فصل 2: الیکٹرواسٹیٹک پوٹنشل اور کیپیسٹنسیٹی

جواب

دو ذرات ہیں،

$q_{1}=5 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

$q_{2}=-3 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

دو ذرات کے درمیان فاصلہ، $d=16 \mathrm{~cm}=0.16 \mathrm{~m}$

دو ذرات کے درمیان خط پر ایک جگہ $\mathrm{P}$ پر سوچیں، جیسا کہ دیکھا جا سکتا ہے۔

$r=$ جگہ $\mathrm{P}$ کی ذرات $q_{1}$ سے فاصلہ

درج ذیل جگہ $\mathrm{P}$ پر برقی پوٹنشل $(V)$ صفر ہوگا۔

درج ذیل جگہ $\mathrm{P}$ پر پوٹنشل ذرات $q_{1}$ اور $q_{2}$ کی وجہ سے جمع ہوگا۔

$\therefore V=\frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)}$

جہاں،

$\in_{0}=$ خالص فراغ کی پرمیٹوئیٹی

$V=0$ کے لیے، معادلہ (i) کم ہوجاتا ہے

$$ \begin{aligned} & \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)} \\ & \frac{q_{1}}{r}=\frac{-q_{2}}{d-r} \\ & \frac{5 \times 10^{-8}}{r}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(0.16-r)} \\ & \frac{0.16}{r}-1=\frac{3}{5} \\ & \frac{0.16}{r}=\frac{8}{5} \\ & \therefore r=0.1 \mathrm{~m}=10 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

چاہے، موجب ذرات کے درمیان ذرات کے دونوں طرف سے $10 \mathrm{~cm}$ فاصلہ پر پوٹنشل صفر ہوگا۔

اگر جگہ $\mathrm{P}$ دو ذرات کے سسٹم کے باہر $s$ فاصلہ پر نیگیٹو ذرات سے ہو، جہاں پوٹنشل صفر ہو، جیسا کہ درج ذیل تصویر میں دکھایا گیا ہے۔

اس ترتیب کے لیے، پوٹنشل دریافت کیا جاتا ہے،

$$ \begin{equation*} V=\frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0} s}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} \tag{ii} \end{equation*} $$

$V=0$ کے لیے، معادلہ (ii) کم ہوجاتا ہے

$$ \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} s}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} $$

$\frac{q_{1}}{s}=\frac{-q_{2}}{s-d}$

$\frac{5 \times 10^{-8}}{s}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(s-0.16)}$

$1-\frac{0.16}{s}=\frac{3}{5}$

$\frac{0.16}{s}=\frac{2}{5}$

$\therefore s=0.4 \mathrm{~m}=40 \mathrm{~cm}$

چاہے، ذرات کے سسٹم کے باہر پوٹنشل صفر ہوگا۔

جواب

درج ذیل تصویر میں ہیکساگون کے گولوں پر ایک جیسا ذرات $q$ دکھایا گیا ہے۔

جہاں،

ذرات، $q=5 \mu \mathrm{C}=5 \times 10^{-6} \mathrm{C}$

ہیکساگون کی سائیڈ، $l=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FA}=10 \mathrm{~cm}$

ہر گول سے مرکز کا فاصلہ $\mathrm{O}, d=10 \mathrm{~cm}$

مرکز پر برقی پوٹنشل،

$$ V=\frac{6 \times q}{4 \pi \epsilon_{0} d} $$

جہاں،

$$ \in_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & \therefore V=\frac{6 \times 9 \times 10^{9} \times 5 \times 10^{-6}}{0.1} \\ & \quad=2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V} \end{aligned} $$

چاہے، ہیکساگون کے مرکز پر پوٹنشل $2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V}$ ہوگا۔

جواب

درج ذیل تصویر میں حالت دکھائی گئی ہے۔

ایک مساوی پوٹنشل سطح وہ صفحہ ہے جہاں ہر جگہ پر کل پوٹنشل صفر ہوگا۔ اس صفحہ کو خط $\mathrm{AB}$ کے عمودی ہوگا۔ اس صفحہ کو خط $\mathrm{AB}$ کے درمیان کی جگہ پر ڈالا جائے گا کیونکہ ذرات کی مقدار ایک جیسی ہے۔

اس سطح کے ہر جگہ پر برقی میدان کی سمت وہ صفحہ کے عمودی ہوگی جس کی سمت $\mathrm{AB}$ ہوگی۔

جواب

کرہ کنڈکٹر کا نصف قطر، $r=12 \mathrm{~cm}=0.12 \mathrm{~m}$

ذرات کنڈکٹر کے سطح پر منتظم طور پر تقسیم ہوا ہے، $q=1.6 \times 10^{-7} \mathrm{C}$

کرہ کے اندر کرہ کنڈکٹر کا برقی میدان صفر ہوگا۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ اگر کرہ کے اندر میدان ہوتا تو ذرات اسے صفر کرنے کے لیے ہل جائیں گی۔

