ಅಧ್ಯಾಯ 11 ವಿಕಿರಣ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯದ ದ್ವೈತ ಸ್ವರೂಪ

ಉತ್ತರ

ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳ ವಿಭವ, $V=30 \mathrm{kV}=3 \times 10^{4} \mathrm{~V}$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳ ಶಕ್ತಿ, $E=3 \times 10^{4} \mathrm{eV}$

ಇಲ್ಲಿ,

$e=$ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿನ ಮೇಲಿನ ಆವೇಶ $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

(ಅ)$\mathrm{X}$-ಕಿರಣಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗರಿಷ್ಠ ಆವೃತ್ತಿ $=v$

ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$E=h v$

ಇಲ್ಲಿ,

$h=$ ಪ್ಲಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ $=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$\therefore v=\frac{E}{h}$

$$ =\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^{4}}{6.626 \times 10^{-34}}=7.24 \times 10^{18} \mathrm{~Hz} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಎಕ್ಸ್-ಕಿರಣಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಆವೃತ್ತಿ $7.24 \times 10^{18} \mathrm{~Hz}$.

(ಬ)ಎಕ್ಸ್-ಕಿರಣಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಕನಿಷ್ಠ ತರಂಗಾಂತರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{7.24 \times 10^{18}}=4.14 \times 10^{-11} \mathrm{~m}=0.0414 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಎಕ್ಸ್-ಕಿರಣಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ತರಂಗಾಂತರ $0.0414 \mathrm{~nm}$.

ಉತ್ತರ

ಸೀಸಿಯಮ್ ಲೋಹದ ಕಾರ್ಯ ಕ್ರಿಯಾಂಕ, $\phi_{0}=2.14 \mathrm{eV}$

ಬೆಳಕಿನ ಆವೃತ್ತಿ, $v=6.0 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

(ಅ)ಗರಿಷ್ಠ ಗತಿಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಫೋಟೋವಿದ್ಯುತ್ ಪರಿಣಾಮದಿಂದ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$ K=h v-\phi_{0} $$

ಇಲ್ಲಿ,

$$ \begin{aligned} & h=\text { Planck’s constant }=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & \therefore K=\frac{6.626 \times 10^{34} \times 6 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{-19}}-2.14 \\ & \quad=2.485-2.140=0.345 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ಸರ್ಜಿತ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಗತಿಶಕ್ತಿ $0.345 \mathrm{eV}$.

(ಬ)ನಿಲುಗಡೆ ವಿಭವ $V_{0}$ ಗಾಗಿ, ನಾವು ಗತಿಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

$$ \begin{aligned} & K=e V_{0} \\ & \therefore V_{0}=\frac{K}{e} \\ & \quad=\frac{0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}=0.345 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಸ್ತುವಿನ ನಿಲುಗಡೆ ವಿಭವ $0.345 \mathrm{~V}$.

(ಸಿ)ಉತ್ಸರ್ಜಿತ ಫೋಟೋಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ವೇಗ $=v$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗತಿಶಕ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

$$ K=\frac{1}{2} m v^{2} $$

ಇಲ್ಲಿ,

$$ \begin{aligned} m & =\text { Mass of an electron }=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \\ v^{2} & =\frac{2 K}{m} \\ & =\frac{2 \times 0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}=0.1104 \times 10^{12} \\ \therefore v & =3.323 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=332.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ಸರ್ಜಿತ ಫೋಟೋಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ವೇಗ $332.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$.

ಉತ್ತರ

ಫೋಟೋವಿದ್ಯುತ್ ನಿಲುಗಡೆ ವಿಭವ, $V_{0}=1.5 \mathrm{~V}$

ಉತ್ಸರ್ಜಿತ ಫೋಟೋಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಗತಿಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$ K_{e}=e V_{0} $$

ಇಲ್ಲಿ,

$e=$ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿನ ಮೇಲಿನ ಆವೇಶ $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$$ \begin{aligned} \therefore K_{e} & =1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 \\ & =2.4 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಉತ್ಸರ್ಜಿತ ಫೋಟೋಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಗತಿಶಕ್ತಿ $2.4 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$.

