अध्याय 1 मध्ये आपण याच बाबतीत वाचले आहे की प्रमाण सर्व प्रकारच्या नकाशांमध्ये अनिवार्य घटक आहे. ते खूप महत्त्वाचे आहे आणि जर रेषांची आणि बहुखुणांची जाळी प्रमाण नसेल तर आम्ही ते “चित्र मागे घेतलेले” म्हणतो. प्रमाण खूप महत्त्वाचे का? काय असेल? नकाश्यावर प्रमाण कसे दाखवले जाते? प्रमाण रेषांची आणि त्यांच्या क्षेत्रफलाची मोजणी कशाला उपयुक्त आहे? यापैकी काही प्रश्न या अध्यायात अडकलेले आहेत.

शब्दकोश

अधिविभाजक: भागातील खालील अंक. उदाहरणार्थ, $1: 50,000$ भागात $50,000$ अधिविभाजक आहे. उपविभाजक: भागातील वरच्या अंक. उदाहरणार्थ, $1: 50,000$ भागात $1$ उपविभाजक आहे. प्रतिनिधी भाग (Representative Fraction): नकाशा किंवा योजना यांच्या प्रमाणाचा एक मार्ग भागात दर्शविला जातो, ज्यामध्ये नकाश्यावरील एक एकक अंतर आणि जमिनीवर मोजलेल्या समान एककांच्या अंतराचा अनुपात दर्शविला जातो.

प्रमाण काय आहे?

आपण प्रमाण पट्टी दर्शविणारे नकाशे पाहिले आहेत, ज्यामध्ये समान विभाजने आहेत, ज्यांना किलोमीटर किंवा माइल्स मध्ये मूळ दर्शवले जाते. या विभाजनांचा वापर नकाश्यावरील जमिनीच्या अंतराची जाणीव करण्यासाठी केला जातो. दुसऱ्या शब्दांत, नकाश्याचा प्रमाण नकाश्यावर दाखवलेल्या पृथ्वीच्या पृष्ठभूमीच्या संपूर्ण किंवा एका भागाशी अनुषंग देते. आपण हे अनुषंग नकाश्यावरील दोन बिंदूंच्या अंतरावरून जमिनीवरील समान दोन बिंदूंच्या अंतराशी भागात देखील दर्शवू शकतो.

हे अनुषंग किमान तीन मार्गांनी दर्शविले जाऊ शकते. ते खालीलप्रमाणे आहेत:

1. प्रमाणाची स्पष्टीकरण

2. प्रतिनिधी भाग (R. F.)

3. ग्राफिकल प्रमाण

प्रमाणाच्या या तिन्ही मार्गांमध्ये फायदे आणि अडचणी आहेत. पण या बाबींवर चर्चा करण्यापूर्वी, आपण याच बाबतीत समजू शकतो की प्रमाण सामान्यतः एक किंवा दुसऱ्या मोजणीच्या प्रणालीमध्ये दर्शविले जाते. आपण जमिनीवरील दोन बिंदूंचे रेषीकीय अंतर मोजण्यासाठी किलोमीटर, मीटर, सेंटीमीटर इ. वापरले आहे. आपण माइल्स, फर्लॉंग्स, यार्ड्स, फीट इ. दुसऱ्या प्रकारच्या मोजणीच्या प्रणालीचा आवाहन झाले आहे. या दोन्ही प्रकारच्या मोजणीच्या प्रणाली जगभरातील भिन्न देशांमध्ये वापरल्या जातात. जेव्हा पहिली प्रणाली मेट्रिक मोजणीची प्रणाली म्हणून ओळखली जाते आणि भारत आणि जगभरातील अनेक देशांमध्ये आत्तापर्यंत वापरली जाते, तेव्हा दुसऱ्या प्रणाली इंग्रजी मोजणीची प्रणाली म्हणून ओळखली जाते आणि अमेरिकेच्या आणि युनायटेड किंग्डमच्या दोन्ही देशांमध्ये आजही प्रचलित आहे. भारताने 1957 च्या आधी रेषीकीय अंतरे मोजण्यासाठी किंवा दाखवण्यासाठी ही प्रणाली देखील वापरली होती. या प्रणालींच्या मोजणीच्या एककांचे यादी बॉक्स 2.1 मध्ये दिले आहेत.

प्रमाणाचे मार्ग

उपरोक्त म्हणून, नकाश्याचा प्रमाण एक किंवा अधिक प्रमाणाच्या मार्गांच्या संयोगाने दर्शविला जाऊ शकतो. आपण या मार्गांचा वापर कसा केला जातो आणि त्यांचे फायदे आणि अडचणी काय आहेत हे बघूया.

