गेल्या वर्षाचे NEET प्रश्न - प्रकाशशास्त्र L-6

प्रश्न: जर $\vec{A}=\cos \omega t \hat{i}+\sin \omega t \hat{j}$ आणि $\vec{B}=\cos \frac{\omega t}{2} \hat{i}+\sin \frac{\omega t}{2} \hat{j}$ वेळाचे फंक्शन असेले तर, ते एकमेकांसाठी ऑर्थॉगनल असताना $t$ चे मूल्य आहे#

A) $t=\frac{\pi}{\omega}$

B) $t=0$

C) $t=\frac{\pi}{4 \omega}$

D) $t=\frac{\pi}{2 \omega}$

उत्तर: $t=\frac{\pi}{\omega}$#

समाधान:#

दोन $\bar{A}$ आणि $\bar{B}$ ज्यांचे स्केलर गुणोत्तर शून्य असेल तर ते एकमेकांसाठी ऑर्थॉगनल असतात असे असा $\bar{A}$. $\bar{B}=0$.

येथे, $\bar{A}=\cos \omega t \hat{i}+\sin \omega t \hat{j}$ आणि $\bar{B}=\cos \frac{\omega t}{2} \hat{i}+\sin \frac{\omega t}{2} \hat{j}$ $$ \begin{aligned} \therefore & \bar{A} \cdot \bar{B}=(\cos \omega t \hat{i}+\sin \omega t \hat{j})\left(\cos \frac{\omega t}{2} \hat{i}+\sin \frac{\omega t}{2} \hat{j}\right) \ = & \cos \omega t \cos \frac{\omega t}{2}+\sin \omega t \sin \frac{\omega t}{2} \ & (\because \hat{i} \cdot \hat{i}=\hat{j} \cdot \hat{j}=1 \text { and } \hat{i} \cdot \hat{j}=\hat{j} \cdot \hat{i}=0) \ = & \cos \left(\omega t-\frac{\omega t}{2}\right) \ & (\because \cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B) \end{aligned} $$

पण $\bar{A} \cdot \bar{B}=0$ (कारण $\bar{A}$ आणि $\bar{B}$ एकमेकांसाठी ऑर्थॉगनल आहेत) $$ \begin{aligned} & \therefore \cos \left(\omega t-\frac{\omega t}{2}\right)=0 \ & \cos \left(\omega t-\frac{\omega t}{2}\right)=\cos \frac{\pi}{2} \text { or } \omega t-\frac{\omega t}{2}=\frac{\pi}{2} \ & \frac{\omega t}{2}=\frac{\pi}{2} \text { or } t=\frac{\pi}{\omega} \end{aligned} $$