1. അവതരണം

മുമ്പത്തെ കാര്യശൈലിയിൽ നിങ്ങൾ ഡാറ്റയുടെ ടാബുലർ മറ്റും ഗ്രാഫിക്കൽ പ്രതിനിധീകരണത്തെക്കുറിച്ച് വായിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ കാര്യശൈലിയിൽ നിങ്ങൾ കേന്ദ്ര വലിപ്പത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ എന്നത് ഡാറ്റ ചുരുക്കാൻ ഒരു സംഖ്യാത്മക രീതിയാണെന്ന് പഠിക്കും. ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ വലിയ ഡാറ്റാ സമൂഹത്തിൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണാം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വിദ്യാർത്ഥിക്കാരന്റെ ഒരു പരീക്ഷയിൽ നേട്ടത്തിന്റെ ശരാശരി മൂല്യം, ഒരു പ്രദേശത്തെ ശരാശരി മഴവും പെയ്യുന്ന അളവും, ഒരു ഫാക്ടറിയിൽ ശരാശരി ഉൽപ്പന്നം, ഒരു പ്രദേശത്ത് വസിക്കുന്നവരുടെ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കമ്പനിയിൽ ജോലി ചെയ്യുന്നവരുടെ ശരാശരി വരുമാനം തുടങ്ങിയവ.

ബൈജു ഒരു കർഷകനാണ്. ബിഹാർന്റെ ബുക്സറ്റ് ജില്ലയിലെ ബാലാപൂർ എന്ന ഗ്രാമത്തിൽ അവൻ അടിമകളെ കാണിക്കുന്നു. ഈ ഗ്രാമത്തിൽ 50 ചെറിയ കർഷകരുണ്ട്. ബൈജുവിന് ഒരു ഏകദേശം ഒരു ഏകാധിപത്യം ഉണ്ട്. ബാലാപൂർ ഗ്രാമത്തിലെ ചെറിയ കർഷകരുടെ സാമ്പത്തിക അവസ്ഥ അറിയാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ബാലാപൂർ ഗ്രാമത്തിലെ ബൈജുവിന്റെ സാമ്പത്തിക അവസ്ഥ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ നിങ്ങൾക്ക് ആഗ്രഹമുണ്ട്. ഇതിനായി, ബാലാപൂർ ഗ്രാമത്തിലെ മറ്റ് കർഷകരുടെ ഏകാധിപത്യ അളവുമായി താരതമ്യം ചെയ്ത് ബൈജുവിന്റെ ഏകാധിപത്യ അളവ് മൂല്യീകരിക്കേണ്ടി വരും. ബൈജു സ്വന്തം ഏകാധിപത്യം ഉടമസ്ഥനാണോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിക്കാൻ ആഗ്രഹമുണ്ട് -

1. ശാസ്ത്രീയമായി ശരാശരിയിലും മുകളിലുമാണോ (അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി കാണുക)
2. കുടുംബങ്ങളിൽ ഒരുമിച്ച് കുടുംബങ്ങളുടെ അളവിലും മുകളിലുമാണോ (മധ്യസ്ഥത കാണുക)
3. പ്രധാനമായും കുടുംബങ്ങൾ സ്വന്തം അളവിലും മുകളിലുമാണോ (മോഡ് കാണുക)

ബൈജുവിന്റെ താരതമ്യപരമായ സാമ്പത്തിക അവസ്ഥ മൂല്യീകരിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ബാലാപൂർ ഗ്രാമത്തിലെ കർഷകരുടെ മൊത്തം ഡാറ്റ ചുരുക്കേണ്ടി വരും. ഇത് കേന്ദ്ര വലിപ്പം ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാം, ഇത് ഒരു ഒരുക്കമായി ഒരു മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് ഡാറ്റ ചുരുക്കാം, ഇത് മൊത്തം ഡാറ്റയെക്കുറിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കും. കേന്ദ്ര വലിപ്പത്തിന്റെ മൂല്യം ഒരു പ്രത്യേക മൂല്യത്തിലൂടെ ഡാറ്റ ചുരുക്കുന്ന രീതിയാണ്.

കേന്ദ്ര വലിപ്പം അല്ലെങ്കിൽ “ശരാശരി” എന്നതിന് ചില സ്ഥിരമായ മൂല്യങ്ങളുണ്ട്. ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന മൂന്ന് ശരാശരികളെക്കുറിച്ച് ഇവിടെ പരിചയപ്പെടും:

• അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി
• മധ്യസ്ഥത
• മോഡ്

നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ ജീവസംഖ്യാ ശരാശരിയും ഹർമോണിക് ശരാശരിയും ഉപയോഗിക്കാം. എന്നാൽ, ഇവിടെ പരിഗണിക്കുന്നത് മുകളിൽ പറഞ്ഞവയുടെ മൂന്ന് തരം മാത്രമാണ്.

2. അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി

ആറ് കുടുംബങ്ങളുടെ പ്രതിമാസ വരുമാനം (രൂപ) ഇവയായിരിക്കും: 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630.

ശരാശരി കുടുംബ വരുമാനം വരുമാനങ്ങൾ ചേർത്ത് കുടുംബങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിലേക്ക് ഭാഗികമായി വിഭജിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്നു.

$=\frac{1600 +1500 +1400 +1525 +1625 +1630}{6}$

= രൂപ 1,547

ഇതിൽ പ്രത്യേകിച്ച്, ശരാശരിയിൽ ഒരു കുടുംബം രൂപ 1,547 വരും.

അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി കേന്ദ്ര വലിപ്പത്തിന്റെ ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന മൂല്യമാണ്. എല്ലാ നേട്ടങ്ങളുടെ മൊത്തം മൂല്യം നേട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിലേക്ക് ഭാഗികമായി വിഭജിച്ച് നിങ്ങളുടെ ശരാശരി എന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് നിർവചിക്കാം, ഇതിനെ സാധാരണഗതിയിൽ $\overline{\mathrm{X}}$ എന്ന് അഭിസംബോധന ചെയ്യുന്നു. പൊതുവായി, നേട്ടങ്ങൾ $\mathrm{N}$ ആയിരിക്കുന്നു $X_1, X_2, X_3$,…, $X_N$, എന്നാൽ അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി ഇങ്ങനെ ലഭിക്കുന്നു

$$ \bar{X}=\frac{X _{1}+X _{2}+X _{3}+\ldots+X _{N}}{N} $$

വലതു ചുവറിൽ $\frac{\sum _{i=1}^{N}\mathrm{X} _{i}}{\mathrm{~N}}$ എന്ന് എഴുതാം. ഇവിടെ, $\mathrm{i}$ എന്നത് 1,2, $3,\ldots\mathrm{N}$ എന്നിങ്ങനെ നിരവധി മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന ഒരു സൂചകമാണ്.

സുഗമമായി എഴുതാൻ, ഇവിടെ സൂചകമില്ലാത്ത രീതിയിൽ ഇത് എഴുതാം. അതായത് $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum\mathrm{X}}{\mathrm{N}}$, ഇവിടെ, $\Sigma\mathrm{X}=$ എല്ലാ നേട്ടങ്ങളുടെ മൊത്തം മൂല്യം എന്നാണ്, $\mathrm{N}=$ മൊത്തം നേട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണം.

അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം

അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരിയുടെ കണക്ക് രണ്ട് പ്രധാന വിഭാഗങ്ങളിൽ പരിഗണിക്കാം:

1. ഗ്രൂപ്പ് ചെയ്യാത്ത ഡാറ്റയുടെ അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി.
2. ഗ്രൂപ്പ് ചെയ്ത ഡാറ്റയുടെ അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി.

ഗ്രൂപ്പ് ചെയ്യാത്ത ഡാറ്റയുടെ അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി

നേരിട്ട് രീതി

നേരിട്ട് രീതിയിൽ അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി ഒരു ക്രമത്തിൽ ഉള്ള എല്ലാ നേട്ടങ്ങളുടെ മൊത്തം മൂല്യം മൊത്തം നേട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിലേക്ക് ഭാഗികമായി വിഭജിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1

ഒരു വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഒരു ഇക്കോണോമിക്സ് പരീക്ഷയിൽ നേട്ടങ്ങൾ ഇങ്ങനെ ഉണ്ടെങ്കിൽ: $40,50,55$, $78,58$.

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\Sigma\mathrm{X}}{\mathrm{N}}\ & =\frac{40 +50 +55 +78 +58}{5}=56.2 \end{aligned} $$

ഇക്കോണോമിക്സ് പരീക്ഷയിൽ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ശരാശരി നേട്ടം 56.2 ആണ്.

അസ്ഥിര ശരാശരി രീതി

ഡാറ്റയിൽ നേട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുതൽ ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ വിവരങ്ങൾ വലിയതാണെങ്കിൽ, നേരിട്ട് രീതിയിൽ അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി കണക്കാക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. അസ്ഥിര ശരാശരി രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണക്ക് എളുപ്പമാക്കാം.