बॉक्स 2.1 मोजणीच्या प्रणाली

मेट्रिक मोजणीची प्रणाली $1 \mathrm{~km}\quad=1000$ मीटर 1 मीटर $=100$ सेंटीमीटर 1 सेंटीमीटर $=10$ मिलीमीटर इंग्रजी मोजणीची प्रणाली 1 माइल $=8$ फर्लॉंग्स 1 फर्लॉंग $=220$ यार्ड्स 1 यार्ड $=3$ फीट 1 फीट $=12$ इंचे

1. प्रमाणाची स्पष्टीकरण: नकाश्याचा प्रमाण लेखित स्पष्टीकरणाने दाखवला जाऊ शकतो. उदाहरणार्थ, जर नकाश्यावर लेखित स्पष्टीकरण दिसत असेल की $1 \mathrm{~cm}$ एका नकाश्यावर 10 कि.मी. दर्शविते, तर हे अर्थ असा की त्या नकाश्यावर 1 सेंटीमीटरचे अंतर जमिनीवरील स्थानिक अंतराचे 10 कि.मी. दर्शविते. हे स्पष्टीकरण कोणत्याही इतर मोजणीच्या प्रणालीमध्ये देखील देखील दर्शविले जाऊ शकते, म्हणजेच 1 इंच 10 माइल्स दर्शविते. हे तिन्ही मार्गांपैकी सर्वात सोपे मार्ग आहे. पण एखाद्या प्रणालीच्या संपर्कात असलेल्या लोकांना दुसऱ्या मोजणीच्या प्रणालीमध्ये दिलेल्या प्रमाणाची स्पष्टीकरण समजू शकत नसते. या मार्गाची दुसऱ्या अडचणी म्हणजे नकाशा कमी किंवा वाढवल्यास प्रमाण अवैध होऊ शकते आणि नवीन प्रमाण काढावे लागते.

2. ग्राफिकल किंवा पट्टी प्रमाण: प्रमाणाचा दुसऱ्या प्रकार नकाश्यावरील अंतर आणि त्याचे संबंधित जमिनीवरील अंतर एक रेषा पट्टी वापरून दर्शवितो, ज्यावर प्राथमिक आणि द्वितीयक विभाजने दाखवले जातात. हे ग्राफिकल प्रमाण किंवा पट्टी प्रमाण म्हणून ओळखले जाते (आकृती 2.1). आपण आकृती 2.1 मधील पट्टी प्रमाणावरील प्रमाणे किलोमीटर आणि मीटरमध्ये फक्त प्रमाणे दाखवले जातात हे देखील लक्षात घ्यावे. दुसऱ्या पट्टी प्रमाणात माइल्स आणि फर्लॉंग्समध्ये प्रमाणे दाखवले जाऊ शकतात. त्यामुळे स्पष्टीकरणाच्या प्रमाणाच्या मार्गाप्रमाणेच, हा मार्ग फक्त त्यांना ज्यांनी ते समजू शकतात त्या लोकांसाठी फक्त वापरास येतो. पण स्पष्टीकरणाच्या प्रमाणाच्या मार्गाप्रमाणेच, ग्राफिकल प्रमाण नकाशा कमी किंवा वाढवल्यासही वैध राहते. हे नकाश्याच्या प्रमाणाच्या ग्राफिकल मार्गाचे एकमेव फायदेशीर गुण आहे.

आकृती 2.1

3. प्रतिनिधी भाग (R. F.): प्रमाणाचा थरथरा प्रकार म्हणजे R. F. नकाश्यावरील अंतर आणि त्याचे संबंधित जमिनीवरील अंतर लांबीच्या एककांमध्ये दर्शवितो. प्रमाण एककांनी दर्शविण्याचा वापर हा सर्वात अनुकूलनायक मार्ग बनवतो.

R. F. सामान्यतः भागात दर्शविला जातो कारण ते दर्शविते की प्रत्यक्ष जग नकाश्यावर किती कमी केला जातो. उदाहरणार्थ, 1: 24,000 भागामध्ये दर्शविले जाते की नकाश्यावरील एक एकक लांबी जमिनीवरील 24,000 समान एककांमध्ये दर्शविते, म्हणजेच नकाश्यावर 1 मिलीमीटर, 1 सेंटीमीटर किंवा 1 इंच जमिनीवरील 24,000 मिलीमीटर, 24,000 सेंटीमीटर आणि 24,000 इंच दर्शविते. पण भागातील एकके किंवा मेट्रिक किंवा इंग्रजी प्रणालींमध्ये रूपांतरित करताना सामान्यतः सेंटीमीटर किंवा इंच एकके वापरल्या जातात हे देखील लक्षात घ्यावे. या R. F. मार्गाने प्रमाण एककांमध्ये दर्शविण्याची गुणवत्ता असल्याने हा एक जगभरात स्वीकार्य आणि वापरास येणारा मार्ग बनतो. आपण R. F. चा एक उदाहरण 1: 36,000 घ्यूया आणि R. F. च्या जगभरात स्वीकार्यतेचे स्पष्टीकरण करूया.

