ଅଧ୍ୟାୟ 12 ପରମାଣୁ

ଉତ୍ତର

(କ) ଥମସନ୍ ମଡେଲ ଏବଂ ରଦରଫୋର୍ଡ଼୍ ମଡେଲରେ ନିଆଯାଇଥିବା ପରମାଣୁଗୁଡ଼ିକର ଆକାର ସମାନ କ୍ରମର ପରିମାଣ ରଖନ୍ତି।

(ଖ) ଥମସନ୍ ମଡେଲର ମୌଳିକ ଅବସ୍ଥାରେ, ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥାୟୀ ସନ୍ତୁଳନରେ ଥାଆନ୍ତି। ତଥାପି, ରଦରଫୋର୍ଡ଼୍ ମଡେଲରେ, ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ଗୁଡ଼ିକ ସର୍ବଦା ଏକ ନିଟ୍ ବଳ ଅନୁଭବ କରନ୍ତି।

(ଗ) ରଦରଫୋର୍ଡ଼୍ ମଡେଲ ଉପରେ ଆଧାରିତ ଏକ ଶାସ୍ତ୍ରୀୟ ପରମାଣୁ ଧ୍ୱଂସ ପାଇଁ ନିୟୋଜିତ।

(ଘ) ଏକ ପରମାଣୁର ଥମସନ୍ ମଡେଲରେ ପ୍ରାୟ ଅବିଚ୍ଛିନ୍ନ ବସ୍ତୁତ୍ଵ ବିତରଣ ଥାଏ, କିନ୍ତୁ ରଦରଫୋର୍ଡ଼୍ ମଡେଲରେ ଏକ ଅତ୍ୟନ୍ତ ଅସମ ବସ୍ତୁତ୍ଵ ବିତରଣ ଥାଏ।

(ଙ) ପରମାଣୁର ଧନାତ୍ମକ ଆବେଶିତ ଅଂଶ ଉଭୟ ମଡେଲରେ ଅଧିକାଂଶ ବସ୍ତୁତ୍ଵ ଧାରଣ କରେ।

ଉତ୍ତର

ଆଲଫା-କଣ ବିଚ୍ଛୁରଣ ପରୀକ୍ଷଣରେ, ଯଦି ସୁନା ପତ୍ର ସ୍ଥାନରେ ଏକ ପତଳା କଠିନ ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍ ଶିଟ୍ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ, ତେବେ ବିଚ୍ଛୁରଣ କୋଣ ପର୍ଯ୍ୟାପ୍ତ ବଡ଼ ହେବ ନାହିଁ। ଏହା ଏଥିପାଇଁ ଯେ ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍ $\left(1.67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)$ ର ବସ୍ତୁତ୍ଵ ଆପାତ $\alpha$-କଣଗୁଡ଼ିକର ବସ୍ତୁତ୍ଵ (6.64 $\left.\times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)$) ଅପେକ୍ଷା କମ୍। ଏହିପରି, ବିଚ୍ଛୁରଣ କଣର ବସ୍ତୁତ୍ଵ ଲକ୍ଷ୍ୟ ନ୍ୟୁକ୍ଲିୟସ୍ (ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍) ଅପେକ୍ଷା ଅଧିକ। ଫଳସ୍ୱରୂପ, $\alpha$-କଣଗୁଡ଼ିକ ପଛକୁ ଫେରିଯାଆନ୍ତେ ନାହିଁ ଯଦି କଠିନ ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍ $\alpha$-କଣ ବିଚ୍ଛୁରଣ ପରୀକ୍ଷଣରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ।

ଉତ୍ତର

ଏକ ପରମାଣୁରେ ଦୁଇଟି ଶକ୍ତି ସ୍ତରର ପୃଥକ୍‌କରଣ,

$E=2.3 \mathrm{eV}$

$=2.3 \times 1.6 \times 10^{-19}$

$=3.68 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

ମନେକର $v$ ହେଉଛି ବିକିରଣର ଆବୃତ୍ତି ଯେତେବେଳେ ପରମାଣୁଟି ଉପର ସ୍ତରରୁ ତଳ ସ୍ତରକୁ ସଂକ୍ରମଣ କରେ।

ଆମେ ଶକ୍ତି ପାଇଁ ସମ୍ପର୍କ ପାଇଥାଉ:

$$ E=h v $$

ଯେଉଁଠି,

$$ \begin{aligned} & h= \\ & \begin{aligned} \therefore v & =\frac{E}{h} \\ & =\frac{3.68 \times 10^{-19}}{6.62 \times 10^{-32}}=5.55 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} \end{aligned} $$

ତେଣୁ, ବିକିରଣର ଆବୃତ୍ତି ହେଉଛି $5.6 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$।

ଉତ୍ତର

ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍ ପରମାଣୁର ମୌଳିକ ଅବସ୍ଥା ଶକ୍ତି, $E=-13.6 \mathrm{eV}$

ଏହା ହେଉଛି ଏକ ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍ ପରମାଣୁର ସମୁଦାୟ ଶକ୍ତି। ଗତିଜ ଶକ୍ତି ସମୁଦାୟ ଶକ୍ତିର ଋଣାତ୍ମକ ସହିତ ସମାନ।

ଗତିଜ ଶକ୍ତି $=-E=-(-13.6)=13.6 \mathrm{eV}$

ସ୍ଥିତିଜ ଶକ୍ତି ଗତିଜ ଶକ୍ତିର ଦୁଇଗୁଣ ଋଣାତ୍ମକ ସହିତ ସମାନ।

ସ୍ଥିତିଜ ଶକ୍ତି $=-2 \times(13.6)=-27.2 \mathrm{eV}$

ଉତ୍ତର

ମୌଳିକ ସ୍ତର ପାଇଁ, $n_{1}=1$

ମନେକର $E_{1}$ ହେଉଛି ଏହି ସ୍ତରର ଶକ୍ତି। ଜଣାଶୁଣା ଅଛି ଯେ $E_{1}$ ସହିତ $n_{1}$ ସମ୍ପର୍କିତ:

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{-13.6}{n_{1}^{2}} \mathrm{eV} \\ & =\frac{-13.6}{1^{2}}=-13.6 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

ପରମାଣୁଟି ଏକ ଉଚ୍ଚ ସ୍ତର, $n_{2}=4$ କୁ ଉତ୍ତେଜିତ ହୋଇଛି।

ମନେକର $E_{2}$ ହେଉଛି ଏହି ସ୍ତରର ଶକ୍ତି।

$$ \begin{aligned} \therefore E_{2} & =\frac{-13.6}{n_{2}^{2}} \mathrm{eV} \\ & =\frac{-13.6}{4^{2}}=-\frac{13.6}{16} \mathrm{eV} \end{aligned} $$

ଫୋଟନ୍ ଦ୍ୱାରା ଶୋଷିତ ଶକ୍ତିର ପରିମାଣ ଏହିପରି ଦିଆଯାଇଛି:

$$ \begin{aligned} E & =E_{2}-E_{1} \\ & =\frac{-13.6}{16}-\left(-\frac{13.6}{1}\right) \\ & =\frac{13.6 \times 15}{16} \mathrm{eV} \\ & =\frac{13.6 \times 15}{16} \times 1.6 \times 10^{-19}=2.04 \times 10^{-18} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ଏକ ଫୋଟନ୍‌ର ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟ $\lambda$ ପାଇଁ, ଶକ୍ତିର ସମୀକରଣ ଏହିପରି ଲେଖାଯାଇଛି:

$$ E=\frac{h c}{\lambda} $$

ଯେଉଁଠି,

$$ \begin{aligned} & h=\text { Planck’s constant }=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & c=\text { Speed of light }=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\ & \therefore \lambda=\frac{h c}{E} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{2.04 \times 10^{-18}} \\ & =9.7 \times 10^{-8} \mathrm{~m}=97 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

ଏବଂ, ଏକ ଫୋଟନ୍‌ର ଆବୃତ୍ତି ସମ୍ପର୍କ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି,

$$ \begin{aligned} v & =\frac{c}{\lambda} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{9.7 \times 10^{-8}} \approx 3.1 \times 10^{15} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

ତେଣୁ, ଫୋଟନ୍‌ର ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେଉଛି $97 \mathrm{~nm}$ ଯେତେବେଳେ ଆବୃତ୍ତି ହେଉଛି $3.1 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$।

ଉତ୍ତର

ମନେକର $v_{1}$ ହେଉଛି ଏକ ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍ ପରମାଣୁରେ ମୌଳିକ ଅବସ୍ଥା ସ୍ତର, $n_{1}$ $=1$ ରେ ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ର କକ୍ଷୀୟ ଗତି। ଏକ ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ର ଆବେଶ ($e$) ପାଇଁ, $v_{1}$ ସମ୍ପର୍କ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି:

$$ v_{1}=\frac{e^{2}}{n_{1} 4 \pi \epsilon_{0}(h / 2 \pi)}=\frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h} $$

ଯେଉଁଠି,

$$ \begin{aligned} & e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} \\ & \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space }=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{C}^{2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & h=\text { Planck’s constant }=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & \begin{aligned} \therefore v_{1} & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =0.0218 \times 10^{8}=2.18 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} \end{aligned} $$

$n_{2}=2$ ସ୍ତର ପାଇଁ, ଆମେ ସଂଗତ କକ୍ଷୀୟ ଗତି ପାଇଁ ସମ୍ପର୍କ ଲେଖିପାରିବା:

$$ \begin{aligned} v_{2} & =\frac{e^{2}}{n_{2} 2 \epsilon_{0} h} \\ & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{2 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =1.09 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

ଏବଂ, $n_{3}=3$ ପାଇଁ, ଆମେ ସଂଗତ କକ୍ଷୀୟ ଗତି ପାଇଁ ସମ୍ପର୍କ ଲେଖିପାରିବା:

$$ \begin{aligned} v_{3} & =\frac{e^{2}}{n_{3} 2 \epsilon_{0} h} \\ & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{3 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =7.27 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

ତେଣୁ, ଏକ ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍ ପରମାଣୁରେ $n=1, \mathrm{n}=2$, ଏବଂ $\mathrm{n}=3$ ରେ ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ର ଗତି ଯଥାକ୍ରମେ $2.18 \times 10^{6}$ $\mathrm{m} / \mathrm{s}, 1.09 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, 7.27 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ଅଟେ।

ମନେକର $T_{1}$ ହେଉଛି ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ର କକ୍ଷୀୟ ପରିକ୍ରମଣ କାଳ ଯେତେବେଳେ ଏହା $n_{1}=1$ ସ୍ତରରେ ଥାଏ।

କକ୍ଷୀୟ ପରିକ୍ରମଣ କାଳ କକ୍ଷୀୟ ଗତି ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ:

$T_{1}=\frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}}$

ଯେଉଁଠି,

$r_{1}=$ କକ୍ଷର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ

$=\frac{n_{1}^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$

$h=$ ପ୍ଲାଙ୍କ୍‌ ସ୍ଥିରାଙ୍କ $=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$e=$ ଏକ ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ ଉପରେ ଆବେଶ $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$\epsilon_{0}=$ ମୁକ୍ତ ସ୍ଥାନର ପାରମିଟିଭିଟି $=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{C}^{2} \mathrm{~m}^{-2}$

$m=$ ଏକ ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ର ବସ୍ତୁତ୍ଵ $=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

$$ \begin{aligned} \therefore T_{1} & =\frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}} \\ & =\frac{2 \pi \times(1)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{2.18 \times 10^{6} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & =15.27 \times 10^{-17}=1.527 \times 10^{-16} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

$n_{2}=2$ ସ୍ତର ପାଇଁ, ଆମେ ପରିକ୍ରମଣ କାଳ ଲେଖିପାରିବା:

$T_{2}=\frac{2 \pi r_{2}}{v_{2}}$

ଯେଉଁଠି,

$r_{2}=$ $n_{2}=2$ ରେ ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ

$$ \begin{aligned} & =\frac{\left(n_{2}\right)^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} \\ & \therefore T_{2}=\frac{2 \pi r_{2}}{v_{2}} \\ & \quad=\frac{2 \pi \times(2)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{1.09 \times 10^{6} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & \quad=1.22 \times 10^{-15} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

ଏବଂ, $n_{3}=3$ ସ୍ତର ପାଇଁ, ଆମେ ପରିକ୍ରମଣ କାଳ ଲେଖିପାରିବା:

$$ T_{3}=\frac{2 \pi r_{3}}{v_{3}} $$

ଯେଉଁଠି,

$r_{3}=$ $n_{3}=3$ ରେ ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ

$$ =\frac{\left(n_{3}\right)^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} $$

$$ \begin{aligned} \therefore T_{3} & =\frac{2 \pi r_{3}}{v_{3}} \\ & =\frac{2 \pi \times(3)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{7.27 \times 10^{5} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & =4.12 \times 10^{-15} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

ତେଣୁ, ଏହି ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ତରରେ କକ୍ଷୀୟ ପରିକ୍ରମଣ କାଳ ଯଥାକ୍ରମେ $1.52 \times 10^{-16} \mathrm{~s}, 1.22 \times 10^{-15} \mathrm{~s}$, ଏବଂ 4.12 $\times 10^{-15}$ s ଅଟେ।

ଉତ୍ତର

ଏକ ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍ ପରମାଣୁର ସର୍ବାନ୍ତରୀଣ କକ୍ଷର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ, $r_{1}=5.3 \times 10^{-11} \mathrm{~m}$।

ମନେକର $r_{2}$ ହେଉଛି $n=2$ ରେ କକ୍ଷର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ। ଏହା ସର୍ବାନ୍ତରୀଣ କକ୍ଷର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ:

$$ \begin{aligned} r_{2} & =(n)^{2} r_{1} \\ & =4 \times 5.3 \times 10^{-11}=2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

$n=3$ ପାଇଁ, ଆମେ ସଂଗତ ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଲେଖିପାରିବା:

$$ \begin{aligned} r_{3} & =(n)^{2} r_{1} \\ & =9 \times 5.3 \times 10^{-11}=4.77 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

ତେଣୁ, $n=2$ ଏବଂ $n=3$ କକ୍ଷଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ଏକ ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଯଥାକ୍ରମେ $2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$ ଏବଂ $4.77 \times$ $10^{-10} \mathrm{~m}$ ଅଟେ।

ଉତ୍ତର

ଦିଆଯାଇଛି ଯେ କୋଠରୀ ତାପମାତ୍ରାରେ ଗ୍ୟାସୀୟ ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍ ଉପରେ ବୋମାବର୍ଷଣ କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍ ବିମ୍‌ର ଶକ୍ତି ହେଉଛି $12.5 \mathrm{eV}$। ଆଉ, କୋଠରୀ ତାପମାତ୍ରାରେ ଏହାର ମୌଳିକ ଅବସ୍ଥାରେ ଗ୍ୟାସୀୟ ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍‌ର ଶକ୍ତି ହେଉଛି $-13.6 \mathrm{eV}$।

ଯେତେବେଳେ ଗ୍ୟାସୀୟ ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍ ଉପରେ ଏକ ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍ ବିମ୍‌ ଦ୍ୱାରା ବୋମାବର୍ଷଣ କରାଯାଏ, ଗ୍ୟାସୀୟ ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍‌ର ଶକ୍ତି ହୁଏ $-13.6+12.5 \mathrm{eV}$ ଅର୍ଥାତ୍ $-1.1 \mathrm{eV}$।

କକ୍ଷୀୟ ଶକ୍ତି କକ୍ଷ ସ୍ତର ($n$) ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ:

$E=\frac{-13.6}{(n)^{2}} \mathrm{eV}$

$n=3, \quad E=\frac{-13.6}{9}=-1.5 \mathrm{eV}$ ପାଇଁ

ଏହି ଶକ୍ତି ଗ୍ୟାସୀୟ ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍‌ର ଶକ୍ତି ସହିତ ପ୍ରାୟ ସମାନ। ଏହି ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ନିଆଯାଇପାରେ ଯେ ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ଟି $n=1$ ରୁ $n=3$ ସ୍ତରକୁ ଡେଇଁଛି।

ଏହାର ବିଉତ୍ତେଜନ ସମୟରେ, ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ଗୁଡ଼ିକ ସିଧାସଳଖ $n=3$ ରୁ $n=1$ କୁ ଡେଇଁପାରନ୍ତି, ଯାହା ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍ ସ୍ପେକ୍ଟ୍ରମ୍‌ର ଲାଇମାନ୍ ଶ୍ରେଣୀର ଏକ ରେଖା ଗଠନ କରେ।

ଆମେ ଲାଇମାନ୍ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଁ ତରଙ୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ସମ୍ପର୍କ ପାଇଥାଉ:

$\frac{1}{\lambda}=R_{y}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)$

ଯେଉଁଠି,

$R_{\mathrm{y}}=$ ରିଡ଼ବର୍ଗ ସ୍ଥିରାଙ୍କ $=1.097 \times 10^{7} \mathrm{~m}^{-1}$

$\lambda=$ ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ର ସଂକ୍ରମଣ ଦ୍ୱାରା ଉତ୍ସର୍ଜିତ ବିକିରଣର ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟ

$n=3$ ପାଇଁ, ଆମେ $\lambda$ ପାଇପାରିବା:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(1-\frac{1}{9}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{8}{9} \\ \lambda & =\frac{9}{8 \times 1.097 \times 10^{7}}=102.55 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

ଯଦି ଇଲେକ୍ଟ୍ରନ୍‌ଟି $n=2$ ରୁ $n=1$ କୁ ଡେଇଁଥାଏ, ତେବେ ବିକିରଣର ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏହିପରି ଦିଆଯାଇଛି:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(1-\frac{1}{4}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{3}{4} \\ \lambda & =\frac{4}{1.097 \times 10^{7} \times 3}=121.54 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

ଯଦି ସଂକ୍ରମଣଟି $n=3$ ରୁ $n=2$ କୁ ଘଟେ, ତେବେ ବିକିରଣର ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏହିପରି ଦିଆଯାଇଛି:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{5}{36} \\ \lambda & =\frac{36}{5 \times 1.097 \times 10^{7}}=656.33 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

ଏହି ବିକିରଣ ହାଇଡ୍ରୋଜେନ୍ ସ୍ପେକ୍ଟ୍ରମ୍‌ର ବାଲମର୍ ଶ୍ରେଣୀ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ।

ତେଣୁ, ଲାଇମାନ୍ ଶ୍ରେଣୀରେ, ଦୁଇଟି ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅର୍ଥାତ୍ $102.5 \mathrm{~nm}$ ଏବଂ $121.5 \mathrm{~nm}$ ଉତ୍ସର୍ଜିତ ହୁଏ। ଏବଂ ବାଲମର୍ ଶ୍ରେଣୀରେ, ଗୋଟିଏ ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅର୍ଥାତ୍ $656.33 \mathrm{~nm}$ ଉତ୍ସର୍ଜିତ ହୁଏ।

ଉତ୍ତର

ପୃଥିବୀର ସୂର୍ଯ୍ୟ ଚାରିପାଖରେ କକ୍ଷର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ, $r=1.5 \times 10^{11} \mathrm{~m}$

ପୃଥିବୀର କକ୍ଷୀୟ ଗତି, $v=3 \times 10^{4} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ପୃଥିବୀର ବସ୍ତୁତ୍ଵ, $m=6.0 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$

ବୋର୍‌ ମଡେଲ ଅନୁଯାୟୀ, କୋଣୀୟ ଗତି କ୍ୱାଣ୍ଟାଇଜଡ୍ ଏବଂ ଏହିପରି ଦିଆଯାଇଛି:

$$ m v r=\frac{n h}{2 \pi} $$

ଯେଉଁଠି,

$h=$ ପ୍ଲାଙ୍କ୍‌ ସ୍ଥିରାଙ୍କ $=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$n=$ କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ସଂଖ୍ୟା

$$ \begin{aligned} \therefore n & =\frac{m v r 2 \pi}{h} \\ & =\frac{2 \pi \times 6 \times 10^{24} \times 3 \times 10^{4} \times 1.5 \times 10^{11}}{6.62 \times 10^{-34}} \\ & =25.61 \times 10^{73}=2.6 \times 10^{74} \end{aligned} $$

ତେଣୁ, ପୃଥିବୀର ପରିକ୍ରମଣକୁ ଚିହ୍ନିତ କରୁଥିବା କ୍ୱାଣ୍ଟା ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $2.6 \times 10^{74}$।