प्रकरण 4 गतिमान आवेश आणि चुंबकत्व

उत्तर

वर्तुळाकार कुंडलावरील फेऱ्यांची संख्या, $n=100$

प्रत्येक फेरीची त्रिज्या, $r=8.0 \mathrm{~cm}=0.08 \mathrm{~m}$

कुंडलामधून वाहणारा प्रवाह, $I=0.4 \mathrm{~A}$

कुंडलाच्या केंद्रस्थानी चुंबकीय क्षेत्राचे परिमाण खालील संबंधाने दिले जाते,

$$ |\mathbf{B}|=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 \pi n I}{r} $$

येथे,

$$ \mu_{0}=\text { Permeability of free space } $$

$$ =4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1} $$

$$ \begin{aligned} |\mathbf{B}| & =\frac{4 \pi \times 10^{-7}}{4 \pi} \times \frac{2 \pi \times 100 \times 0.4}{0.08} \\ & =3.14 \times 10^{-4} \mathrm{~T} \end{aligned} $$

म्हणून, चुंबकीय क्षेत्राचे परिमाण $3.14 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$ आहे.

उत्तर

तारेमधील प्रवाह, $I=35 \mathrm{~A}$

तारेपासून बिंदूचे अंतर, $r=20 \mathrm{~cm}=0.2 \mathrm{~m}$

या बिंदूवर चुंबकीय क्षेत्राचे परिमाण खालीलप्रमाणे दिले जाते:

$$ B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 I}{r} $$

येथे,

$$ \begin{aligned} \mu_{0} & =\text { Permeability of free space }=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1} \\ B & =\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times 35}{4 \pi \times 0.2} \\ & =3.5 \times 10^{-5} \mathrm{~T} \end{aligned} $$

म्हणून, तारेपासून $20 \mathrm{~cm}$ अंतरावर असलेल्या बिंदूवर चुंबकीय क्षेत्राचे परिमाण $3.5 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$ आहे.

उत्तर

तारेमधील प्रवाह, $I=50 \mathrm{~A}$

एक बिंदू तारेच्या पूर्वेला $2.5 \mathrm{~m}$ अंतरावर आहे.

$\therefore$ तारेपासून बिंदूच्या अंतराचे परिमाण, $r=2.5 \mathrm{~m}$.

त्या बिंदूवर चुंबकीय क्षेत्राचे परिमाण खालील संबंधाने दिले जाते, $B=\frac{\mu_{0} 2 I}{4 \pi r}$

येथे,

$$ \begin{aligned} \mu_{0} & =\text { Permeability of free space }=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1} \\ B & =\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times 50}{4 \pi \times 2.5} \\ & =4 \times 10^{-6} \mathrm{~T} \end{aligned} $$

बिंदू तारेच्या लांबीला लंब असून $2.5 \mathrm{~m}$ अंतरावर स्थित आहे. तारेमधील प्रवाहाची दिशा अनुलंब खालच्या दिशेने आहे. म्हणून, मॅक्सवेलच्या उजव्या हाताच्या नियमानुसार, दिलेल्या बिंदूवर चुंबकीय क्षेत्राची दिशा अनुलंब वरच्या दिशेने आहे.

उत्तर

पॉवर लाईनमधील प्रवाह, $I=90 \mathrm{~A}$

बिंदू पॉवर लाईनच्या खाली, $r=1.5 \mathrm{~m}$ अंतरावर स्थित आहे.

म्हणून, त्या बिंदूवर चुंबकीय क्षेत्र खालील संबंधाने दिले जाते,

$$ B=\frac{\mu_{0} 2 I}{4 \pi r} $$

येथे,

$\mu_{0}=$ मुक्त अवकाशाची पारगम्यता $=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1}$

$B=\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times 90}{4 \pi \times 1.5}=1.2 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$

प्रवाह पूर्वेकडून पश्चिमेकडे वाहत आहे. बिंदू पॉवर लाईनच्या खाली आहे. म्हणून, मॅक्सवेलच्या उजव्या हाताच्या नियमानुसार, चुंबकीय क्षेत्राची दिशा दक्षिणेकडे आहे.

उत्तर

तारेमधील प्रवाह, $I=8 \mathrm{~A}$

एकसमान चुंबकीय क्षेत्राचे परिमाण, $B=0.15 \mathrm{~T}$

तार व चुंबकीय क्षेत्र यांच्यातील कोन, $\theta=30^{\circ}$.