जर दिलेले प्रमाण $1: 36,000$ असेल, तर मेट्रिक प्रणालीच्या संपर्कात असलेला व्यक्ती दिलेल्या एककांचे मूळ मेट्रिक प्रणालीमध्ये रूपांतरित करून वाचेल, म्हणजेच नकाश्यावरील 1 एकक लांबी 1 सेंटीमीटर असेल आणि जमिनीवरील 36,000 एकक लांबी 36,000 सेंटीमीटर असेल. या मूल्यांचे नंतर स्पष्टीकरणाच्या प्रमाणात रूपांतर केले जाऊ शकते, म्हणजेच 1 सेंटीमीटर 360 मीटर दर्शविते. (100 सेंटीमीटरमध्ये एक मीटर असल्यामुळे अधिविभाजकातील मूल्ये 100 देखील भागून घेतल्या जातात). दुसऱ्या प्रकारच्या नकाश्याचा वापर करणारा व्यक्ती जो इंग्रजी मोजणीच्या प्रणालीच्या संपर्कात असेल तो त्यांना त्यांच्यासाठी सुलभ स्पष्टीकरणाच्या प्रमाणात प्रमाण रूपांतरित करून नकाश्यावरील प्रमाण समजू शकेल आणि नकाश्यावरील प्रमाण असेल की 1 इंच 1,000 यार्ड्स दर्शविते. या स्पष्टीकरणाच्या प्रमाणात अधिविभाजकातील 36,000 एकके 36 (यार्डमध्ये इंचांची संख्या) देखील भागून घेतल्या जातात.

प्रमाणाचे रूपांतर

जर आपण विभिन्न प्रमाणाच्या मार्गांचे फायदे आणि अडचणी योग्यरित्या वाचले असतील तर आपल्याला स्पष्टीकरणाच्या प्रमाणातून R. F. मध्ये आणि उलट रूपांतरित करणे कठीण होणार नाही.

स्पष्टीकरणाच्या प्रमाणातून R. F. मध्ये

समस्या दिलेल्या स्पष्टीकरणाच्या प्रमाणातून 1 इंच 4 माइल्स दर्शविणारे R. F. रूपांतरित करा.

उत्तर दिलेले स्पष्टीकरणाचे प्रमाण R. F. च्या मार्गाने रूपांतरित केले जाऊ शकते.

1 इंच 4 माइल्स दर्शविते

किंवा $\quad 1$ इंच 4 × 63,360 इंच दर्शविते (1 माइल = 63,360 इंच)

किंवा $\quad 1$ इंच 253,440 इंच दर्शविते

टीप: आपण आता “इंचे” चे अक्षर “एकके” असे बदलू शकता आणि असे वाचू शकता:

1 एकक 253,440 एकके दर्शविते

उत्तर R. F. $1: 253,440$

R. F. मध्ये स्पष्टीकरणाच्या प्रमाणात

समस्या R. F. $1: 253,440$ चे स्पष्टीकरणाचे प्रमाण (मेट्रिक प्रणाली) मध्ये रूपांतरित करा.

उत्तर दिलेले R. F. $1: 253,440$ स्पष्टीकरणाच्या प्रमाणात रूपांतरित केले जाऊ शकते:

$1: 253,440$ म्हणजे

नकाश्यावरील 1 एकक जमिनीवरील 253,440 एकके दर्शविते.

किंवा $\quad 1 \mathrm{~cm}$ 253,440 /100,000 दर्शविते $(1 \mathrm{~km}=100,000$ cm)

किंवा $\quad 1 \mathrm{~cm}$ 2.5344 कि.मी. दर्शविते

2 दशांशांपर्यंत गोंधळल्यानंतर उत्तर असेल:

उत्तर $1 \mathrm{~cm}$ 2.53 कि.मी. दर्शविते

ग्राफिकल/पट्टी प्रमाण बांधणे

समस्या 1 नकाश्याचे प्रमाण $1: 50,000$ असेल तर त्यासाठी ग्राफिकल प्रमाण बांधा आणि कि.मी. आणि मीटरमध्ये अंतरे वाचा.