ಉತ್ತರ

ಏಕವರ್ಣೀ ಬೆಳಕಿನ ತರಂಗಾಂತರ, $\lambda=632.8 \mathrm{~nm}=632.8 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

ಲೇಸರ್ನಿಂದ ಹೊರಸೂಸುವ ಶಕ್ತಿ, $P=9.42 \mathrm{~mW}=9.42 \times 10^{-3} \mathrm{~W}$

ಪ್ಲಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ಬೆಳಕಿನ ವೇಗ, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಪರಮಾಣುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, $m=1.66 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$

(ಅ)ಪ್ರತಿ ಫೋಟಾನ್ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{h c}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{632.8 \times 10^{-9}}=3.141 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ಪ್ರತಿ ಫೋಟಾನ್ ಆವೇಗವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$ \begin{aligned} P & =\frac{h}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34}}{632.8}=1.047 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

(ಬ)ಕಿರಣದಿಂದ ವಿಕಿರಣಗೊಳಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಗುರಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ತಲುಪುವ ಫೋಟಾನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=n$

ಕಿರಣವು ಗುರಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಏಕರೂಪದ ಅಡ್ಡ-ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

$$ \begin{aligned} P & =n E \\ \therefore n & =\frac{P}{E} \\ & =\frac{9.42 \times 10^{-3}}{3.141 \times 10^{-19}} \approx 3 \times 10^{16} \text { photon } / \mathrm{s} \end{aligned} $$

(ಸಿ)ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಪರಮಾಣುವಿನ ಆವೇಗವು ಫೋಟಾನ್ ಆವೇಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, $p=1.047 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

ಆವೇಗವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$p=m v$

ಇಲ್ಲಿ,

$v=$ ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಪರಮಾಣುವಿನ ವೇಗ

$$ \begin{aligned} \therefore v & =\frac{p}{m} \\ & =\frac{1.047 \times 10^{-27}}{1.66 \times 10^{-27}}=0.621 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

ಉತ್ತರ

ನಿಲುಗಡೆ ವಿಭವ $(V)$ ಮತ್ತು ಪತನ ಬೆಳಕಿನ ಆವೃತ್ತಿ $(v)$ ನಡುವಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$\frac{V}{v}=4.12 \times 10^{-15} \mathrm{Vs}$

$V$ ಅನ್ನು ಆವೃತ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ:

$h v=e V$

ಇಲ್ಲಿ,

$e=$ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿನ ಮೇಲಿನ ಆವೇಶ $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$h=$ ಪ್ಲಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ

$\therefore h=e \times \frac{V}{v}$

$=1.6 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15}=6.592 \times 10^{-34} \mathrm{JS}$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ಲಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯ $6.592 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$.

ಉತ್ತರ

ಲೋಹದ ಮಿತಿ ಆವೃತ್ತಿ, $v_{0}=3.3 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

ಲೋಹದ ಮೇಲೆ ಪತನವಾಗುವ ಬೆಳಕಿನ ಆವೃತ್ತಿ, $v=8.2 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿನ ಮೇಲಿನ ಆವೇಶ, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

ಪ್ಲಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ಲೋಹದಿಂದ ಫೋಟೋವಿದ್ಯುತ್ ಉತ್ಸರ್ಜನೆಗೆ ನಿಲುಗಡೆ ವಿಭವ $=V_{0}$

ನಿಲುಗಡೆ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$ \begin{aligned} e V_{0} & =h\left(v-v_{0}\right) \\ V_{0} & =\frac{h\left(v-v_{0}\right)}{e} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times\left(8.2 \times 10^{14}-3.3 \times 10^{14}\right)}{1.6 \times 10^{-19}}=2.0292 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಫೋಟೋವಿದ್ಯುತ್ ಉತ್ಸರ್ಜನೆಗೆ ನಿಲುಗಡೆ ವಿಭವ $2.0292 \mathrm{~V}$.

ಉತ್ತರ

ಲೋಹದ ಕಾರ್ಯ ಕ್ರಿಯಾಂಕ, $\phi_{0}=4.2 \mathrm{eV}$

ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿನ ಮೇಲಿನ ಆವೇಶ, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

ಪ್ಲಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ಪತನ ವಿಕಿರಣದ ತರಂಗಾಂತರ, $\lambda=330 \mathrm{~nm}=330 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

ಬೆಳಕಿನ ವೇಗ, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ಪತನ ಫೋಟಾನ್ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{h c}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{330 \times 10^{-9}}=6.0 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & =\frac{6.0 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}=3.76 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

ಪತನ ವಿಕಿರಣದ ಶಕ್ತಿಯು ಲೋಹದ ಕಾರ್ಯ ಕ್ರಿಯಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಫೋಟೋವಿದ್ಯುತ್ ಉತ್ಸರ್ಜನೆ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ

ಪತನ ಫೋಟಾನ್ ಆವೃತ್ತಿ, $v=488 \mathrm{~nm}=488 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ವೇಗ, $v=6.0 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ಪ್ಲಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, $m=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

ಮಿತಿ ಆವೃತ್ತಿ $v_{0}$ ಗಾಗಿ, ಗತಿಶಕ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v^{2}=h\left(v-v_{0}\right) \\ & v_{0}=v-\frac{m v^{2}}{2 h} \\ & \quad=7.21 \times 10^{14}-\frac{\left(9.1 \times 10^{-31}\right) \times\left(6 \times 10^{5}\right)^{2}}{2 \times\left(6.626 \times 10^{-34}\right)} \\ & \quad=7.21 \times 10^{14}-2.472 \times 10^{14} \\ & \quad=4.738 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳ ಫೋಟೋ-ಉತ್ಸರ್ಜನೆಗೆ ಮಿತಿ ಆವೃತ್ತಿ $4.738 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$.