तारेवरील प्रति एकक लांबीचे चुंबकीय बल खालीलप्रमाणे दिले जाते:

$f=B I \sin \theta$

$=0.15 \times 8 \times 1 \times \sin 30^{\circ}$

$=0.6 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1}$

म्हणून, तारेवरील प्रति एकक लांबीचे चुंबकीय बल $0.6 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1}$ आहे.

उत्तर

तारेची लांबी, $l=3 \mathrm{~cm}=0.03 \mathrm{~m}$

तारेमधून वाहणारा प्रवाह, $I=10 \mathrm{~A}$

चुंबकीय क्षेत्र, $B=0.27 \mathrm{~T}$

प्रवाह व चुंबकीय क्षेत्र यांच्यातील कोन, $\theta=90^{\circ}$

तारेवर कार्य करणारे चुंबकीय बल खालीलप्रमाणे दिले जाते:

$F=B I l \sin \theta$

$=0.27 \times 10 \times 0.03 \sin 90^{\circ}$

$=8.1 \times 10^{-2} \mathrm{~N}$

म्हणून, तारेवरील चुंबकीय बल $8.1 \times 10^{-2} \mathrm{~N}$ आहे. बलाची दिशा फ्लेमिंगच्या डाव्या हाताच्या नियमावरून मिळवता येते.

उत्तर

तार $\mathrm{A}, I_{\mathrm{A}}=8.0 \mathrm{~A}$ मधून वाहणारा प्रवाह

तार B मधून वाहणारा प्रवाह, $I_{\mathrm{B}}=5.0 \mathrm{~A}$

दोन्ही तारांमधील अंतर, $r=4.0 \mathrm{~cm}=0.04 \mathrm{~m}$

तार A च्या एका भागाची लांबी, $l=10 \mathrm{~cm}=0.1 \mathrm{~m}$

चुंबकीय क्षेत्रामुळे $l$ लांबीवर कार्य करणारे बल खालीलप्रमाणे दिले जाते:

$$ B=\frac{\mu_{0} 2 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} l}{4 \pi r} $$

येथे,

$\mu_{0}=$ मुक्त अवकाशाची पारगम्यता $=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1}$

$$ \begin{aligned} B & =\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times 8 \times 5 \times 0.1}{4 \pi \times 0.04} \\ & =2 \times 10^{-5} \mathrm{~N} \end{aligned} $$

बलाचे परिमाण $2 \times 10^{-5} \mathrm{~N}$ आहे. हे एक आकर्षण बल आहे, जे A ला लंब असून B च्या दिशेने आहे कारण तारांमधील प्रवाहाची दिशा सारखीच आहे.

उत्तर

परिनालिकेची लांबी, $l=80 \mathrm{~cm}=0.8 \mathrm{~m}$

परिनालिकेवर प्रत्येकी 400 फेऱ्यांचे पाच स्तर आहेत.

$\therefore$ परिनालिकेवरील एकूण फेऱ्यांची संख्या, $N=5 \times 400=2000$

परिनालिकेचा व्यास, $D=1.8 \mathrm{~cm}=0.018 \mathrm{~m}$

परिनालिकेतून वाहणारा प्रवाह, $I=8.0 \mathrm{~A}$

परिनालिकेच्या केंद्राजवळील आतील भागातील चुंबकीय क्षेत्राचे परिमाण खालील संबंधाने दिले जाते,

$$ B=\frac{\mu_{0} N I}{l} $$

येथे,

$$ \begin{aligned} \mu_{0} & =\text { Permeability of free space }=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \mathrm{~m} \mathrm{~A}^{-1} \\ B & =\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 8}{0.8} \\ & =8 \pi \times 10^{-3}=2.512 \times 10^{-2} \mathrm{~T} \end{aligned} $$

म्हणून, परिनालिकेच्या केंद्राजवळील आतील भागातील चुंबकीय क्षेत्राचे परिमाण $2.512 \times$ $10^{-2} \mathrm{~T}$ आहे.

उत्तर

चौकोनी कुंडलीच्या एका बाजूची लांबी, $l=10 \mathrm{~cm}=0.1 \mathrm{~m}$

कुंडलीतून वाहणारा प्रवाह, $I=12 \mathrm{~A}$

कुंडलीवरील फेऱ्यांची संख्या, $n=20$

चुंबकीय क्षेत्रासह कुंडलीच्या समतलाने केलेला कोन, $\theta=30^{\circ}$

चुंबकीय क्षेत्राची तीव्रता, $B=0.80 \mathrm{~T}$

चुंबकीय क्षेत्रात कुंडलीवर कार्य करणाऱ्या चुंबकीय आघूर्णाचे परिमाण खालील संबंधाने दिले जाते,

$\tau=n B I A \sin \theta$

येथे,

$A=$ चौकोनी कुंडलीचे क्षेत्रफळ

$\Rightarrow l \times l=0.1 \times 0.1=0.01 \mathrm{~m}^{2}$

$\therefore \tau=20 \times 0.8 \times 12 \times 0.01 \times \sin 30^{\circ}$

$=0.96 \mathrm{~N} \mathrm{~m}$

म्हणून, कुंडलीवर कार्य करणाऱ्या आघूर्णाचे परिमाण $0.96 \mathrm{~N} \mathrm{~m}$ आहे.