ഒരു വലിയ എണ്ണത്തിലുള്ള നേട്ടങ്ങളും വലിയ സംഖ്യാ വിവരങ്ങളും അടങ്ങുന്ന ഒരു ഡാറ്റാ സമൂഹത്തിൽ ശരാശരി കണക്കാക്കുന്നതിന് സമയം ലാഭിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് അസ്ഥിര ശരാശരി രീതി ഉപയോഗിക്കാം. ഇവിടെ നിങ്ങൾ ലോജിക്/അനുഭവത്തിനനുസരിച്ച് ഡാറ്റയിൽ ഒരു പ്രത്യേക വിവരത്തെ അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരിയായി ഉപയോഗിക്കാം. പിന്നീട്, ആ അസ്ഥിര ശരാശരിയുടെ ഓരോ നേട്ടത്തിലും നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യാസം എടുക്കാം. പിന്നീട്, ഇത്തരം വ്യത്യാസങ്ങളുടെ മൊത്തം മൂല്യം നേട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിലേക്ക് ഭാഗികമായി വിഭജിക്കാം. അതിന് പിന്നീട്, അസ്ഥിര ശരാശരിയും വ്യത്യാസങ്ങളുടെ മൊത്തം മൂല്യം നേട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ അനുപാതവും ചേർത്ത് നിങ്ങൾക്ക് ശരാശരി അർദ്ധസംഖ്യ മൂല്യം ലഭിക്കാം. ചിഹ്നപരമായി,

അസ്ഥിര ശരാശരി രീതിയിൽ,

അസ്ഥിര ശരാശരി = $\mathrm{A}$

വ്യക്തമായ നേട്ടങ്ങൾ = $\mathrm{X}$

മൊത്തം നേട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണം = $\mathrm{N}$

വ്യത്യാസം = അസ്ഥിര ശരാശരിയുടെ ഓരോ നേട്ടത്തിലും നിന്ന വ്യത്യാസം, അതായത് $d=X-A$

അതിന് പിന്നീട്, എല്ലാ വ്യത്യാസങ്ങളുടെ മൊത്തം എടുക്കുന്നു $\Sigma\mathrm{d}=\Sigma(\mathrm{X}-\mathrm{A})$

പിന്നീട്, $\frac{\Sigma\mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ കണക്കാക്കുക

അതിന് പിന്നീട്, $\mathrm{A}$ ഉം $\frac{\Sigma\mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ ഉം ചേർത്ത് $\overline{\mathrm{X}}$ ലഭിക്കുക

അതായത്, $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma\mathrm{d}}{\mathrm{N}}$

ഡാറ്റയിൽ ഉള്ളതല്ലാത്തതോ ഉള്ളതോ ആയെന്തെങ്കിലും ഒരു മൂല്യം അസ്ഥിര ശരാശരിയായി എടുക്കാം. എളുപ്പത്തിനായി, ഡാറ്റയിൽ കേന്ദ്രത്തിൽ ഉള്ള മൂല്യം അസ്ഥിര ശരാശരിയായി തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

ഉദാഹരണം 2

തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് പത്ത് കുടുംബങ്ങളുടെ ആഴ്ചയിലെ വരുമാനം കാണിക്കുന്നതാണ്.

കുടുംബങ്ങൾ

$\text { A }\text { B }\text { C }\text { D }\text { E }\text { F }\text { G }\text { H }$

$\text { I }\text{ J }$

ആഴ്ചയിലെ വരുമാനം (രൂപയിൽ)

850 700 100 750 5000 80 420 2500

400 360

ശരാശരി കുടുംബ വരുമാനം കണക്കാക്കുക.

കാര്യശൈലി 5.1 അസ്ഥിര ശരാശരി രീതിയിൽ അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരിയുടെ കണക്ക്

അസ്ഥിര ശരാശരി രീതിയിൽ അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma\mathrm{d}}{\mathrm{N}}=850 +(2,660) / 10 \\ & =\operatorname{Rs} 1,116 \end{aligned} $$

ഇതിനാൽ, രണ്ട് രീതികളും ഉപയോഗിച്ച് ശരാശരി ആഴ്ചയിലെ ഒരു കുടുംബത്തിന്റെ വരുമാനം രൂപ 1,116 ആണ്. നിങ്ങൾക്ക് നേരിട്ട് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പരിശോധിക്കാം.

ഘട്ട വ്യത്യാസ രീതി

എല്ലാ വ്യത്യാസങ്ങളും അസ്ഥിര ശരാശരി നിന്ന് പോകുന്ന പ്രക്കിടത്തിൽ ‘സി’ എന്ന സാധാരണ ഘടകം ഉപയോഗിച്ച് വ്യത്യാസങ്ങൾ ഭാഗികമായി വിഭജിച്ചാൽ, കണക്ക് കൂടുതൽ എളുപ്പമാകും. വലിയ സംഖ്യാ വിവരങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ ഇതിന്റെ ഉദ്ദേശ്യമാണ്, അതായത്, ഒരു $\mathrm{d}=\mathrm{X}-\mathrm{A}$ വ്യത്യാസം വളരെ വലുതാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് $\mathrm{d}^{\prime}$ കണക്കാക്കാം. ഇത് ഇങ്ങനെ ചെയ്യാം:

$$ \mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}} $$

ചുവറിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ലഭിക്കും:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma\mathrm{d}^{\prime}}{\mathrm{N}}\times\mathrm{c} $$

ഇവിടെ $\mathrm{d}^{\prime}=(\mathrm{X}-\mathrm{A}) /\mathrm{c},\quad\mathrm{c}=$ സാധാരണ ഘടകം, $\mathrm{N}=$ നേട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണം, $\mathrm{A}=$ അസ്ഥിര ശരാശരി.

അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണം 2 ഉപയോഗിച്ച് ഘട്ട വ്യത്യാസ രീതിയിൽ അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി കണക്കാക്കാം,

$X=850 +(266 / 10)\times 10 =R s 1,116$.

അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരിയുടെ രണ്ട് ആ�rest ഗുണഗതികൾ

(i) അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരിയുടെ മുമ്പുള്ള എല്ലാ വസ്തുക്കളുടെ വ്യത്യാസങ്ങളുടെ മൊത്തം എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യമാണ്. ചിഹ്നപരമായി, $\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})=0$.

(ii) അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി അതിക്രമികൾ ഉപദേശിക്കുന്നതിനാൽ അതിനെ ബാധിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും വലിയ മൂല്യം, ഒരുമിച്ച് മുകളിലോ താഴെയോ അത് അതിനെ മുകളിലേക്കോ താഴേക്കോ തള്ളിപ്പിടിക്കും.

വജ്ട്ട് അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി

ചിലപ്പോഴേക്കും, അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി കണക്കാക്കുമ്പോൾ വിവിധ വസ്തുക്കൾക്ക് അവയുടെ പ്രാധാന്യത്തിനനുസരിച്ച് വജ്ട്ടുകൾ നൽകുന്നത് പ്രധാനമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, മാങ്ങളും പാച്ചകം ഉള്ള രണ്ട് വസ്തുക്കളുണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് മാങ്ങളുടെ വില $P_1$ ഉം പാച്ചകത്തിന്റെ വില $P_2$ ഉം ഉള്ള ശരാശരി കണക്കാക്കാൻ ആഗ്രഹമുണ്ട്. അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി $\frac{p_1 +p_2}{2}$ ആയിരിക്കും. എന്നാൽ, നിങ്ങൾക്ക് പാച്ചകത്തിന്റെ വിലയുടെ വർദ്ധനവ് $P_2$ കൂടുതൽ പ്രാധാന്യം നൽകാൻ ആഗ്രഹമുണ്ടാകാം. ഇത് ചെയ്യാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഉപഭോക്താവിന്റെ ബജറ്റിൽ മാങ്ങളുടെ ഭാഗം $\left(\mathrm{W} _{1}\right)$ ഉം പാച്ചകത്തിന്റെ ഭാഗം $\left(\mathrm{W} _{2}\right)$ ഉം വജ്ടുകളായി ഉപയോഗിക്കാം. ഇപ്പോൾ ബജറ്റിലെ ഭാഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വജ്ട്ട് ചെയ്ത അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി $\frac{\mathrm{W} _{1}\mathrm{P} _{1}+\mathrm{W} _{2}\mathrm{P} _{2}}{\mathrm{~W} _{1}+\mathrm{W} _{2}}$ ആയിരിക്കും

പൊതുവായി, വജ്ട്ട് അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരി ഇങ്ങനെ ലഭിക്കുന്നു,

$$ \frac{\mathrm{w} _{1}\mathrm{x} _{1}+\mathrm{w} _{2}\mathrm{x} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}}\mathrm{x} _{\mathrm{n}}}{\mathrm{w} _{1}+\mathrm{w} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}}}=\frac{\Sigma\mathrm{wx}}{\Sigma\mathrm{w}} $$

വിലകൾ വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് വിലകൾ വർദ്ധിക്കുന്ന വസ്തുക്കൾക്ക് കൂടുതൽ പ്രാധാന്യം ഉണ്ടാകണം. നിങ്ങൾക്ക് ഇതെക്കുറിച്ച് കാര്യശൈലി 8 ലെ ഐന്റിഡ്ക്സ് നമ്പറുകളെക്കുറിച്ചുള്ള ചർച്ചയിൽ കൂടുതൽ വായിക്കാം.

പ്രവർത്തനം

• ചുരുക്കിയ വ്യത്യാസങ്ങൾ അർദ്ധസംഖ്യാ ശരാശരിയിൽ നിന്ന് കുറഞ്ഞ ഉദാഹരണത്തിനായി പരിശോധിക്കുക:

$\qquad$ X: $\quad$ 4 $\quad$ 6 $\quad$ 8 $\quad$ 10 $\quad$ 12

• മുകളിൽ പറഞ്ഞ ഉദാഹരണത്തിൽ ശരാശരി 2 കൂട്ടിച്ചേർത്താൽ, ഓരോ നേട്ട