کنڈکٹر کے جلد باہر برقی میدان $E$ دریافت کیا جاتا ہے،

$$ E=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} $$

جہاں،

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{C}^{-2}$

$\therefore E=\frac{1.6 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^{-9}}{(0.12)^{2}}$

$=10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$

چاہے، کرہ کے جلد باہر برقی میدان $10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$ ہوگا۔

کرہ کے مرکز سے $18 \mathrm{~m}$ فاصلہ پر جگہ پر برقی میدان $=E_{1}$

مرکز سے جگہ کا فاصلہ، $d=18 \mathrm{~cm}=0.18 \mathrm{~m}$

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{q}{4 \pi \in_{0} d^{2}} \\ & =\frac{9 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-7}}{\left(18 \times 10^{-2}\right)^{2}} \\ & =4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C} \end{aligned} $$

چاہے، کرہ کے مرکز سے $18 \mathrm{~cm}$ فاصلہ پر برقی میدان

$4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

پیراللل پلیٹ کیپیسٹر کے پلیٹوں کے درمیان کیپیسٹنسیٹی، $\mathrm{C}=8 \mathrm{pF}$

ابتدائی طور پر، پیراللل پلیٹوں کے درمیان فاصلہ $d$ تھا اور اسے ایر سے پر کرا گیا تھا۔ ایر کا ڈی ریکٹرکٹو، $k=1$

کیپیسٹنسیٹی، $C$، درج ذیل صیغہ کے مطابق دریافت کی جاتی ہے،

$$ \begin{align*} C & =\frac{k \in_{0} A}{d} \\ & =\frac{\in_{0} A}{d} \tag{i} \end{align*} $$

جہاں،

$A=$ ہر پلیٹ کا رقبہ

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

اگر پلیٹوں کے درمیان فاصلہ نصف کر دیا جائے تو نئا فاصلہ، $d=\frac{d}{2}$

پلیٹوں کے درمیان پر کرنے والے جس کا ڈی ریکٹرکٹو، $k^{\prime}=6$

چاہے، کیپیسٹر کی کیپیسٹنسیٹی

$$ \begin{equation*} C^{\prime}=\frac{k^{\prime} \in_{0} A}{d^{\prime}}=\frac{6 \in_{0} A}{\frac{d}{2}} \tag{ii} \end{equation*} $$

معادلات (i) اور (ii) کے نسبت کو حاصل کرنے سے، ملتے جلتے

$$ \begin{aligned} C^{\prime} & =2 \times 6 C \\ & =12 C \\ & =12 \times 8=96 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

چاہے، پلیٹوں کے درمیان کیپیسٹنسیٹی $96 \mathrm{pF}$ ہوگی۔

جواب

تین کیپیسٹر کی ہر کیپیسٹنسیٹی، $C=9 \mathrm{pF}$

کیپیسٹروں کی ترکیب کی متوازن کیپیسٹنسیٹی $\left(C^{\prime}\right)$ دریافت کی جاتی ہے،

$$ \begin{aligned} \frac{1}{C^{\prime}} & =\frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & =\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \end{aligned} $$

$\therefore C^{\prime}=3 \mu \mathrm{F}$

چاہے، ترکیب کی کل کیپیسٹنسیٹی $3 \mu \mathrm{F}$ ہوگی۔

سپلائی کا وولٹیج، $V=100 \mathrm{~V}$

ہر کیپیسٹر پر پوٹنشل فرق کا سپلائی کے وولٹیج کا ایک تیسرا حصہ ہوگا۔

$$ \therefore V^{\prime}=\frac{V}{3}=\frac{120}{3}=40 \mathrm{~V} $$

چاہے، ہر کیپیسٹر پر پوٹنشل فرق $40 \mathrm{~V}$ ہوگا۔

جواب

دریافت کردہ کیپیسٹر کی کیپیسٹنسیٹی

$$ \begin{aligned} & C_{1}=2 \mathrm{pF} \\ & C_{2}=3 \mathrm{pF} \\ & C_{3}=4 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

کیپیسٹروں کے پیراللل ترکیب کے لیے متوازن کیپیسٹر $C^{\prime}$ حسابی جمع کے مطابق دریافت کیا جاتا ہے،

$$ C^{\prime}=2+3+4=9 \mathrm{pF} $$

چاہے، ترکیب کی کل کیپیسٹنسیٹی $9 \mathrm{pF}$ ہوگی۔

سپلائی کا وولٹیج، $V=100 \mathrm{~V}$

تین کیپیسٹروں پر وولٹیج ایک جیسا ہے $=V=100 \mathrm{~V}$

کیپیسٹنسیٹی $C$ اور پوٹنشل فرق $V$ کے کیپیسٹر پر ذرات دریافت کی جاتی ہے،

$q=V C \ldots$ (i)

$\mathrm{C}=2 \mathrm{pF}$ کے لیے،

ذرات $=V C=100 \times 2=200 \mathrm{pC}=2 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=3 \mathrm{pF}$ کے لیے،