उत्तर

मूव्हिंग कॉईल मीटर $\mathrm{M}_{1}$ साठी :

रोध, $R_{1}=10 \Omega$

फेऱ्यांची संख्या, $N_{1}=30$

क्रॉस-सेक्शनचे क्षेत्रफळ, $A_{1}=3.6 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$

चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता, $B_{1}=0.25 \mathrm{~T}$

स्प्रिंग स्थिरांक $K_{1}=K$

मूव्हिंग कॉईल मीटर $\mathrm{M}_{2}$ साठी :

रोध, $R_{2}=14 \Omega$

फेऱ्यांची संख्या, $N_{2}=42$

क्रॉस-सेक्शनचे क्षेत्रफळ, $A_{2}=1.8 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$

चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता, $B_{2}=0.50 \mathrm{~T}$

स्प्रिंग स्थिरांक, $K_{2}=K$

$M_{1}$ ची विद्युतप्रवाह संवेदनशीलता खालीलप्रमाणे दिली जाते:

$$ I_{\mathrm{s} 1}=\frac{N_{1} B_{1} A_{1}}{K_{1}} $$

आणि, $M_{2}$ ची विद्युतप्रवाह संवेदनशीलता खालीलप्रमाणे दिली जाते:

$$ \begin{aligned} & I_{52}=\frac{N_{2} B_{2} A_{2}}{K_{2}} \\ & \therefore \text { Ratio } \frac{I_{\mathrm{s} 2}}{I_{\mathrm{sl}}}=\frac{N_{2} B_{2} A_{2} K_{1}}{K_{2} N_{1} B_{1} A_{1}} \\ & =\frac{42 \times 0.5 \times 1.8 \times 10^{-3} \times K}{K \times 30 \times 0.25 \times 3.6 \times 10^{-3}}=1.4 \end{aligned} $$

म्हणून, $\mathrm{M} _{2}$ ते $\mathrm{M} _{1}$ च्या विद्युतप्रवाह संवेदनशीलतेचे गुणोत्तर 1.4 आहे.

$\mathrm{M}_{2}$ साठी व्होल्टता संवेदनशीलता खालीलप्रमाणे दिली जाते:

$$ V_{\mathrm{s} 2}=\frac{N_{2} B_{2} A_{2}}{K_{2} R_{2}} $$

आणि, $\mathrm{M} _{1}$ साठी व्होल्टता संवेदनशीलता खालीलप्रमाणे दिली जाते:

$$ V_{\mathrm{sl}}=\frac{N_{1} B_{1} A_{1}}{K_{1}} $$

$\therefore$ गुणोत्तर $\frac{V_{\mathrm{s} 2}}{V_{\mathrm{s} 1}}=\frac{N_{2} B_{2} A_{2} K_{1} R_{1}}{K_{2} R_{2} N_{1} B_{1} A_{1}}$

$=\frac{42 \times 0.5 \times 1.8 \times 10^{-3} \times 10 \times K}{K \times 14 \times 30 \times 0.25 \times 3.6 \times 10^{-3}}=1$

म्हणून, $M_{2}$ ते $M_{1}$ च्या व्होल्टता संवेदनशीलतेचे गुणोत्तर 1 आहे.

उत्तर

चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता, $B=6.5 \mathrm{G}=6.5 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$

इलेक्ट्रॉनचा वेग, $v=4.8 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

इलेक्ट्रॉनवरील प्रभार, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

इलेक्ट्रॉनचे वस्तुमान, $m_{e}=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

झोकून दिलेल्या इलेक्ट्रॉन व चुंबकीय क्षेत्र यांच्यातील कोन, $\theta=90^{\circ}$

चुंबकीय क्षेत्रात इलेक्ट्रॉनावर कार्य करणारे चुंबकीय बल खालीलप्रमाणे दिले जाते:

$F=e v B \sin \theta$

हे बल गतिमान इलेक्ट्रॉनला अभिकेंद्री बल पुरवते. म्हणून, इलेक्ट्रॉन $r$ त्रिज्येच्या वर्तुळाकार मार्गाने फिरू लागतो.