टीप: $\quad$ सामान्यतः ग्राफिकल प्रमाण बांधण्यासाठी लागणारी लांबी लगेच $15 \mathrm{~cm}$ असते.

गणना ग्राफिकल प्रमाणासाठी रेषेची लांबी मिळवण्यासाठी खालील चरण अवलंबून केले जाऊ शकतात:

$1: 50,000$ म्हणजे

नकाश्यावरील 1 एकक जमिनीवरील 50,000 एकके दर्शविते

किंवा $\quad 1 \mathrm{~cm}$ 50,000 सेंटीमीटर दर्शविते

किंवा $\quad 15 \mathrm{~cm}$ 50,000 × 15 / 100,000 कि.मी. दर्शविते

किंवा $\quad 15 \mathrm{~cm}$ 7.5 कि.मी. दर्शविते

7.5 (कि.मी.) मूल्य गोष्ट नसल्याने आपण 5 कि.मी. किंवा 10 कि.मी. गोष्ट निवडू शकतो. या प्रकरणात आपण 5 कि.मी. गोष्ट निवडली.

5 कि.मी. दर्शविण्यासाठी रेषेची लांबी ओळखण्यासाठी खालील गणना केली जातील:

$\quad 7.5 \mathrm{~km}$ लांबी 15 सेंटीमीटर दर्शविली जाते

$\quad 5 \mathrm{~km}$ लांबी $15 \times 5 / 7.5$

किंवा $\quad 5 \mathrm{~km}$ लांबी 10 सेंटीमीटर दर्शविली जाते

बांधणी ग्राफिकल प्रमाण खालीलप्रमाणे बांधले जाऊ शकते:

10 सेंटीमीटरची सरळ रेषा बांधा आणि त्याला 5 समान भागांमध्ये विभाजित करा आणि 0 च्या उजव्या बाजूच्या 4 विभाजनांना प्रत्येकाला 1 कि.मी. मूल्य द्या. देखील अतिरिक्त डाव्या बाजूच्या विभाजनाला 10 समान भागांमध्ये विभाजित करा आणि प्रत्येक विभाजनाला 100 मीटरचे मूल्य द्या, 0 पासून सुरू करून. (आपण त्याला 2, 4 किंवा 5 भागांमध्ये विभाजित करू शकता आणि प्रत्येक उपविभाजनाला 500, 250 किंवा 200 मीटरचे मूल्य द्या.)

आकृती 2.2

समस्या 2 दिलेल्या स्पष्टीकरणाच्या प्रमाणातून 1 इंच 1 माइल दर्शविणारे ग्राफिकल प्रमाण बांधा आणि माइल्स आणि फर्लॉंग्समध्ये अंतरे वाचा.

टीप: $\quad$ सामान्यतः ग्राफिकल प्रमाण बांधण्यासाठी लागणारी लांबी लगेच 6 इंच असते.

गणना ग्राफिकल प्रमाणासाठी रेषेची लांबी मिळवण्यासाठी खालील चरण अवलंबून केले जाऊ शकतात:

1 इंच 1 माइल दर्शविते

6 इंच 6 माइल्स दर्शविते

बांधणी ग्राफिकल प्रमाण खालीलप्रमाणे बांधले जाऊ शकते:

6 इंचची सरळ रेषा बांधा आणि त्याला 6 समान भागांमध्ये विभाजित करा आणि उजव्या बाजूच्या 5 विभाजनांना प्रत्येकाला 1 माइल मूल्य द्या. देखील अतिरिक्त डाव्या बाजूच्या विभाजनाला 4 समान भागांमध्ये विभाजित करा आणि प्रत्येक विभाजनाला 2 माइल्सचे मूल्य द्या, 0 पासून सुरू करून.

आकृती 2.3

समस्या 3 दिलेल्या R. F. मध्ये 1: 50,000 असेल तर त्यासाठी ग्राफिकल प्रमाण बांधा आणि माइल्स आणि फर्लॉंग्समध्ये अंतरे वाचा.

गणना ग्राफिकल प्रमाणासाठी रेषेची लांबी मिळवण्यासाठी खालील चरण अवलंबून केले जाऊ शकतात:

$1: 50,000$ म्हणजे

1 एकक 50,000 एकके दर्शविते

किंवा 1 इंच 50,000 इंच दर्शविते.

किंवा 6 " 50,000 × 6 / 63,360 माइल्स दर्शविते

=6 " 4.73 माइल्स दर्शविते

4.73 (माइल्स) ची अंकगणित गोष्ट नसल्याने आपण 5 गोष्ट निवडू शकतो.