ذرات $=V C=100 \times 3=300 \mathrm{pC}=3 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=4 \mathrm{pF}$ کے لیے،

ذرات $=V C=100 \times 4=200 \mathrm{pC}=4 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

جواب

پیراللل پلیٹ کیپیسٹر کے ہر پلیٹ کا رقبہ، $A=6 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$

پلیٹوں کے درمیان فاصلہ، $d=3 \mathrm{~mm}=3 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

سپلائی کا وولٹیج، $V=100 \mathrm{~V}$

پیراللل پلیٹ کیپیسٹر کی کیپیسٹنسیٹی $C$ دریافت کی جاتی ہے،

$C=\frac{\in_{0} A}{d}$

جہاں،

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$=8.854 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{C}^{-2}$

$$ \begin{aligned} \therefore C & =\frac{8.854 \times 10^{-12} \times 6 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}} \\ & =17.71 \times 10^{-12} \mathrm{~F} \\ & =17.71 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

پوٹنشل $V$ ذرات $q$ اور کیپیسٹنسیٹی $C$ کے ساتھ دریافت کی جاتی ہے

$$ \begin{aligned} & V=\frac{q}{C} \\ & \therefore q=V C \\ & =100 \times 17.71 \times 10^{-12} \\ & =1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C} \end{aligned} $$

چاہے، کیپیسٹر کی کیپیسٹنسیٹی $17.71 \mathrm{pF}$ ہوگی اور ہر پلیٹ پر ذرات $1.771 \times$ $10^{-9} \mathrm{C}$ ہوگا۔

جواب

سمک کے شیٹ کا ڈی ریکٹرکٹو، $k=6$

ابتدائی کیپیسٹنسیٹی، $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

نئی کیپیسٹنسیٹی، $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

سپلائی کا وولٹیج، $V=100 \mathrm{~V}$

نئی ذرات، $q^{\prime}=C^{\prime} V=6 \times 1.771 \times 10^{-9}=1.06 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

پلیٹوں کے درمیان پوٹنشل فرق $100 \mathrm{~V}$ رہےگا۔

ڈی ریکٹرکٹو، $k=6$

ابتدائی کیپیسٹنسیٹی، $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

نئی کیپیسٹنسیٹی، $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

اگر سپلائی کو کیپیسٹر سے روک دیا جائے تو پلیٹوں میں ذرات کی مقدار کو اثر نہیں پائے گا۔

ذرات $=1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C}$

پلیٹوں کے درمیان پوٹنشل فرق دریافت کیا جاتا ہے،

$$ \begin{aligned} \therefore V^{\prime} & =\frac{q}{C^{\prime}} \\ & =\frac{1.771 \times 10^{-9}}{106 \times 10^{-12}} \\ & =16.7 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

جواب

کیپیسٹر کی کیپیسٹنسیٹی، $C=12 \mathrm{pF}=12 \times 10^{-12} \mathrm{~F}$

پوٹنشل فرق، $V=50 \mathrm{~V}$

کیپیسٹر میں ذخیرہ الیکٹرواسٹیٹک انرجی دریافت کی جاتی ہے،

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-12} \times(50)^{2} \\ & =1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

چاہے، کیپیسٹر میں ذخیرہ الیکٹرواسٹیٹک انرجی $1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J}$ ہوگی۔

جواب

کیپیسٹر کی کیپیسٹنسیٹی، $C=600 \mathrm{pF}$

پوٹنشل فرق، $V=200 \mathrm{~V}$

کیپیسٹر میں ذخیرہ الیکٹرواسٹیٹک انرجی دریافت کی جاتی ہے،

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times\left(600 \times 10^{-12}\right) \times(200)^{2} \\ & =1.2 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

اگر سپلائی کیپیسٹر سے روک دیا جائے اور اسے ایک کیپیسٹنسیٹی $C=600$ $\mathrm{pF}$ کے دوسرے کیپیسٹر سے جوڑ دیا جائے تو اس ترکیب کی متوازن کیپیسٹنسیٹی $(C)$ دریافت کی جاتی ہے،

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{C^{\prime}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & \quad=\frac{1}{600}+\frac{1}{600}=\frac{2}{600}=\frac{1}{300} \\ & \therefore C^{\prime}=300 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

نئی الیکٹرواسٹیٹک انرجی حاصل کی جاتی ہے

$$ \begin{aligned} E^{\prime} & =\frac{1}{2} \times C^{\prime} \times V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 300 \times(200)^{2} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

الیکٹرواسٹیٹک انرجی کی ضائعی $=E-E^{\prime}$

$$ \begin{aligned} & =1.2 \times 10^{-5}-0.6 \times 10^{-5} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \\ & =6 \times 10^{-6} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

چاہے، اس عمل میں الیکٹرواسٹیٹک انرجی کی ضائعی $6 \times 10^{-6} \mathrm{~J}$ ہوگی۔