} \end{equation*} $$

সমীকরণ (i) এবং (ii) এর অনুপাত নিলে, আমরা পাই

$$ \begin{aligned} C^{\prime} & =2 \times 6 C \\ & =12 C \\ & =12 \times 8=96 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

সুতরাং, পাতদের মধ্যবর্তী ধারকত্ব হল $96 \mathrm{pF}$।

উত্তর

তিনটি ধারকের প্রতিটির ধারকত্ব, $C=9 \mathrm{pF}$

ধারকগুলির সমন্বয়ের তুল্য ধারকত্ব $\left(C^{\prime}\right)$ সম্পর্ক দ্বারা দেওয়া হয়,

$$ \begin{aligned} \frac{1}{C^{\prime}} & =\frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & =\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \end{aligned} $$

$\therefore C^{\prime}=3 \mu \mathrm{F}$

সুতরাং, সমন্বয়ের মোট ধারকত্ব হল $3 \mu \mathrm{F}$।

সরবরাহ বিভব, $V=100 \mathrm{~V}$

প্রতিটি ধারকের বিভব পার্থক্য $\left(V^{\prime}\right)$ সরবরাহ বিভবের এক-তৃতীয়াংশের সমান।

$$ \therefore V^{\prime}=\frac{V}{3}=\frac{120}{3}=40 \mathrm{~V} $$

সুতরাং, প্রতিটি ধারকের বিভব পার্থক্য হল $40 \mathrm{~V}$।

উত্তর

প্রদত্ত ধারকগুলির ধারকত্ব হল

$$ \begin{aligned} & C_{1}=2 \mathrm{pF} \\ & C_{2}=3 \mathrm{pF} \\ & C_{3}=4 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

ধারকগুলির সমান্তরাল সমন্বয়ের জন্য, তুল্য ধারক $C^{\prime}$ বীজগণিতীয় সমষ্টি দ্বারা দেওয়া হয়,

$$ C^{\prime}=2+3+4=9 \mathrm{pF} $$

সুতরাং, সমন্বয়ের মোট ধারকত্ব হল $9 \mathrm{pF}$।

সরবরাহ বিভব, $V=100 \mathrm{~V}$

তিনটি ধারকের মধ্য দিয়ে বিভব একই $=V=100 \mathrm{~V}$

$C$ ধারকত্ব এবং $V$ বিভব পার্থক্যের একটি ধারকের আধান সম্পর্ক দ্বারা দেওয়া হয়,

$q=V C \ldots$ (i)

$\mathrm{C}=2 \mathrm{pF}$ এর জন্য,

আধান $=V C=100 \times 2=200 \mathrm{pC}=2 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=3 \mathrm{pF}$ এর জন্য,

আধান $=V C=100 \times 3=300 \mathrm{pC}=3 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=4 \mathrm{pF}$ এর জন্য,

আধান $=V C=100 \times 4=200 \mathrm{pC}=4 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

উত্তর

সমান্তরাল পাত ধারকের প্রতিটি পাতের ক্ষেত্রফল, $A=6 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$

পাতদের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $d=3 \mathrm{~mm}=3 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

সরবরাহ বিভব, $V=100 \mathrm{~V}$

একটি সমান্তরাল পাত ধারকের ধারকত্ব $C$ দেওয়া হয়,

$C=\frac{\in_{0} A}{d}$

যেখানে,

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$=8.854 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{C}^{-2}$

$$ \begin{aligned} \therefore C & =\frac{8.854 \times 10^{-12} \times 6 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}} \\ & =17.71 \times 10^{-12} \mathrm{~F} \\ & =17.71 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

বিভব $V$ আধান $q$ এবং ধারকত্ব $C$ এর সাথে সম্পর্কিত

$$ \begin{aligned} & V=\frac{q}{C} \\ & \therefore q=V C \\ & =100 \times 17.71 \times 10^{-12} \\ & =1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C} \end{aligned} $$

সুতরাং, ধারকের ধারকত্ব হল $17.71 \mathrm{pF}$ এবং প্রতিটি পাতের আধান হল $1.771 \times$ $10^{-9} \mathrm{C}$।

উত্তর

মাইকা পাতের ভেদনযোগ্যতা ধ্রুবক, $k=6$

প্রাথমিক ধারকত্ব, $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

নতুন ধারকত্ব, $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

সরবরাহ বিভব, $V=100 \mathrm{~V}$

নতুন আধান, $q^{\prime}=C^{\prime} V=6 \times 1.771 \times 10^{-9}=1.06 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

পাতদের মধ্যে বিভব পার্থক্য $100 \mathrm{~V}$ থাকে।

ভেদনযোগ্যতা ধ্রুবক, $k=6$

প্রাথমিক ধারকত্ব, $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

নতুন ধারকত্ব, $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

যদি সরবরাহ বিভব অপসারণ করা হয়, তবে পাতগুলিতে আধানের পরিমাণের উপর কোন প্রভাব পড়বে না।

আধান $=1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C}$

পাতদের মধ্যে বিভব পার্থক্য দেওয়া হয়,

$$ \begin{aligned} \therefore V^{\prime} & =\frac{q}{C^{\prime}} \\ & =\frac{1.771 \times 10^{-9}}{106 \times 10^{-12}} \\ & =16.7 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

উত্তর

ধারকের ধারকত্ব, $C=12 \mathrm{pF}=12 \times 10^{-12} \mathrm{~F}$

বিভব পার্থক্য, $V=50 \mathrm{~V}$

ধারকে সঞ্চিত স্থিরতড়িৎ শক্তি সম্পর্ক দ্বারা দেওয়া হয়,

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-12} \times(50)^{2} \\ & =1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

সুতরাং, ধারকে সঞ্চিত স্থিরতড়িৎ শক্তি হল $1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J}$।

উত্তর

ধারকের ধারকত্ব, $C=600 \mathrm{pF}$

বিভব পার্থক্য, $V=200 \mathrm{~V}$

ধারকে সঞ্চিত স্থিরতড়িৎ শক্তি দেওয়া হয়,

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times\left(600 \times 10^{-12}\right) \times(200)^{2} \\ & =1.2 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

যদি ধারকটি সরবরাহ থেকে বিচ্ছিন্ন করা হয় এবং $C=600$ $\mathrm{pF}$ ধারকত্বের অন্য একটি ধারক এর সাথে সংযুক্ত করা হয়, তবে সমন্বয়ের তুল্য ধারকত্ব $(C)$ দেওয়া হয়,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{C^{\prime}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & \quad=\frac{1}{600}+\frac{1}{600}=\frac{2}{600}=\frac{1}{300} \\ & \therefore C^{\prime}=300 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

নতুন স্থিরতড়িৎ শক্তি হিসাব করা যায়

$$ \begin{aligned} E^{\prime} & =\frac{1}{2} \times C^{\prime} \times V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 300 \times(200)^{2} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

স্থিরতড়িৎ শক্তির ক্ষতি $=E-E^{\prime}$

$$ \begin{aligned} & =1.2 \times 10^{-5}-0.6 \times 10^{-5} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \\ & =6 \times 10^{-6} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

সুতরাং, প্রক্রিয়ায় হারানো স্থিরতড়িৎ শক্তি হল $6 \times 10^{-6} \mathrm{~J}$।