म्हणून, इलेक्ट्रॉनवर कार्य करणारे अभिकेंद्री बल,

$$ F_{\mathrm{c}}=\frac{m v^{2}}{r} $$

साम्यावस्थेत, इलेक्ट्रॉनवर कार्य करणारे अभिकेंद्री बल हे चुंबकीय बलाइतकेच असते म्हणजेच,

$$ \begin{aligned} & F_{\mathrm{c}}=F \\ & \frac{m v^{2}}{r}=e v B \sin \theta \\ & r=\frac{m v}{B e \sin \theta} \\ & \quad=\frac{9.1 \times 10^{-31} \times 4.8 \times 10^{6}}{6.5 \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-19} \times \sin 90^{\circ}} \\ & =4.2 \times 10^{-2} \mathrm{~m}=4.2 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

म्हणून, इलेक्ट्रॉनच्या वर्तुळाकार कक्षेची त्रिज्या $4.2 \mathrm{~cm}$ आहे.

उत्तर

चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता, $B=6.5 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$

इलेक्ट्रॉनचा प्रभार, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

इलेक्ट्रॉनचे वस्तुमान, $m_{e}=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

इलेक्ट्रॉनचा वेग, $v=4.8 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

कक्षेची त्रिज्या, $r=4.2 \mathrm{~cm}=0.042 \mathrm{~m}$

इलेक्ट्रॉनच्या परिभ्रमणाची वारंवारता $=v$

इलेक्ट्रॉनची कोनीय वारंवारता $=\omega=2 \pi v$

इलेक्ट्रॉनचा वेग हा कोनीय वारंवारतेशी खालीलप्रमाणे संबंधित आहे:

$v=r \omega$

वर्तुळाकार कक्षेत, इलेक्ट्रॉनवरील चुंबकीय बल अभिकेंद्री बलाने संतुलित केले जाते. म्हणून, आपण लिहू शकतो:

$$ \begin{aligned} & e v B=\frac{m v^{2}}{r} \\ & e B=\frac{m}{r}(r \omega)=\frac{m}{r}(r 2 \pi v) \\ & v=\frac{B e}{2 \pi m} \end{aligned} $$

वारंवारतेची ही अभिव्यक्ती इलेक्ट्रॉनच्या वेगावर अवलंबून नसते.

या अभिव्यक्तीमध्ये ज्ञात मूल्ये बदलल्यास, आपल्याला वारंवारता खालीलप्रमाणे मिळते:

$$ \begin{aligned} v & =\frac{6.5 \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31}} \\ & =18.2 \times 10^{6} \mathrm{~Hz} \\ & \approx 18 \mathrm{MHz} \end{aligned} $$

म्हणून, इलेक्ट्रॉनची वारंवारता सुमारे $18 \mathrm{MHz}$ आहे आणि ती इलेक्ट्रॉनच्या वेगावर अवलंबून नसते.

उत्तर

वर्तुळाकार कुंडलीवरील फेऱ्यांची संख्या, $n=30$

कुंडलीची त्रिज्या, $r=8.0 \mathrm{~cm}=0.08 \mathrm{~m}$

कुंडलीचे क्षेत्रफळ $=\pi r^{2}=\pi(0.08)^{2}=0.0201 \mathrm{~m}^{2}$

कुंडलीतून वाहणारा प्रवाह, $I=6.0 \mathrm{~A}$

चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता, $B=1 \mathrm{~T}$

क्षेत्ररेषा व कुंडलीच्या पृष्ठभागाचा अभिलंब यांच्यातील कोन,

$\theta=60^{\circ}$

कुंडलीवर चुंबकीय क्षेत्रात आघूर्ण कार्य करते. म्हणून, ती फिरते. कुंडलीला फिरण्यापासून रोखण्यासाठी लावलेले प्रतिआघूर्ण खालील संबंधाने दिले जाते,

$\tau=n I B A \sin \theta$.

$=30 \times 6 \times 1 \times 0.0201 \times \sin 60^{\circ}$

$=3.133 \mathrm{~N} \mathrm{~m}$

संबंध (i) वरून असे अनुमान काढता येते की लावलेल्या आघूर्णाचे परिमाण हे कुंडलीच्या आकारावर अवलंबून नसते. ते कुंडलीच्या क्षेत्रफळावर अवलंबून असते. म्हणून, वरील प्रकरणातील वर्तुळाकार कुंडलीच्या जागी समान क्षेत्रफळ असलेल्या काही अनियमित आकाराच्या समतल कुंडलीने बदलल्यास उत्तर बदलणार नाही.