ಉತ್ತರ

ಆರ್ಗಾನ್ ಲೇಸರ್ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಬೆಳಕಿನ ತರಂಗಾಂತರ, $\lambda=488 \mathrm{~nm}$ $=488 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

ಫೋಟೋಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನುಗಳ ನಿಲುಗಡೆ ವಿಭವ, $V_{0}=0.38 \mathrm{~V}$

$$ \begin{aligned} & 1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & \therefore V_{0}=\frac{0.38}{1.6 \times 10^{-19}} \mathrm{eV} \end{aligned} $$

ಪ್ಲಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ, $h=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿನ ಮೇಲಿನ ಆವೇಶ, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

ಬೆಳಕಿನ ವೇಗ, $c=3 \times 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಫೋಟೋವಿದ್ಯುತ್ ಪರಿಣಾಮದಿಂದ, ಉತ್ಸರ್ಜಕದ ವಸ್ತುವಿನ ಕಾರ್ಯ ಕ್ರಿಯಾಂಕ $\Phi_{0}$ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

$$ \begin{aligned} & e V_{0}=\frac{h c}{\lambda}-\phi_{0} \\ & \phi_{0}=\frac{h c}{\lambda}-e V_{0} \\ & \quad=\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{1.6 \times 10^{-19} \times 488 \times 10^{-9}}-\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 0.38}{1.6 \times 10^{-19}} \\ & \quad=2.54-0.38=2.16 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ಸರ್ಜಕವನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾದ ವಸ್ತುವಿನ ಕಾರ್ಯ ಕ್ರಿಯಾಂಕ $2.16 \mathrm{eV}$.

ಉತ್ತರ

(ಅ)ಗುಂಡಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, $m=0.040 \mathrm{~kg}$

ಗುಂಡಿನ ವೇಗ, $v=1.0 \mathrm{~km} / \mathrm{s}=1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ಪ್ಲಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ, $h=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ಗುಂಡಿನ ಡಿ ಬ್ರೋಗ್ಲಿ ತರಂಗಾಂತರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.040 \times 1000}=1.65 \times 10^{-35} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

ಚೆಂಡಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, $m=0.060 \mathrm{~kg}$

ಚೆಂಡಿನ ವೇಗ, $v=1.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ಚೆಂಡಿನ ಡಿ ಬ್ರೋಗ್ಲಿ ತರಂಗಾಂತರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.060 \times 1}=1.1 \times 10^{-32} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

(ಸಿ)ಧೂಳಿನ ಕಣದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, $m=1 \times 10^{-9} \mathrm{~kg}$

ಧೂಳಿನ ಕಣದ ವೇಗ, $v=2.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ಧೂಳಿನ ಕಣದ ಡಿ ಬ್ರೋಗ್ಲಿ ತರಂಗಾಂತರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$ \lambda=\frac{h}{m v} $$

$=\frac{6.6 \times 10^{-34}}{2.2 \times 1 \times 10^{-9}}=3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~m}$

ಉತ್ತರ

$(h v)$ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಫೋಟಾನ್ ಆವೇಗವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$ \begin{align*} & p=\frac{h v}{c}=\frac{h}{\lambda} \\ & \lambda=\frac{h}{p} \tag{i} \end{align*} $$

ಇಲ್ಲಿ,

$\lambda=$ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ವಿಕಿರಣದ ತರಂಗಾಂತರ

$c=$ ಬೆಳಕಿನ ವೇಗ

$h=$ ಪ್ಲಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ

ಫೋಟಾನ್ ಡಿ ಬ್ರೋಗ್ಲಿ ತರಂಗಾಂತರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$\lambda=\frac{h}{m v}$

ಆದರೆ $p=m v$

$\therefore \lambda=\frac{h}{p}$

ಇಲ್ಲಿ,

$m=$ ಫೋಟಾನ್ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ

$v=$ ಫೋಟಾನ್ ವೇಗ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳು (i) ಮತ್ತು (ii) ನಿಂದ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ವಿಕಿರಣದ ತರಂಗಾಂತರವು ಫೋಟಾನ್ ಡಿ ಬ್ರೋಗ್ಲಿ ತರಂಗಾಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು.