فصل 11 ریاضیات اور ذرے کی دوقطبی طبیعت

جواب

الیکٹرانس کا فولٹی، $V=30 \mathrm{kV}=3 \times 10^{4} \mathrm{~V}$

اس لیے، الیکٹرانس کی انرجی، $E=3 \times 10^{4} \mathrm{eV}$

جہاں،

$e=$ الیکٹران پر چارج $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

(أ) زیادہ سے زیادہ تیزی جو $\mathrm{X}$-ریڈیوں کے ذریعے پیدا ہوئی ہے $=v$

الیکٹرانس کی انرجی کا دلیل ہے:

$E=h v$

جہاں،

$h=$ پلانک کی ثابت $=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$\therefore v=\frac{E}{h}$

$$ =\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^{4}}{6.626 \times 10^{-34}}=7.24 \times 10^{18} \mathrm{~Hz} $$

اس لیے، پیدا ہونے والی X-ریڈیوں کی زیادہ سے زیادہ تیزی $7.24 \times 10^{18} \mathrm{~Hz}$ ہے۔

(ب) X-ریڈیوں کی کم سے کم موٹائی دلیل ہے:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{7.24 \times 10^{18}}=4.14 \times 10^{-11} \mathrm{~m}=0.0414 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

اس لیے، پیدا ہونے والی X-ریڈیوں کی کم سے کم موٹائی $0.0414 \mathrm{~nm}$ ہے۔

جواب

سیزیم میٹل کا کام کرنے کا ورک فانکشن، $\phi_{0}=2.14 \mathrm{eV}$

روشنی کی تیزی، $v=6.0 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

(أ) زیادہ سے زیادہ کینیکل انرجی فوٹوآییکٹ ایفیکٹ کے ذریعے دلیل ہے:

$$ K=h v-\phi_{0} $$

جہاں،

$$ \begin{aligned} & h=\text { Planck’s constant }=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & \therefore K=\frac{6.626 \times 10^{34} \times 6 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{-19}}-2.14 \\ & \quad=2.485-2.140=0.345 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

اس لیے، جاتنے والے الیکٹران کی زیادہ سے زیادہ کینیکل انرجی $0.345 \mathrm{eV}$ ہے۔

(ب) روکنے کے فولٹی کے لیے $V_{0}$، ہم کینیکل انرجی کے لیے معادلے کو لکھ سکتے ہیں:

$$ \begin{aligned} & K=e V_{0} \\ & \therefore V_{0}=\frac{K}{e} \\ & \quad=\frac{0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}=0.345 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

اس لیے، مواد کا روکنے کا فولٹی $0.345 \mathrm{~V}$ ہے۔

(ج) جاتنے والے فوٹوآییکٹران کی زیادہ سے زیادہ تیزی $=v$

اس لیے، کینیکل انرجی کے لیے تیزی کا دلیل ہے:

$$ K=\frac{1}{2} m v^{2} $$

جہاں،

$$ \begin{aligned} m & =\text { Mass of an electron }=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \\ v^{2} & =\frac{2 K}{m} \\ & =\frac{2 \times 0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}=0.1104 \times 10^{12} \\ \therefore v & =3.323 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=332.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

اس لیے، جاتنے والے فوٹوآییکٹران کی زیادہ سے زیادہ تیزی $332.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$ ہے۔

جواب

فوٹوآییکٹریک کا کرٹ آف فولٹی، $V_{0}=1.5 \mathrm{~V}$

جاتنے والے فوٹوآییکٹران کی زیادہ سے زیادہ کینیکل انرجی دلیل ہے:

$$ K_{e}=e V_{0} $$

جہاں،

$e=$ الیکٹران پر چارج $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$$ \begin{aligned} \therefore K_{e} & =1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 \\ & =2.4 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

اس لیے، دیے گئے تجربے میں جاتنے والے فوٹوآییکٹران کی زیادہ سے زیادہ کینیکل انرجی $2.4 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$ ہے۔

جواب

مونوکرومیٹیک روشنی کی موٹائی، $\lambda=632.8 \mathrm{~nm}=632.8 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

لیزر کی طاقت، $P=9.42 \mathrm{~mW}=9.42 \times 10^{-3} \mathrm{~W}$

پلانک کی ثابت، $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

روشنی کی تیزی، $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ہائیڈروجن ذرے کی مقدار، $m=1.66 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$

(أ) ہر فوٹن کی انرجی دلیل ہے:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{h c}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{632.8 \times 10^{-9}}=3.141 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ہر فوٹن کی زمینشیافت دلیل ہے:

$$ \begin{aligned} P & =\frac{h}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34}}{632.8}=1.047 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

(ب) بیم کے ذریعے سہارے کے سطح پر ہر سیکنڈ پہنچنے والے فوٹنز کی تعداد $=n$

سہارے کے سطح کے کم سے کم کم سے کم حجم کے ساتھ پیدا ہونے کا انتہائی گواہی دیں۔

اس لیے، طاقت کے لیے معادلہ لکھ سکتے ہیں:

$$ \begin{aligned} P & =n E \\ \therefore n & =\frac{P}{E} \\ & =\frac{9.42 \times 10^{-3}}{3.141 \times 10^{-19}} \approx 3 \times 10^{16} \text { photon } / \mathrm{s} \end{aligned} $$

(ج) ہائیڈروجن ذرے کی زمینشیافت فوٹن کی زمینشیافت کے برابر ہے، $p=1.047 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

زمینشیافت دلیل ہے:

$p=m v$

جہاں،

$v=$ ہائیڈروجن ذرے کی تیزی

$$ \begin{aligned} \therefore v & =\frac{p}{m} \\ & =\frac{1.047 \times 10^{-27}}{1.66 \times 10^{-27}}=0.621 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

جواب

آندھی روشنی کی تیزی کے باوجود کرٹ آف فولٹی $(V)$ کی نقطہ پر چھلانگ لگانے کا میل دلیل ہے:

$\frac{V}{v}=4.12 \times 10^{-15} \mathrm{Vs}$

$V$ تیزی کے ساتھ مرتبط ہے معادلے کے ذریعے:

$h v=e V$

جہاں،

$e=$ الیکٹران پر چارج $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$h=$ پلانک کی ثابت

$\therefore h=e \times \frac{V}{v}$

$=1.6 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15}=6.592 \times 10^{-34} \mathrm{JS}$

اس لیے، پلانک کی ثابت کی قدر $6.592 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$ ہے۔

جواب

میٹل کی ترجیحی تیزی، $v_{0}=3.3 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

میٹل پر آندھی روشنی کی تیزی، $v=8.2 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

الیکٹران پر چارج، $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

پلانک کی ثابت، $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

میٹل سے فوٹوآییکٹریک ایمبیشن کے لیے کرٹ آف فولٹی $=V_{0}$

کرٹ آف انرجی کے لیے معادلہ دلیل ہے:

$$ \begin{aligned} e V_{0} & =h\left(v-v_{0}\right) \\ V_{0} & =\frac{h\left(v-v_{0}\right)}{e} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times\left(8.2 \times 10^{14}-3.3 \times 10^{14}\right)}{1.6 \times 10^{-19}}=2.0292 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

اس لیے، فوٹوآییکٹریک ایمبیشن کے لیے کرٹ آف فولٹی $2.0292 \mathrm{~V}$ ہے۔

جواب

میٹل کا کام کرنے کا ورک فانکشن، $\phi_{0}=4.2 \mathrm{eV}$

الیکٹران پر چارج، $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

پلانک کی ثابت، $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

آندھی روشنی کی موٹائی، $\lambda=330 \mathrm{~nm}=330 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

روشنی کی تیزی، $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

آندھی روشنی کے فوٹن کی انرجی دلیل ہے:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{h c}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{330 \times 10^{-9}}=6.0 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & =\frac{6.0 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}=3.76 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

معلوم ہوتا ہے کہ آندھی روشنی کی انرجی میٹل کے کام کرنے کے ورک فانکشن سے کم ہے۔ اس لیے کوئی فوٹوآییکٹریک ایمبیشن ہونے والی ہوگی۔

جواب

آندھی روشنی کے فوٹن کی تیزی، $v=488 \mathrm{~nm}=488 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

الیکٹران کی زیادہ سے زیادہ تیزی، $v=6.0 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

پلانک کی ثابت، $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ایک الیکٹران کی مقدار، $m=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

ترجیحی تیزی کے لیے $v_{0}$، کینیکل انرجی کے لیے معادلہ لکھ سکتے ہیں:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v^{2}=h\left(v-v_{0}\right) \\ & v_{0}=v-\frac{m v^{2}}{2 h} \\ & \quad=7.21 \times 10^{14}-\frac{\left(9.1 \times 10^{-31}\right) \times\left(6 \times 10^{5}\right)^{2}}{2 \times\left(6.626 \times 10^{-34}\right)} \\ & \quad=7.21 \times 10^{14}-2.472 \times 10^{14} \\ & \quad=4.738 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

اس لیے، الیکٹران کی فوٹوآمبیشن کے لیے ترجیحی تیزی $4.738 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ ہے۔

جواب

ارجن لیزر کے ذریعے پیدا ہونے والی روشنی کی موٹائی، $\lambda=488 \mathrm{~nm}$ $=488 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

فوٹوآییکٹران کا روکنے (کرٹ آف) فولٹی، $V_{0}=0.38 \mathrm{~V}$

$$ \begin{aligned} & 1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & \therefore V_{0}=\frac{0.38}{1.6 \times 10^{-19}} \mathrm{eV} \end{aligned} $$

پلانک کی ثابت، $h=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

الیکٹران پر چارج، $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

روشنی کی تیزی، $c=3 \times 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ایگنز فوٹوآییکٹریک ایفیکٹ سے، ہم سہارے کے سطح کے مواد کے کام کرنے کے ورک فانکشن $\Phi_{0}$ کے لیے معادلہ حاصل کر سکتے ہیں:

$$ \begin{aligned} & e V_{0}=\frac{h c}{\lambda}-\phi_{0} \\ & \phi_{0}=\frac{h c}{\lambda}-e V_{0} \\ & \quad=\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{1.6 \times 10^{-19} \times 488 \times 10^{-9}}-\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 0.38}{1.6 \times 10^{-19}} \\ & \quad=2.54-0.38=2.16 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

اس لیے، سہارے کے سطح کے مواد کا کام کرنے کا ورک فانکشن $2.16 \mathrm{eV}$ ہے۔

جواب

(أ) بلٹ کی مقدار، $m=0.040 \mathrm{~kg}$

بلٹ کی تیزی، $v=1.0 \mathrm{~km} / \mathrm{s}=1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

پلانک کی ثابت، $h=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

بلٹ کی دی بروگلی موٹائی دلیل ہے:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.040 \times 1000}=1.65 \times 10^{-35} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

بال کی مقدار، $m=0.060 \mathrm{~kg}$

بال کی تیزی، $v=1.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

بال کی دی بروگلی موٹائی دلیل ہے:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.060 \times 1}=1.1 \times 10^{-32} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

(ج) خاکہ کی مقدار، $m=1 \times 10^{-9} \mathrm{~kg}$

خاکہ کی تیزی، $v=2.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

خاکہ کی دی بروگلی موٹائی دلیل ہے:

$$ \lambda=\frac{h}{m v} $$

$=\frac{6.6 \times 10^{-34}}{2.2 \times 1 \times 10^{-9}}=3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~m}$

جواب

ایک فوٹن کی انرجی $(h v)$ کی زمینشیافت دلیل ہے:

$$ \begin{align*} & p=\frac{h v}{c}=\frac{h}{\lambda} \\ & \lambda=\frac{h}{p} \tag{i} \end{align*} $$

جہاں،

$\lambda=$ ریاضیاتی ریڈیوں کی موٹائی

$c=$ روشنی کی تیزی

$h=$ پلانک کی ثابت

فوٹن کی دی بروگلی موٹائی دلیل ہے:

$\lambda=\frac{h}{m v}$

لیکن $p=m v$

$\therefore \lambda=\frac{h}{p}$

جہاں،

$m=$ فوٹن کی مقدار

$v=$ فوٹن کی تیزی

اس لیے، معادلوں (i) اور (ii) سے معلوم ہوتا ہے کہ ریاضیاتی ریڈیوں کی موٹائی ہر فوٹن کی دی بروگلی موٹائی کے برابر ہے۔