5 कि.मी. दर्शविण्यासाठी रेषेची लांबी ओळखण्यासाठी खालील गणना केली जातील:

4.73 माइल्स लांबी 6 इंच दर्शविली जाते

5 माइल्स लांबी $6 \times 5 / 4.73$

=5 माइल्स लांबी 6.34 इंच दर्शविली जाते

बांधणी ग्राफिकल प्रमाण खालीलप्रमाणे बांधले जाऊ शकते:

5 माइल्स दर्शविण्यासाठी आपल्याला 6.34 इंचची रेषा बांधावी लागेल आणि त्याला 5 समान भागांमध्ये विभाजित करावे लागेल. प्रश्न असा आहे की 6.3 इंचची असंतुलित रेषा कसे 5 समान भागांमध्ये विभाजित करावी. यासाठी आपण खालील पद्धतीचा वापर करू शकता:

• 6.3 इंचची सरळ रेषा बांधा.

• रेषेच्या सुरुवातीच्या आणि शेवटच्या बिंदूंपासून $40^{\circ}$ किंवा $45^{\circ}$ च्या कोनात रेषा बांधा आणि त्यांना प्रत्येक 1 किंवा 1.5 इंचच्या 1 किंवा 1.5 इंचच्या समान भागांमध्ये विभाजित करा.

• दोन्ही रेषांवरील विभाजनांची जोडणी दृश्यांतरित रेषा बांधा.

• या रेषांचे प्राथमिक प्रमाणावरील भागांचे भेद दर्शवा.

यामुळे आपण 6.3 इंचच्या असंतुलित रेषेला 5 समान भागांमध्ये विभाजित करू शकता. आपण याच पद्धतीचा वापर करून प्राथमिक प्रमाणावरील अतिरिक्त डाव्या भागाला 1 माइलच्या फर्लॉंग्सच्या संख्येने दर्शविण्यासाठी 4 किंवा 8 भागांमध्ये विभाजित करू शकता.

आकृती 2.4 ग्राफिकल प्रमाणात समान विभाजने बांधणे

वाटा

1. खालीलपैकी चार पर्यायांपैकी योग्य पर्याय निवडा:

(i) खालीलपैकी कोणता प्रमाणाचा मार्ग जगभरात स्वीकार्य मार्ग आहे? (a) सोपे स्पष्टीकरण (b) प्रतिनिधी भाग (c) ग्राफिकल प्रमाण (d) यापैकी काहीही नाही

(ii) नकाश्यावरील प्रमाणाचे अंतर दुसऱ्याला म्हणतात: (a) उपविभाजक (b) अधिविभाजक (c) स्पष्टीकरणाचे प्रमाण (d) प्रतिनिधी भाग

(iii) प्रमाणात ‘उपविभाजक’ म्हणजे: (a) जमिनीवरील अंतर (b) नकाश्यावरील अंतर (c) दोन्ही अंतर (d) यापैकी काहीही नाही

2. खालीलपैकी प्रश्नांचा अंदाजे 30 शब्दांमध्ये उत्तर द्या:

(i) मोजणीच्या प्रणालींच्या दोन प्रकार काय आहेत? (ii) मेट्रिक आणि इंग्रजी प्रणालीमध्ये स्पष्टीकरणाच्या प्रमाणाचे एक उदाहरण द्या. (iii) प्रतिनिधी भाग मार्ग का जगभरात स्वीकार्य मार्ग म्हणून ओळखला जातो? (iv) ग्राफिकल मार्गाचे मुख्य फायदे काय आहेत?

3. दिलेल्या स्पष्टीकरणाच्या प्रमाणातून R. F. मध्ये रूपांतरित करा.

(i) $5 \mathrm{~cm}$ 10 कि.मी. दर्शविते (ii) 2 इंच 4 माइल्स दर्शविते (iii) 1 इंच 1 यार्ड दर्शविते (iv) $1 \mathrm{~cm}$ 100 मीटर दर्शविते

4. दिलेल्या R. F. मध्ये दिलेल्या मोजणीच्या प्रणालीमध्ये स्पष्टीकरणाच्या प्रमाणात रूपांतरित करा:

(i) $1: 100,000$ (कि.मी. मध्ये) (ii) $1: 31680$ (फर्लॉंग्समध्ये) (iii) $1: 126,720$ (माइल्समध्ये) (iv) $1: 50,000$ (मीटरमध्ये)

5. दिलेल्या R. F. मध्ये $1: 50,000$ असेल तर त्यासाठी ग्राफिकल प्रमाण बांधा आणि कि.मी. आणि मीटरमध्ये अंतरे वाचा.